1、華僑大學2008年高等數學競賽試題(A卷) 考試時間：2008年6月14日(星期六) 上午8：3011：00 境內（外）生 系別 專業 準考證號 姓名 成績 大題 一 二 三 四 五 六 七 八 九 滿分 32 8 8 10 10 7 10 9 6 得分 一、填空題(本題共8小題，每小題4分，滿分32分，把答案直接填在題中的橫線上) 、設2()()xaxFxftdtxa=.，其中()fx連續，為常數， 則 alim()xaFx、圓柱面 與 所圍成的立體的體積 229xy+=229xz+=_.V= 、設()fx是周期為2的周期函數，它在(,3上的表達式為 222,2;(),3xfxxx.2<

2、; 則()fx的傅里葉級數在x=處收斂于 ，在2x=.處收斂于 . 、設是由平面及拋物柱面0,1zzyy=2yx=所圍成的閉區域，則xzdxdydz= . 、設()(1)(2)()fxxxxxn=+.，則 (0)f= . 、設函數在區間1)(xf,)+上可導，(1)0f=，3(1)xxfee+=+，則(3)f= . 、設直線 在平面0:30xyblxayz+=.上，而平面與曲面 2zxy=+ 相切于點， (1,2,5).則常數 a=， b=. 、已知向量與b滿足：a.0a.， 1b=4ab=，則極限0limxaxbaxbx_. . 以下各題在答題紙上解答，答題時必須寫出詳細的解答過程，并在每張

3、答題紙寫上：姓名、準考證號。 二、(本題滿分8分) 求極限 220ln(1)ln(1)limseccosxxxxxx三、(本題滿分8分) 設 (),zfxyxy.=.，其中 f具有二階連續偏導數，.具有二階導數，求zy.與zyx.四、(本題滿分10分) 計算曲面積分 332(2)(2)3(1)Ixydydzyzdzdxzdxdy=+.， 其中是曲面 的上側 221(zxyz=.五、(本題滿分10分) 利用格林公式，求曲線積分 2(3sin)()yLIxyxdxxyedy=+.， 其中是在曲線 上由點到點的一段弧 L22yxx=.(0,0)O(4,8)A六、(本題滿分7分) 設 ()xxt= 是

4、由方程 210xtutedu+.= 所確定的可導函數，求 220tdxdt=七、(本題滿分10分) 曲面 將球面 213zx=.22225xyz+= 分成三部分，求這三部分曲面面積之比 八、(本題滿分9分) 求冪級數 22(1)(1)2nnnnnx. 的收斂域及與函數 九、(本題滿分6分) 設函數在閉區間1上連續，在開區間(1內可導，且)(xf,4,4)(4)2f=，證明：在(1內至少存在一點，使得 華僑大學2007年高等數學競賽試題(A卷) 考試時間：2007年6月16日(星期六) 上午8：3011：00 系別 專業 準考證號 姓名 成績 大題 一 二 三 四 五 六 七 八 九 滿分 32

5、 10 9 10 10 8 8 7 6 得分 一、填空題(本題共8小題，每小題4分，滿分32分，把答案直接填在題中的橫線上) 、設()sinfxx= 則2()=xffx=、由方程2222xyzxyz+=所確定的函數(,)zzxy=在點(1,0,1).處的全微分 _.dz=、曲線弧sin1cosxy=+.（.）的弧長s= . 、已知2,2,ab=. 且2ab.=.，則ab×=._. 、級數112nnn的與 =s. 、設曲線與曲線在原點處具有相同的切線，則極限()yfx=2arctan0xtye.=(0,0)2lim()nnfn、設連續函數恒取正值，則)(xf132010()xfxdxx

6、fxdx=、設函數(,)fxy在閉圓域222(,)tDxyxyt=+上連續，且(0,0)0f，則當時, 0t+tDfxydxdy是關于t的 階無窮小.（請填數字） . 以下各題必須在答題紙上解答，并在每張答題紙寫上：系別、姓名、準考證號 二、(本題滿分10分) 設函數()uft=，其中22(,)txyxy.=+f具有二階連續導數，.具有二階連續偏導數，求22ux.與2.uxy.三、(本題滿分9分) 判定級數1ln)1(nnnn是否收斂？若是收斂的，是絕對收斂還是條件收斂？ 四、(本題滿分10分) 設為連續函數，證明：，其中常數. 并求)(xfdxxafxfdxxfaa.+=020)2()()(

7、0a>20sin1cosxxdxx+. 五、(本題滿分10分) 求過直線，且與曲線21230xyzxyz+.=.221224xyzxyz.+=.在點處的切線平行的平面方程. (1,1,2).六、(本題滿分8分) 設是從點沿上半橢圓周L(3,0)A.22194xy+=到點的弧段，求曲線積分(3,0)B2222Ldxdyxyxy+七、(本題滿分8分) 求曲面積分 222()axdydzdzdxzadxdyIxyz+其中為下半球面22zaxy=.的上側（常數）. 0a>八、(本題滿分7分) 設函數在閉區間,上連續，在開區間)(xfab(),ab內可導，()0fa<()0fb<

8、，且存在一點，使得，證明：至少存在一點,cab0fc>,ab，使得 ()()0ff+=. 九、(本題滿分6分) 設函數在閉區間1)(xf,3.上具有二階連續導數，且，證明： (1)0f=20()3Mfxdx， 其中02max()xMfx考試時間：2008年6月14日(星期六) 上午8：3011：00 華僑大學2008年高等數學競賽試題(A卷) 參考答案與評分標準 一、 填空題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分） 1、； 2、 144 ； 3、2()afa23，22 ； 4、 0 ； 5、； 6、8； 、!n5a=.，2b=.； 8、2 . 二、(本題滿分8分) 解：原式2222424

9、2220li.【8】 三、(本題滿分8分) 解：1()zxyffy.=.，.2 2111122()()()()zyfxyyffyffyx.=+.+7 1111()()()()()yfxyyfxyyff.=+.8 四、(本題滿分10分) 解：取1為圓面（0z=221xy+）的下側，記為1與所圍成的閉區域，.【1】 則由Gauss公式，有1332(2)(2)3(1)xydydzyzdzdxzdxdy+.226()xyzd=+.【2】 221120006()dz122220112(1)(1)2d=.+.2=.【7】 而1332(2)(2)3(1)xydydzyzdzdxzdxdy+.1003(01)

10、dxdy=+.2213xydxdy+=，.【9】 故23I=.=.【10】 五、(本題滿分10分) 解：記與直線段LAO：2yx=（0x）所圍成的閉區域為，則由Green公式，有D2(3sin)()yLAOxyxdxxyedy(23)Dxxdxdy=.Dxdxdy=.24202xxxxdxdy.=.420(4)xxxdx=.643=.【4】 而2(3sin)()yOAxyxdxxyedy42220(6sin)(2)2xxxxxed=+.【6】 4220(8sin4)xxxxedx4432008(cos)23xxxxd=.420864cos41(21)3xxe×=.+.8864cos4

11、73e×=.【9】 故864864448cos47cos47333Ie×=.+.=.【10】 六、(本題滿分7分) 解：方程兩邊對t求導，得 2()1(1)xtdxedt.+.+= 即2()1xtdxedt+=.【2】 ()22()22(xtdxdxextdtdt+=.+.【4】 令，得 0t=2(0)01xtdxedt=， 222(0)202(0)xtdxxedt=又由原方程得 2(0)10xuedu.=2(0)10ex.=（在(0)x與1之間），于是(0)1x=. 故22202tdxedt=【7】 七、(本題滿分10分) 解：兩曲面的交線分別是229,4xyz.+=與

12、2216,3.xyz.+=.【2】 這兩個圓周將球面依次分為、三部分，于是 12311AdS2222222291()()2525xyxydxdyxyxy+22229525xydxdyxy+.23200525dd=.23010(25)10=.=，.【5】 2232232222161()()2525xyxyAdSdxdxyxy+222216525xydxdyxy+.24200525dd=.24010(25)20=.=.【8】 從而， 22134570AAA=×.=.【9】 故所求之比為 .【10】 123:1:7:2AAA=八、(本題滿分9分) 解：11(1)(1)1(1)12lim(1

13、)2(1)2nnnnnnnnn+，收斂半徑2R=，收斂區間為【2】 (2,2).又當時，原級數變為2x=±222(1)(1)(1)(2)(1)24nnnnnnnnnn.±=.，均是發散的， 故所求的收斂域為(2.【3】 ,2).當時，(2,2)x.222(1)()(1)(1)22nnnnnn=(.【6】 而2222/4(1)()221(/2)2(2nnnnnnxxxxxx.+.【7】 所以 2232(1)4(1)()242(2)(22)x.<<.【9】 九、(本題滿分6分) 證明：()fx在1上連續從而在1上連續，故,4,3()fx在1上必有最大值,3M，又有最

14、小值，從而3( 即 m1)(2)(3)3mfffM+3mM.【2】 由介值定理知，11,3x. 使得 1(1)(2)(3)()23ffffx+= .【4】 又，從而(4)2f=1()(4)fxf=，且由條件，()fx在1,4x上連續，在內可導，故由羅爾定理知， 1(,4)x()(1,41,4x.，使得()0f= 【6】 考試時間：2007年6月16日(星期六) 上午8：3011：00 華僑大學2007年高等數學競賽試題(A卷) 標準答案及評分標準 一、 填空題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分） 1、2cos1； 2、 2dxdy. ； 3、 ； 4、 ； 5、4； 6、； 、12； 8、

15、2 . 二、(本題滿分10分) 解：1()2uftyxx.=+， .2 22121112221222()2()(2)22(2)uftyxftyyxxyxx.=+222121112222()2()(442)ftyxftyxyx.=+；4 21212111122122()(2)(2)()(2)2(2)uftxyyxftyxyxxyxy.=+22121211112()(2)(2)()(22)4ftxyyxftxyxyxy.=+.4 三、(本題滿分分) 解：令xxxfln)(=，則當ex>時，21ln()0xfxx.=<， 從而()fx在內單調減少，所以當時，(,)e+2>n1)1l

16、n(ln+nnnn；4 又ln1/limlim01xxxxx+=，得lnlim0nnn=；由萊布尼茨判別法知該級數收斂2 當時，2>nnnn1ln>，且=11nn發散，得1lnnnn=發散；故該級數條件收斂3 四、(本題滿分10分) 解：令，則，4 xat.=2=.=.aaaaaaadxxfdttfdttfdxxaf2220)()()()2(于是 2 dxxfdxxfdxxfdxxafdxxfdxxafxfaaaaaaa=+=.+=.+2020000)()()()2()()2()(從而 20sin1cosxxdxx+.+=2022)(cos1)sin()(cos1sindxxxxx

17、xx+=202cos1sin)(sindxxxxxx =202cos1sindxxx.2 222200cosarctan(cos)1cos4dxxx=.=.=+ 2 五、(本題滿分10分) 解：過給定直線的平面束方程為 21(23)xyzxyz+.+.+=， 其法向量為(1,2,12)n=+.3 曲線方程兩邊對x求導得2212xxxxyyzzyz+=.，將點(1,1,2).代入得：3,2xxyz=.； 從而曲線在點(1的切向量為 4 ,1,2).(1,3,2)T=.由得：0nT.=.52=.，將其代入平面束方程并整理得所求平面方程為 3912170xyz.+=.3 六、(本題滿分分) 解：當時

18、，220xy+222222()QyxxyPxxyy.從而該曲線積分在不含原點的任一單連通區域內與路經無關.3 取路徑為21:9Lyx=.，x從變到3的弧段，2 3.則原式11()()9Lxydxxydy=.+0199dt=.3 七、(本題滿分8分) 解：1()Iaxdydzdzdxzadxdya=+.1 取的下側，記為2221:0(zxya=+與1所圍成的閉區域，.2 則由高斯公式， 11()()aIaxdydzdzdxzadxdyaxdydzdzdxzadxdy+=+.+1(1)advadxdy=.+.324(1)aaaaa+×+×=.+22=-33， 故 3Ia=.+2133 .5 八、(本題滿分7分) 證明：令，.1 ()()xFxefx=則在,上連續，在內可導，且()Fxab(,ab()0Fa<，()0Fb<，()0Fc>， 在,與,上分別利用零點定理，accb()1,ac.，()2,cb.