1、1小結(jié)小結(jié) 3.5 微分的簡單應(yīng)用微分的簡單應(yīng)用第第3 3章章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分近似計算近似計算估計誤差估計誤差2例例解解,2rA 設(shè)設(shè),cm10 r05. 0102 ).cm(2 .)(0 xxf yyd , 0)(0 xf. y 用用來來近近似似計計算算.cm05. 0 rrr 2A rAr Ad 一、近似計算一、近似計算1. 計算函數(shù)增量的近似值計算函數(shù)增量的近似值半徑半徑10cm的金屬圓片加熱后的金屬圓片加熱后, 半徑伸長了半徑伸長了0.05cm, 問面積增大了多少問面積增大了多少?,很小時很小時且且 x 3.5 微分的簡單應(yīng)用微分的簡單應(yīng)用所以所以3例例解解,2glT ).s (

2、0002. 0 ,cm01. 0 lT lTl 鐘擺的周期原來是鐘擺的周期原來是1s. 在冬季在冬季, 擺長縮短了擺長縮短了3.5 微分的簡單應(yīng)用微分的簡單應(yīng)用0.01cm, 問這鐘每天大約快多少問這鐘每天大約快多少?設(shè)單擺的周期為設(shè)單擺的周期為T, 擺長為擺長為l,由物理知識由物理知識, 所以所以Td , s1 T由由(g為重力加速度為重力加速度)lgl )01. 0(22 gcmgl24 得得表明表明:由于擺長縮短了由于擺長縮短了0.01cm, 擺的周期也縮短了擺的周期也縮短了大約大約0.0002s, 因此每天大約快因此每天大約快:).s (28.17 0002. 0)606024(T與與

3、l的關(guān)系式的關(guān)系式:4)()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小時很小時x 2. 計算函數(shù)的近似值計算函數(shù)的近似值)(0 xx x曲線曲線處處在點在點)(,()(00 xfxxfy 的切線的表達式的切線的表達式.通常稱為函數(shù)通常稱為函數(shù) y = f (x)的一次近似或線性近似的一次近似或線性近似.附近的近似值附近的近似值在點在點求求0)()1(xxxf 3.5 微分的簡單應(yīng)用微分的簡單應(yīng)用50360cos0 故故例例.0360cos0的的近近似似值值計計算算 解解,cos)(xxf 設(shè)設(shè))( ,sin)(為弧度為弧度xxxf ,30 x令令.

4、,)()(00要很小要很小要容易算要容易算與與xxfxf xxfcos)( 就是函數(shù)就是函數(shù)360 x.3603處的值處的值在在 x)3603cos( xxfxfxxf )()()(0003.5 微分的簡單應(yīng)用微分的簡單應(yīng)用所以所以63603sin3cos 3602321 .4924. 0 )3603cos(0360cos0 xxfxfxxf )()()(00036030)(cos xxxx 30cosxx3.5 微分的簡單應(yīng)用微分的簡單應(yīng)用所以所以7常用的幾個一次近似式常用的幾個一次近似式)|(|很小時很小時x附附近近的的近近似似值值在在點點求求0)()2( xxf.)0()0()(xffx

5、f ,)()()(000 xxfxfxxf , 00 x令令. xx );(sin)2(為弧度為弧度xxx );(tan)3(為弧度為弧度xxx .)1ln()5(xx 2. 計算函數(shù)的近似值計算函數(shù)的近似值;111)1(xnxn ;1e)4(xx 3.5 微分的簡單應(yīng)用微分的簡單應(yīng)用所以所以8021. 01021. 1 證證,)1(1)(11 nxnxf, 1)0( fxffxf)0()0()( .1nx 例例.021. 13的近似值的近似值求求解解33021. 01021. 1 知知021. 0311 xffxf )0()0()(.1)0(nf xnxn111 由公式由公式x,1x n(1

6、)xnxn111)1( )(xf設(shè)設(shè).007. 1 )|(|很小時很小時x3.5 微分的簡單應(yīng)用微分的簡單應(yīng)用所以所以9例例解解.e)2(;5 .998)1(03. 03 35 .99830015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 0e .97. 0 xx 1e03. 01 (1)(很小時很小時x35 . 11000 (2)(很小時很小時x)10005 . 11 (1000 3計算下列各數(shù)的近似值計算下列各數(shù)的近似值.xnxn111)1( 3.5 微分的簡單應(yīng)用微分的簡單應(yīng)用10由于測量儀器的精度、條件和方法等各種由于測量儀器的精度、條件和方法等各種因素的影響因

7、素的影響, 測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差,帶有誤差的數(shù)據(jù)計算所得的結(jié)果也會有誤差帶有誤差的數(shù)據(jù)計算所得的結(jié)果也會有誤差,把它稱為把它稱為|aA |aaA 間接測量誤差間接測量誤差. .而根據(jù)而根據(jù)稱為稱為 a的的絕對誤差絕對誤差; ;稱為稱為 a的的相對誤差相對誤差. .某個量的精度值為某個量的精度值為A, 其近似值為其近似值為a,3.5 微分的簡單應(yīng)用微分的簡單應(yīng)用二、估計誤差二、估計誤差11問題問題在實際工作中在實際工作中, 絕對誤差與相對誤差無法求得絕對誤差與相對誤差無法求得辦法辦法 將誤差確定在某一個范圍內(nèi)將誤差確定在某一個范圍內(nèi).,A 又知道它的誤差不超過又知道它的誤

8、差不超過AaA 即即的的稱為測量稱為測量AA AaA稱為測量稱為測量| 絕對誤差限絕對誤差限 ,的的相對誤差限相對誤差限 .)()(某個量的精度值為某個量的精度值為A, 測得它的近似值是測得它的近似值是a, 3.5 微分的簡單應(yīng)用微分的簡單應(yīng)用12根據(jù)直接測量的根據(jù)直接測量的x值按公式值按公式 y = f (x)計算計算y值時值時, 如果已知測量如果已知測量x的絕對誤差限是的絕對誤差限是,x 即即,|xx 那么那么, ,0時時當(dāng)當(dāng) y y的絕對誤差的絕對誤差|d|yy 即即y的的絕對誤差絕對誤差(限限)約為約為;|xyy 即即y的的相對誤差相對誤差(限限)約為約為一般一般,|xy ,|xy .

9、|xyyyy 3.5 微分的簡單應(yīng)用微分的簡單應(yīng)用13例例,005. 041. 2求出它的面積求出它的面積米米正方形邊長為正方形邊長為 解解.2xy 則則,41. 2時時當(dāng)當(dāng) x).(8081. 5)41. 2(22my 41. 241. 22 xxxy.82. 4 ).(0241. 02m %.4 . 0 ,005. 0 x yy y的的絕對誤差絕對誤差(限限)約為約為xyy |面積面積y的的絕對誤差絕對誤差(限限)為為面積面積y的的相對誤差相對誤差(限限)為為8081. 50241. 0 xyy |設(shè)正方形邊長為設(shè)正方形邊長為x, 面積為面積為y,邊長邊長x的絕對誤差為的絕對誤差為并估計絕對誤差與相對誤差并估計絕對誤差與相對誤差. y的的相對誤差相對誤差(限限)約為約為| yy 005. 082