1、24.3正多邊形和圓1.知道正多邊形和圓的關系,知道正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念.2.能運用正多邊形的知識解決圓的有關計算問題.3.會用量角器等分圓,會用尺規作圖作圓內接正方形和正六邊形.4.重點:能用正多邊形的知識解決問題;會用量角器等分圓周;會用尺規作圖作圓內接正方形和正六邊形.【舊知回顧】各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形. 知識點正多邊形的有關概念及計算閱讀教材本課時第一個“練習”前面的內容,解決下列問題.1.正多邊形和圓有的關系非常密切,只要把一個圓分成相等的一些弧,就可以作出這個圓的內接正多邊形,這個圓就是正多邊形的外接圓. 2.由教材中證明

2、五邊形ABCDE是正五邊形的思路可知,證明這個多邊形是正n邊形的證明思路:弧相等弦相等圓周角相等多邊形各邊相等多邊形各角相等多邊形是正多邊形.3.正多邊形的外接圓的圓心叫做這個多邊形的中心;外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑;正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角;中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距. 【歸納總結】分別計算半徑為R的圓內接正三角形、正方形、正五邊形的有關數據,填寫下表:圖形中心角邊心距邊長周長面積正三角形120°Rcos 60°2Rsin 60°6Rsin 60°32R2sin 60°正方形90°

3、;Rcos 45°2Rsin 45°8Rsin 45°2R2sin 90°正五邊形72°Rcos 36°2Rsin 36°10Rsin 36°52R2sin 72°正n邊形360°nRcos180°n2Rsin180°n2nRsin180°nn2R2sin360°n【預習自測】若一個正多邊形的每個內角的度數是中心角的3倍,則正多邊形的邊數是(C)A.4B.6C.8D.10知識梳理圓內接正多邊形的畫法閱讀教材本課時兩個“練習”之間的內容,解決下列問題.1.同

4、圓中相等的圓心角所對的弧相等,因此作相等的圓心角就可以等分圓周,從而得到相應的正多邊形.我們可以用量角器將一個圓n(n3)等分,依次連接各等分點得正n邊形. 2.對一些特殊的正多邊形,可以用圓規和直尺來作,如先畫出兩條互相垂直的直徑,將圓四等分,依次連接各分點得正方形;用圓規從圓上一點順次截取等于半徑的弦,依次連接各分點得正六邊形.在此基礎上,可作正八、十二、十六、二十四邊形. 【預習自測】下列正多邊形,通過直尺和圓規不能作出的是(C)A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形互動探究1:如圖,PQR是O的內接三角形,四邊形ABCD是O的內接正方形,BCQR,則DOR的

5、度數是(D)A.60°B.65°C.72°D.75°互動探究2:畫一個半徑為2 cm的正五邊形,再作出這個正五邊形各條對角線,畫出一個五角星.解:畫法(1)以O為圓心,OA=2 cm為半徑畫圓;(2)以O點為頂點,OA為一邊作角AOB=72°,再依次作BOC=COD=DOE=72°,分別與圓交于點B、C、D、E;(3)分別連接AB,BC,CD,DE,EA.則正五邊形ABCDE就是所要畫的正五邊形;(4)分別作出此正五邊形的對角線,得到一個五角星.(如下圖)互動探究3:如圖,ABC是O的內接等腰三角形,頂角BAC=36°,弦B

6、D、CE分別平分ABC、ACB,求證:五邊形AEBCD是正五邊形.證明:ABC是等腰三角形,BAC=36°,ABC=ACB=72°.又BD、CE分別平分ABC、ACB,ABD=DBC=ACE=BCE=36°=BAC,BC=CD=AD=AE=BE,BC=CD=AD=AE=BE.又ACD=ABD=36°,BCD=108°,同理可證EBC=AEB=DAE=ADC=108°,故五邊形AEBCD是正五邊形.【方法歸納交流】要說明一個多邊形是正多邊形,即要說明這個多邊形的每個角都相等,也要說明每條邊也相等. 互動探究4:如圖1、2、3、n,M、N分別是O的內接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、正n邊形ABCDE的邊AB、BC上的點,且BM=CN,連接OM、ON.(1)求圖1中MON的度數;(2)圖2中MON的度數是90°,圖3中MON的度數是72° (3)試探究MON的度數與正n邊形邊數n的關系(直接寫出答案).解:(1)連接OB、OC,等邊A