1、2017年福建省高中畢業班單科質檢數學試卷（文科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知復數z=m+2i，且（2+i）z是純虛數，則實數m=（）A1B2C1D22若公差為2的等差數列an的前9項和為81，則a9=（）A1B9C17D193函數y=x2+ln|x|的圖象大致為（）ABCD4已知集合A=a，1，B=a2，0，那么“a=1”是“AB”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件5當生物死亡后，其體內原有的碳14的含量大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”當死亡生物體內

2、的碳14含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到了若某死亡生物體內的碳14用該放射性探測器探測不到，則它經過的“半衰期”個數至少是（）A8B9C10D116已知三棱錐PABC的三條側棱兩兩互相垂直，且AB=，BC=，AC=2，則此三棱錐的外接球的體積為（）ABCD7執行如圖所示的程序框圖，若輸入n=2017，輸出S的值為0，則f（x）的解析式可以是（）ABCD8已知函效f（x）=，則下列結論正確的是（）Af（x）有極值Bf（x）有零點Cf（x）是奇函數Df（x）是增函數9如圖，O與x軸的正半軸交點為A，點B，C在O上，且B（，），點C在第一象限，AOC=，BC=1，則cos（）

3、=（）ABCD10已知直線l過點A（1，0）且與B：x2+y22x=0相切于點D，以坐標軸為對稱軸的雙曲線E過點D，一條漸進線平行于l，則E的方程為（）A=1B=1Cx2=1D=111如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體最長的棱長為（）ABC6D12已知函數f（x）=x（aex），曲線y=f（x）上存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線都與y軸垂直，則實數a的取值范圍是（）A（e2，+）B（e2，0）C（e2，+）D（e2，0）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分13設向量，且的夾角為，則m=14若x，y滿足約束條件，則z=x+2y的最小值為15橢圓的

4、左、右焦點分別為，上、下頂點分別為B1，B2，右頂點為A，直線AB1與B2F1交于點D若2|AB1|=3|B1D|，則C的離心率等于16已知函數f（x）=sin（x+）（0）在（，）上有最大值，但沒有最小值，則的取值范圍是三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2bcosCc=2a（）求B的大??；（）若a=3，且AC邊上的中線長為，求c的值18如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側面ACC1A1側面ABB1A1，B1A1A=C1A1A=60°，AA1=AC=4，AB=1（）求證：A1B1B1C1；（）求三棱錐ABCA1B1C1

5、的側面積19某公司生產一種產品，第一年投入資金1 000 萬元，出售產品收入 40 萬元，預計以后每年的投入資金是上一年的一半，出售產品所得收入比上一年多 80 萬元，同時，當預計投入的資金低于 20 萬元時，就按 20 萬元投入，且當年出售產品收入與上一年相等（）求第n年的預計投入資金與出售產品的收入；（）預計從哪一年起該公司開始盈利？（注：盈利是指總收入大于總投入）20已知點F（1，0），直線l：x=1，直線l'垂直 l于點P，線段PF的垂直平分線交l于點Q（）求點Q的軌跡 C的方程；（）已知點 H（1，2），過F且與x軸不垂直的直線交C于A，B兩點，直線AH，BH分別交l于點M，

6、N，求證：以MN為直徑的圓必過定點21已知函數f（x）=（ax1）ex，aR（）討論f（x）的單調區間；（）當mn0時，證明：men+nnem+m請考生在第（22）、（23）兩題中任選一題作答注意：只能做所選定的題目如果多做，則按所做第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑選修4-4：坐標系與參數方程22在極坐標系中，曲線C1：=2cos，曲線以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系xOy，曲線C的參數方程為（t為參數）（）求C1，C2的直角坐標方程；（）C與C1，C2交于不同四點，這四點在C上的排列順次為P，Q，R，S，求|PQ|RS|的值選修4-5不等式選

7、講23已知函數f（x）=|xa|+|2x1|（）當a=1時，解不等式f（x）2；（）求證：2017年福建省高中畢業班單科質檢數學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知復數z=m+2i，且（2+i）z是純虛數，則實數m=（）A1B2C1D2【考點】復數代數形式的乘除運算【分析】把復數z=m+2i代入（2+i）z，然后利用復數代數形式的乘法運算化簡，再由已知條件列出方程組，求解可得答案【解答】解：（2+i）z=（2+i）（m+2i）=2m+4i+mi+2i2=（2m2）+（m+4）i為純虛數，解得m=1故選

8、：A2若公差為2的等差數列an的前9項和為81，則a9=（）A1B9C17D19【考點】等差數列的通項公式【分析】利用等差數列前n項和公式求出首項，由此能求出第9項【解答】解：公差為2的等差數列an的前9項和為81，解得a1=1，a9=1+（91）×2=17故選：C3函數y=x2+ln|x|的圖象大致為（）ABCD【考點】函數的圖象【分析】先求出函數為偶函數，再根據函數值的變化趨勢或函數的單調性即可判斷【解答】解：f（x）=x2+ln|x|=f（x），y=f（x）為偶函數，y=f（x）的圖象關于y軸對稱，故排除B，C，當x0時，y，故排除D，或者根據，當x0時，y=x2+lnx為增函

9、數，故排除D，故選：A4已知集合A=a，1，B=a2，0，那么“a=1”是“AB”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】根據集合交集的定義結合充分條件和必要條件的定義進行判斷【解答】解：當a=1時，A=1，1，B=1，0，則AB=1成立，即充分性成立，若AB，則a2=1或a2=a，即a=1或a=1或a=0，當a=1時，A=1，1不成立，當a=1時，A=1，1，B=1，0，則AB=1成立，當a=0時，B=0，0不成立，綜上a=1，即“a=1”是“AB”的充要條件，故選：C5當生物死亡后，其體內原有的碳14的

10、含量大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”當死亡生物體內的碳14含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到了若某死亡生物體內的碳14用該放射性探測器探測不到，則它經過的“半衰期”個數至少是（）A8B9C10D11【考點】對數的運算性質【分析】經過n個“半衰期”后的含量為，可得，解出即可得出【解答】解：設死亡生物體內原有的碳14含量為1，則經過n個“半衰期”后的含量為，由得：n10所以，若探測不到碳14含量，至少需要經過10個“半衰期”故選：C6已知三棱錐PABC的三條側棱兩兩互相垂直，且AB=，BC=，AC=2，則此三棱錐的外接球的體積為（）ABCD【考點】

11、棱柱、棱錐、棱臺的體積【分析】求出PA=1，PC=，PB=2，以PA、PB、PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖，則長方體的外接球同時也是三棱錐PABC外接球算出長方體的對角線即為球直徑，結合球的體積公式，可算出三棱錐PABC外接球的體積【解答】解：AB=，BC=，AC=2，PA=1，PC=，PB=2以PA、PB、PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖則長方體的外接球同時也是三棱錐PABC外接球長方體的對角線長為=2，球直徑為2，半徑R=，因此，三棱錐PABC外接球的體積是R3=×（）3=故選：B7執行如圖所示的程序框圖，若輸入n=2017，輸出S的值為0，則f（x）的解析式可以是

12、（）ABCD【考點】程序框圖【分析】模擬程序的運行，可得程序框圖的功能是計算并輸出S=f（1）+f（2）+f+f（2）+f+f（2）+f+f（2）+f已知函效f（x）=，則下列結論正確的是（）Af（x）有極值Bf（x）有零點Cf（x）是奇函數Df（x）是增函數【考點】分段函數的應用【分析】當x0時，f（x）=xsinx，利用導數判斷函數為增函數，當x0時，f（x）=x3+1，函數為增函數，再去判斷零點，極值和奇偶性【解答】解：當x0時，f（x）=xsinx，f（x）=1cosx0恒成立，f（x）在（，0）上為增函數，f（x）f（0）=0，當x0時，f（x）=x3+1，函數為增函數，f（x）f（

13、0）=1，綜上所述f（x）是增函數，函數無極值，無零點，f（x）f（x），f（x）f（x），函數為非奇非偶函數，故選：D9如圖，O與x軸的正半軸交點為A，點B，C在O上，且B（，），點C在第一象限，AOC=，BC=1，則cos（）=（）ABCD【考點】三角函數的化簡求值【分析】由題意求得sin，cos的值，利用兩角差的余弦展開cos（）得答案【解答】解：如圖，由B（，），得OB=OC=1，又BC=1，BOC=，由三角函數的定義，得sinAOB=，cosAOB=sin=sin（）=sincosAOBcossinAOB=，cos=cos（）=coscosAOB+sinsinAOB=cos（）=故選

14、：B10已知直線l過點A（1，0）且與B：x2+y22x=0相切于點D，以坐標軸為對稱軸的雙曲線E過點D，一條漸進線平行于l，則E的方程為（）A=1B=1Cx2=1D=1【考點】雙曲線的簡單性質【分析】設直線l：y=k（x+1），求得圓的圓心和半徑，運用正弦和圓相切的條件：d=r，求得斜率k，聯立直線和圓方程解得交點，求出漸近線方程，設出雙曲線方程，代入D的坐標，解方程即可得到所求方程【解答】解：可設直線l：y=k（x+1），B：x2+y22x=0的圓心為（1，0），半徑為1，由相切的條件可得，d=1，解得k=±，直線l的方程為y=±（x+1），聯立x2+y22x=0，解得

15、x=，y=±，即D（，±），由題意可得漸近線方程為y=±x，設雙曲線的方程為y2x2=m（m0），代入D的坐標，可得m=則雙曲線的方程為=1故選：D11如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體最長的棱長為（）ABC6D【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；由三視圖求面積、體積【分析】根據幾何體的三視圖還原幾何體形狀，求出各棱的長度，比較后，可得答案【解答】解：利用“三線交匯得頂點”的方法，該幾何體位三棱錐PABC如圖所示，其中，正方體棱長為4，點P是正方體其中一條棱的中點，則： ，所以最長棱為6故選：C12已知函數f（x）=x（aex）

16、，曲線y=f（x）上存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線都與y軸垂直，則實數a的取值范圍是（）A（e2，+）B（e2，0）C（e2，+）D（e2，0）【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程【分析】由曲線y=f（x）上存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線都與y軸垂直，故f（x）=a+（x1）ex=0有兩個不同的解，即得a=（1x）ex有兩個不同的解，即可解出a的取值范圍【解答】解：曲線y=f（x）上存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線都與y軸垂直，f（x）=a+（x1）ex=0有兩個不同的解，即得a=（1x）ex有兩個不同的解，設y=（1x）ex，則y=（x2）ex，x2，y0，x2

17、，y0x=2時，函數取得極小值e2，ae2故選A二、填空題：本大題共4小題，每小題5分13設向量，且的夾角為，則m=1【考點】平面向量數量積的運算【分析】根據平面向量的數量積，列出方程，即可求出m的值【解答】解：向量，且的夾角為，則，根據 公式得：，解得m=1故答案為：114若x，y滿足約束條件，則z=x+2y的最小值為2【考點】簡單線性規劃【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數以及可行域，判斷最值點的位置，然后求解最小值即可【解答】解：因為線性約束條件所決定的可行域為非封閉區域且目標函數為線性的，最值一定在邊界點處取得分別將點代入目標函數，求得：，所以最小值為2故答案為：215橢圓的左、

18、右焦點分別為，上、下頂點分別為B1，B2，右頂點為A，直線AB1與B2F1交于點D若2|AB1|=3|B1D|，則C的離心率等于【考點】橢圓的簡單性質【分析】由2|AB1|=3|B1D|，得：，根據三角形相似得：，則，代入即可求得e的值【解答】解：如圖所示，設D（x0，y0），由2|AB1|=3|B1D|，得：，根據三角形相似得：，求得：，又直線B2F1的方程為將點代入，得：，故答案為：16已知函數f（x）=sin（x+）（0）在（，）上有最大值，但沒有最小值，則的取值范圍是（，3）【考點】正弦函數的圖象【分析】要求函數f（x）=sin（x+）（0）在（，）上有最大值，但沒有最小值，可得+，解

19、之即可得結論【解答】解：要求函數f（x）=sin（x+）（0）在（，）上有最大值，但沒有最小值，+解之即可得：（，3）故答案為（，3）三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2bcosCc=2a（）求B的大??；（）若a=3，且AC邊上的中線長為，求c的值【考點】余弦定理；正弦定理【分析】（）由余弦定理化簡已知等式可得：a2+c2b2=ac，進而可求cosB=，結合范圍B（0，），可求B的值（）由（）可得：b2=a2+c2+ac=c2+3c+9，取AC中點D，連接BD，由余弦定理可求cosC=，整理可得9+b2c2=2（9+），聯立即可

20、解得c的值【解答】（本題滿分為12分）解：（）2bcosCc=2a，由余弦定理可得：2bc=2a，3分化簡可得：a2+c2b2=ac，4分cosB=，5分B（0，），B=6分（）由（）可得：b2=a2+c2+ac=c2+3c+9，7分又cosC=，8分取AC中點D，連接BD，在CBD中，cosC=，9分9+b2c2=2（9+），11分把代入，化簡可得：c23c10=0，解得：c=5或c=2（舍去），可得：c=512分18如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側面ACC1A1側面ABB1A1，B1A1A=C1A1A=60°，AA1=AC=4，AB=1（）求證：A1B1B1C1；（）求三棱錐

21、ABCA1B1C1的側面積【考點】棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積；空間中直線與直線之間的位置關系【分析】（）取AA1中點O，連結OC1，AC1，推導出OC1AA1，OC1A1B1，A1B1OB1，從而A1B1平面OB1C1，由此能證明A1B1B1C1（）在平行四邊形ABB1A1中，過B1作B1E1于點E，過O作OFBB1于點F，則OFB1E為矩形推導出BB1OC1，C1FBB1，由此能求出三棱錐ABCA1B1C1的側面積【解答】證明：（）取AA1中點O，連結OC1，AC1，AA1=AC=A1C1=4，C1A1A=60°，AC1A1為正三角形，OC1AA1，OC1=2，又側面ACC1

22、A1側面ABB1A1，面ACC1A1面ABB1A1=AA1，OC1面ACC1A1，OC1平面ABB1A1，又A1B1平面ABB1A1，OC1A1B1，在OA1B1中，OA1B1=60°，A1B1=AB=1，OA1=2，=1+42×1×2×cos60°=3，解得OB1=，OA12=OB12+，A1B1OB1，又OB1OC1=O，OB1平面OB1C1，OC1平面OB1C1，A1B1平面OB1C1，B1C1平面OB1C1，A1B1B1C1解：（）依題意， =8，在平行四邊形ABB1A1中，過B1作B1E1于點E，過O作OFBB1于點F，則OFB1E為

23、矩形，OF=B1E，由（1）知OC1平面ABB1A1，BB1平面ABB1A1，BB1OC1，BB1OF，OC1OF=O，OC1平面OC1F，OF平面OC1F，BB1平面OC1F，C1F平面OC1F，C1FBB1，在RtOC1F中，OC1=2，OF=B1E=，C1F=，=BB1×，三棱錐ABCA1B1C1的側面積S=2=19某公司生產一種產品，第一年投入資金1 000 萬元，出售產品收入 40 萬元，預計以后每年的投入資金是上一年的一半，出售產品所得收入比上一年多 80 萬元，同時，當預計投入的資金低于 20 萬元時，就按 20 萬元投入，且當年出售產品收入與上一年相等（）求第n年的預

24、計投入資金與出售產品的收入；（）預計從哪一年起該公司開始盈利？（注：盈利是指總收入大于總投入）【考點】數列的應用【分析】（）設第n年的投入資金和收入金額分別為an萬元，bn萬元，根據題意可得an是首項為1000，公比為的等比數列，bn是首項為40，公差為80的等差數列，問題得以解決，（）根據等差數列的求和公式和等比數列的求和公式得到Sn，再根據數列的函數特征，即可求出答案【解答】解：（）設第n年的投入資金和收入金額分別為an萬元，bn萬元，依題意得，當投入的資金不低于20萬元，即an20，an=an+1bn=bn+1+80，n2，此時an是首項為1000，公比為的等比數列，bn是首項為40，公

25、差為80的等差數列，所以an=1000×（）n1，bn=80n40，令an20，得2n150，解得n7所以an=，（）Sn=2000×（）n+40n22000，所以SnSn1=2000×（）n+80n40，n2，因為f（x）=2000×（）x+80x40為增函數，f（3）0，f（4）0，所以當2n3時，Sn+1Sn，當4n6時，Sn+1Sn，又因為S10，S6=528.750，所以1n6，Sn0，即前6年未盈利，當n7，Sn=S6+（b7a7）+（b8a8）+（bnan）=528.75+420（n6），令Sn0，得n8綜上，預計公司從第8年起開始盈利20

26、已知點F（1，0），直線l：x=1，直線l'垂直 l于點P，線段PF的垂直平分線交l于點Q（）求點Q的軌跡 C的方程；（）已知點 H（1，2），過F且與x軸不垂直的直線交C于A，B兩點，直線AH，BH分別交l于點M，N，求證：以MN為直徑的圓必過定點【考點】拋物線的簡單性質【分析】（）由拋物線的定義可知：Q到直線x=1的距離與到點F的距離相等，點Q的軌跡是以F為焦點，l為準線方程的拋物線，即可求得點Q的軌跡 C的方程；（）求得焦點坐標，設直線方程，代入拋物線方程，求得直線直線AH，BH的斜率分別為k1，k2，求得M和N的坐標，由韋達定理求得yMyN=4，yM+yN=，代入圓的方程，即可

27、求得x和y的值，則以MN為直徑的圓必過定點【解答】解：（）由題意可知丨QP丨=丨QF丨，即Q到直線x=1的距離與到點F的距離相等，點Q的軌跡是以F為焦點，l為準線方程的拋物線，設拋物線的方程y2=2px（p0），則p=2，點Q的軌跡C的方程y2=4x；（）證明：由題意可知：設直線AB：x=my+1（m0），整理得：y24my4=0，設A（，y1），B（，y2），則y1+y2=4m，y1y2=4，又H（1，2），設直線AH，BH的斜率分別為k1，k2，則k1=，k2=，直線AH：y2=（x1），BH：y2=（x1），設M（1，yM），N（1，yN），令x=1，得：yM=2=，同理，得：yN=2=

28、，yMyN=4，yM+yN=（2）+（2）=48（+）=4，=4=，由MN為直徑的圓的方程為（x+1）2+（yyM）（yyN）=0，整理得：x2+2x3+y2+y=0，令，解得：x=3，x=1，以MN為直徑的圓必過定點（3，0）（1，0）21已知函數f（x）=（ax1）ex，aR（）討論f（x）的單調區間；（）當mn0時，證明：men+nnem+m【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性【分析】（）求出f（x）的定義域，以及導數，討論a=0，a0，a0，判斷導數符號，解不等式即可得到所求單調區間；（）運用分析法證明要證men+nnem+m，即證menmnemn，也就是證，

29、令g（x）=，x0，求出導數，再令h（x）=xexex+1，求出導數，判斷單調性，即可得證【解答】（）解：f（x）的定義域為R，且f（x）=（ax+a1）ex當a=0時，f（x）=ex0，此時f（x）的單調遞減區間為（，+）；當a0時，由f（x）0，得x，由f（x）0，得x此時f（x）的單調減區間為（，），單調增區間為（，+）；當a0時，由f（x）0，得x，由f（x）0，得x此時f（x）的單調減區間為（，+），單調增區間為（，）（）證明：要證men+nnem+m，即證menmnemn，也就是證m（en1）n（em1）也就是證，令g（x）=，x0，g（x）=，再令h（x）=xexex+1，h（x）=ex+xexex=xex0，可得h（x）在x0遞增，即有h（x）h（0）=0，則g（x）0，g（x）在（0，+）遞增，由mn0，可得，故原不等式