1、精品微積分在物理學上的應用1 引言微積分是數學的一個基本學科，內容包括微分學，積分學，極限及其應用，其中微分學包括導數的運算，因此使速度， 加速度等物理元素可以使用一套通用的符號來進行討論。而在大學物理中， 使用微積分去解決問題是及其普遍的。對于大學物理問題，可是使其化整為零，將其分成許多在較小的時間或空間里的局部問題來進行分析。只要這些局部問題分的足夠小， 足以使用簡單，可研究的方法來解決，再把這些局部問題的結果整合起來啊，就可以得到問題的結果。而這種將問題無限的分割下去，局部問題無限的小下去的方法，即稱為微分，而把這些無限個微分元中的結果進行求和的方法，即是積分。 這種解決物理問題的思想和

2、方法即是微積分的思想和方法。2 微積分的基本概念及微分的物理含義微積分是一種數學思想，其建立在函數，實數和極限的基礎上，其主要探討的就是連續變量。在運用微積分去解決物理問題時，可以將我們所需要得出的結果看成是一個整體，再將這個整體先微分，即將其分成足夠小的個體，我們可以將這個個體的變量看成衡量，得出個體結果后， 再將其積分，即把個體的結果累積起來進行求和。例如，在我們研究勻變速直線運動時，我們就可以在其運動過程中選取一個微小的時間dt ，而這一時間內的位移為dt ，在每一段時間內速度的變化量非常小，可以近似忽略， 那么我們就可以將這段時間內的運動近似看成勻速直線運動，再把每段時間內的位移相加，

3、無限求和，就可以得出總的位移。在物理學中，每個物理公式都是某些物理現象和規律的數學表示，因此，我們在使用這些公式時， 面對物理量和公式的微分形式我們不能僅僅從數學方面去考慮，更要從物理含感謝下載載精品義上去考慮。 在我們使用微分符號時，不能只從數學角度去理解其為無限小，更要結合具體的物理量和角度去判斷他的正確含義。例：如圖所示，一通有交流電流i= I0 sin t 的長直導線旁有一共面的單匝矩形線圈ABCD ，試求線圈中的感應電動勢大小。解：設在某個時刻，長直導線電流產生的磁場為0 iB= 2 x在圖中做一個微元面dS,dS=ldx, 則該面元上的磁場可以近似于均勻磁場，微元面dS 上的磁通量

4、為 ildxd? m = BdS =02x線圈圍成的面上通過的磁通量為? m = d? m =0illnb2a線圈中的感應電動勢為d?m = - Ilb= -00lndt2acos t在這個例題中，微元面 dS 的磁通量與線圈的感應電動勢都有d? m ，但他們的物理含義卻是不一樣的，前者的d? m 表示微元面dS 上的磁通量，是一個微小量，而后者的d? m 表示的是微笑時間內的磁通量變化量，是一個微小變化量。3 微元的選取以及微積分解決物理問題時的一般步驟感謝下載載精品3.1微元的選取在使用微積分去解決物理問題時，微元的選取是非常重要的，有的時候在微元的選擇上并不是僅僅只有一個，因此，選取一個

5、合適的微元對我們解決問題會有很大幫助。我們通常在微元的選取方面有以下幾點注意，第一，在我們選取微元時，要保證我們們所選擇的微元能夠讓我們可以將原本的問題近似處理的比較簡單，以使我們能夠更加便利且清晰的區解決物理問題； 第二，我們要使我們選擇的微元盡可能地大，這樣在我們去積分時可以更為方便，如果微分過細，那么我們的過程會更精準，可是相對的， 我們在積分時面臨的過程也會更加繁瑣， 因此我們要處理好微分和積分之間的運算；第三，能用一元微元去解決問題時盡量使用一元微元，因為重積分使用起來要比一元積分麻煩的很多。選取微元要遵循以下幾個原則：1.可加性原則， 由于在題目中我們所選取的微元要可以疊加演算，因

6、此，選取的微元要具備可加性；2.有序性原則，為了保證我們所選取的微元能夠在疊加區域可以不遺漏，不重復的疊加，我們就需要注意按照量的某種序來選取微元；3.平權型原則， 疊加演算實際上就是一種復雜的“加權疊加” 。對于一般的 “權函數 ”而言，疊加演算，也就是求定積分是十分復雜的，但如果“權函數”具備了“平權性”特征（在定義域內的值處處相等） ，原本復雜的題目就會化成簡單的形式更有利于我們去解決問題。例：求半徑為 R 的均勻帶電半球面在點O 的電場強度，設球面上電荷面密度 >0.解法一：如圖， 在球面上任取面元dS ，將其上的電荷為一點電荷 dq ，則有dq= dS= (Rd )(Rsin

7、)d 感謝下載載精品2 2= R sin d d 則該點電荷元在點 O 產生的場強dE=dq/(40R2 )= sin d d /(4 0)根據對稱性，即得出點O 場強 E0 沿 Z 軸正方向，大小為E= dE cos = /(4 0)解法二：如圖，沿著與Z 軸的垂直方向把半球面分割成許多不同半徑的帶電圓環，任取一圓環，其上的電荷在點O 產生的場強3dE=dqz/40(z2 + r2 )2 =( /2 0)sin cos d 方向沿 OZ 軸正方向，點O 場強E= dE= /(4 0)由例子可知選取的微元不同，解法也是不同的，代表的物理含義也是不一樣的，然而微元的選取并不影響結果，因此我們要正

8、確理解其含義，才能更好地從物理概念，物理實質上去把握微積分。3.2微積分解決物理問題時的一般步驟1.根據題意分析，選取一個具有廣泛意義的微元，對微元進行分析，若是題目簡單且物理含義比較明顯，且遵從題意，可直接進行積分。2.若是題目較復雜， 根據題意，對于一個暫態過程寫出一個平衡等式，然后對兩邊微分，感謝下載載精品在得到一個微元結果后，對這個分式進行積分操作。以上步驟都是在遵從題意的基礎下進行，進行微分分析的結果一般是一個微分方程，在求解時要注意初始條件，在積分時，更要注意取上下限時，要滿足邊界條件。例：圓柱形桶的內壁高為h ，內半徑為R，桶底有一半徑為r 的小孔，試問從盛滿水開始打開小孔直至流

9、完桶中的水，共需多長時間？解：如圖建立坐標系，在沒有摩擦力的情況下，當桶內水位高度為h-x 時，水從小孔中單位時間內流過單位截面積的流量為v= 2g ( h - x) ，其中 g 為重力加速度設積分變量x,其變化區間為0 ， h任取 x,x+x 0,h ，當桶中液體下降x 時，所需要的時間用dt 表示， 根據水的流量體積相等得 R2 dx=v r 2dt所以 dt= R2/ r2 2g ( h - x) dx,x 0,h流完一桶水所需的時間h2Rt f= 2dx0r2g (h - x )但因為被積函數是0 ， h 上的無界函數，所以2t f = limR- r2dxh02g ( h- x)=

10、2h ( R) 2g r由此題可看出， 在我們通常使用微積分解決物理問題時，建立坐標系是很好的一個方法，感謝下載載精品可以有助于我們更好地去解決問題。4 微積分在物理學各領域的應用4.1微積分在質點力學的應用微積分在力學中的使用是非常普遍的，要用好微積分去解決問題，首先要在思想上認識到物體在運動過程中，反應其運動特征的物理量是隨著時間的變化而變化的。運用微積分可以得出質點的運動方程以及他的運動狀態。就比如說當我們對函數中的t 進行求一階導數時，我們就可以得到該函數所表示的質點的加速度函數。而我們可以將微積分在質點運動時的問題可以分成以下幾類：1.在已知道運動方程的前提下求其中的加速度和速度；2

11、. 在已知質點的加速度，以及該質點的初始速度的前提下，求該質點的運動方程。例 1 ：一人站在岸上，用一條繩子拉船使其向岸邊靠攏，如圖所示，若人以恒定速率v0 收繩，求船的速度。解：如圖所示，設設船與輪子的距離為l,船的瞬時位移為x，由圖可知x2 = l 2 - h2那么船的瞬時速度為感謝下載載精品d l22dlv=dx=- hd dtdydt=22l- h根據題意可知v 0=-所以 v=-lv0l 2 - h 2dldt在解決此類問題時，我們要善于從幾何關系中找到質點的運動方程，而在一般情況下運動方程往往是t 的隱函數形式。因此，將方程中的t 進行一階及二階求導，就可以得出瞬時速度和瞬時加速度

12、隨著一些空間變量的變化規律。例 2 ：如圖，質量M=2.0kg的木箱，懸掛在一輕彈簧下，彈簧靜伸長x0 =0.01m，一質量m=2.0kg的橡皮泥距箱子底板h=0.30m處自由落下，黏在箱子底部后，同箱子一起向下運動，求箱子下降的最大距離。解：球落到箱子底部時的速度為v0 = 2gh設當橡皮泥與箱子一起運動時的速度為v,則 mv 0=(M+m)v所以v=mv0M + m根據動量定理知（ Mg+mg-kx） dt=d(m+M)v得出(Mg+mg-kx)dx=(M+m)vdv上式積分后得x0 + x 1(Mg+ mg0- kx ) dx= ( M + m )vdvx0v化簡整理后1（ M+m2+1

13、kx02=-(M+m)gx1 +k ( x1 + x0)22）v2整理之后得出x=0.03m感謝下載載精品例 3 ：質量為 m 的質點在力的作用下做平面曲線運動，?其運動方程為r =A cos ti +B sin tj ，式中 ,A,B, 都是正的恒量，則力在t=0到t=1這段時間內做的功是多少？22解：在這段時間內質點動能的增量為Ek= 1 mv 22- 1 mv 1 22212+ v y22) t2= ?-122) t1 = 0= m (v x2m ( vx1+ vy1222 = 1m( Ad cos t ) 2 +2dt( Bd sin t ) 2 t2=?2-1m ( Ad cos t

14、 )2 +dt2dtBd sin t2 t1 = 0()dt12- B2)= 2 m 2( A由動能定理知，功W 等于動能增量E k，所以W= 1 m 2 (A 2 - B2 )24.2微積分在剛體的定軸轉動中的應用剛體的定軸轉動的一些基本公式：運動方程： = （ t ）（表示角位置隨時間t 的變化關系）角速度： = ddtd d2 角加速度： = dt = dt 2例 1 ：一長為 l,質量為 m 的均勻直桿，兩端分別固定有質量為2m 和 m 的小球，桿可繞與桿垂直的水平光滑固定軸O 在直面內轉動，軸到桿中心C 的距離 OC= 41.開始桿與水平方向成 0角，且處于靜止狀態，如圖所示，求桿釋

15、放后，轉到豎直位置時的角速度及質心C 的速度和加速度。感謝下載載精品解：應用積分轉動定律，當桿轉動到如圖（1 ）的位置時有M 合 =I l3l其中M 合 =mg 4 cos + 2mg4 l cos - mg 4 cos 3(1)= mgl cos 2I 為各物體對軸O 的轉動慣量之和，即12+ m (l) 2 + 2m (32 +m (l) 2I=12 ml44 l)4=4 ml 23結合上述式子dd d I d IdM 合=I dt =Id dt= d dtd =d 3142即?mglcos d = 2 d (? ml2)- 0 2023得到 =3 g ( 1 + sin )2l0質心速度

16、為vc=l =3lg ( 1 +sin )480質心加速度為2l9g ( 1 + sin 0)a c = 4=16在熟練掌握定理的同時運用微積分來解答此類問題是對我們是十分有幫助的，因此在解題過程中我們要把兩者結合好，才更有利于我們解決此類問題。例 2 ：如圖所示， 一半徑為 r 的空心管放在豎直的平面內， 管內有一鏈條， 它的線密度為 。開始時，鏈條的兩端分別與管口A 和 B 重合，受到干擾后，鏈條的一端由管口滑下，求圖感謝下載載精品示位置鏈條的速度。解：如圖所示（2 ）所示取管內鏈條上的一小質元dm= rd ,其重力對點O 力矩為d M 1 = ( rd )g cos r則管內部分鏈條的重

17、力對O 力矩為 - ()2M 1= dM 1= g sin (2)rd g cos r = r0而管外鏈條下垂部分重力對O 力矩為M 2 = ( rg ) r = r2g則瞬時和力矩為M=M1+M2根據角動量定理得到M= dLdt所以 Md = Id 即 ( M 1 + M 2) d = Id 對其進行積分，得到(+ M 2)d = Id M 12220( rg sin )+rd g d = ( r)r00解得v= rg ( 2 -2 cos + 200當我們遇到這樣的題目， 要善于在題目中間找到等價關系，靈活的運用微積分和定理之間的關系更有利于我們去解決問題。該題利用角動量定理，再對其進行積

18、分， 以此求出速度v。感謝下載載精品4.3微積分在靜電場方面的應用設真空中的電荷為q ， P 點位于空間一點，r?為從 q 到 P 點的矢徑。 P 點的電場強度為?E =?F1 q=4 0r2 r 0q 0由疊加原理，點電荷系在空間P 點處的電場強度?1q1?E=E1=4 2 r00 r1由定積分的定義，連續帶電體在空間P 點處的電場強度?dq?E = dE = 4 r00?設真空中的電荷為 q ， P 點位于空間一點，r 為從 q 到 P 點的矢徑。 P 點的電勢為qVP= ? ?E ?dl =P4r0由疊加原理，點電荷系在空間P 點處的電勢VP=1q14 r10由定積分的定義，連續帶電體在空間P 點處的電勢? ?VP= E ?dlP例 1 ：在一半徑為R 的非導體細圓環上，電荷的線密度= cos ，式中