1、目 錄摘 要1關鍵詞1Abstract1Keywords1前言11 預備知識11.1二次型定義11.2正定二次型定義22 正定二次型的性質23 正定二次型的應用73.1正定二次型在解決極值問題中的應用73.2正定二次型在分塊矩陣中的應用.83.3正定二次型在解決多項式根的有關問題中的應用93.4正定二次型在解決二次曲線和二次曲面方程中的應用103.5正定二次型在線形最小二乘法問題的解中的應用113.6正定二次型在歐氏空間中的應用（歐氏空間的內積與正定矩陣）123.7正定二次型在解線性方程組中的應用.123.8正定二次型在物理力學問題中的應用.12結束語.13參考文獻13正定二次型的性質及應用摘

2、 要：本文主要探討了正定二次型的性質，結合例題重點介紹了正定二次型的應用，如研究極值問題方面、解決多項式的根和在物理方面的應用等.關鍵詞：正定二次型；正定矩陣；合同；初等變換；分塊矩陣 The properties and Applications of positive definite Quadratic FormsAbstract：In this paper，the properties of positive definite quadratic form is discussed. By giving examples, we mainly introduce the applica

3、tions of positive definite quadratic form, such as the application to extremum questions、studying the polynomial root and applications in physics et al.Keywords：positive definite quadratic form; positive definite matrix; congruence;elementary transformation；partitioned matrix. 前言二次型是線性代數的主要內容之一，正定二次

4、型是是實二次型中一類特殊的二次型，占有特殊的地位.正定二次型常常出現在許多實際應用和理論研究中,且有很大的實用價值，它不僅在幾何而且在數學的其它分支學科以及物理和工程技術也常常用到，正定矩陣是依附正定二次型給出的，因而對正定矩陣的性質的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基礎上研究了正定二次型與正定矩陣的一些性質及相關證明，并以例題的形式詳細介紹了正定二次型的一些應用.1 預備知識1.1 二次型定義設是一數域，一個系數在數域中的的二次齊次多項式+稱為數域上的一個元二次型，或者在不致引起混淆時簡稱二次型.1.2 正定二次型的定義定義1 實二次型稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的實

5、數都有.定義2 實對稱矩陣稱為正定的，如果二次型正定.2 正定二次型的性質性質1 實二次型=是正定的當且僅當.證明 必要性.因為=是正定的，所以對于任意的一組不全為零的實數都有.于是取一組不全為零的實數：（這里第個為1，其余個為0），有=.充分性顯然.性質2 元實二次型是正定的充要條件是它的正慣性指數等于n.證明 設二次型經過非退化實線性替換變成標準型 . （1）上面的討論表明，正定當且僅當（1）是正定的，而我們知道，二次型(4)是正定的當且僅當，即正慣性指數為.性質3 正定二次型的規范形為，正定二次型的規范性矩陣為單位矩陣，所以一個實對稱矩陣是正定的當且僅當它與單位矩陣合同.性質4 實二次型

6、. =，正定的必要條件為證明 有實二次型知是一正定矩陣，因為與單位矩陣合同，所以有可逆矩陣使.兩邊取行列式，就有.性質5 實二次型=為正定的充分必要條件是的特征值都是正數.性質6 若是正定矩陣，則也是正定矩陣.證明 如果正定，則由性質2知，因而可逆，且其存在可逆矩陣,使，將等式兩邊取逆有，令，于是，所以也是正定矩陣.性質7 若是正定矩陣，則對任意的實數，也是正定矩陣.證明 因為正定，所以對任意維實向量，都有，若，則，故為正定矩陣.性質8 若是正定矩陣，則的伴隨矩陣也是正定矩陣.證明 因為正定，因而，且有性質四知也正定，而=，又由性質5知為正定矩陣性質9 正定矩陣只能與正定矩陣合同.證明 若正定

7、，則與單位矩陣合同，若也正定，則也與合同，即、都與單位矩陣合同，故、合同.反之，若、合同，且正定，即與單位矩陣合同，所以也與合同，故也為正定的.綜上，結論成立.性質10 若、為正定矩陣，則也為正定矩陣.證明 因為、為正定矩陣，故，為正定二次型，于是=也必為正定二次型，故為正定矩陣.性質11 若是正定矩陣，則對任意的正數，也是正定矩陣.證明 因為正定，那么當時，為實可逆矩陣，所以正定；當時，因而與合同，有性質7知為正定矩陣.所以無論哪種情況，都正定.性質12 實二次型=，矩陣的主對角線上的元素都大于零.證明 因為是正定矩陣，于是對任何， 恒有=，其中為的元素，令（行）那么證畢. 性質13 實二次

8、型=是正定的充分必要條件為矩陣的順序主子式全大于零.證明 先證必要性.設二次型是正定的.對于每個，令我們來證是一個元的正定二次型.對于任意一組不全為零的實數，有因此是正定的.由性質4，的矩陣行列式.這就證明了矩陣的順序主子式大于零.再證充分性.對作數學歸納法.當時，由條件顯然有是正定的.假設充分性的判斷對于元二次型已經成立，現在來證元的情形.令，于是矩陣可以分塊寫成.既然的順序主子式全大于零，當然的順序主子式也全大于零.由歸納法假定，是正定矩陣，換句話說，有可逆的級矩陣使,這里代表級單位矩陣.令,于是.再令，有.令，就有.兩邊取行列式，.有條件，因此.顯然.這就是說，矩陣與單位矩陣合同，因之，

9、是正定矩陣，或者說，二次型是正定的. 根據歸納法原理，充分性得證.3 正定二次型的應用3.1 正定二次型在解決極值問題中的應用定理1 設元實函數在點的一個鄰域中連續，且有足夠高階的連續偏導數，則函數在點近旁有性質：1) 若正定，則為極小點；2) 若負定，則為極大點；3) 若不定，則非極大或極小點；4) 其余情形時，在性質有待研究余項的性質來確定.特別當是二次函數時，=0只要半正（負）定，則為極小（大）點.例1 求函數的極值.解 ,，.解方程組，易得，（符號任意搭配），.于是，經計算得正定；負定；不定.故，在，不取極值；在點，取極小值，；在點，取極大值，.3.2 正定二次型在分塊矩陣中的應用.例

10、2 設，分別是階正定矩陣，試判定分塊矩陣是否為正定矩陣.解 可證是正定矩陣.因為，都是實對稱矩陣，從而也是實對稱矩陣且任意的，令，其中，且至少有一個是非零向量，于是.故是正定矩陣.3.3 正定二次型在解決多項式根的有關問題中的應用例3 設次實系數多項式的根為，令， .證明 易證,這里.必要性 設是個互異實根，因為是范德蒙行列式，所以，即是非奇異的.又因為,所以與合同，即正定.充分性 設是正定的，所以，那么互異.若中有非實數，例如，那么的共軛數也是的根不妨設.因為是非奇異的.所以線性方程組 （2）有唯一解.因為是正定的，所以，作為二次型的是正定的,由（2）式有.這與是正定即是正定的矛盾，所以中不

11、能有非實數的復數，所以個根為互異的實根.3.4 正定二次型在解決二次曲線和二次曲面方程中的應用例4 利用直角坐標變換化簡如下二次曲面方程.其中.作平移代換,，則有即令又因為 所以適當選取，使，由秩知：（線性方程組）有唯一解：.由，又因為是可逆實對稱陣，所以存在正交陣使得，其中，為的特征根.作正交線形替換,則.即，原方程可以化簡為.3.5 正定二次型在線形最小二乘法問題的解中的應用眾所周知線形方程組即任意一組都可能使不等于零，我們設法找使最小，這樣稱為方程組的最小解，這種問題就叫最小二乘法問題.若記為上述線性方程組的系數矩陣，于是使得值最小的一定是方程組=的解，而其系數矩陣是一個正定矩陣，它的慣

12、性指數等于，因此這個線性方程組是有解的，這個解就是最小二乘解.3.6 正定二次型在歐氏空間中的應用（歐氏空間的內積與正定矩陣）定理 設是上的歐氏空間，那么的內積與階正定矩陣是一一對應的.3.7 正定二次型在解線性方程組中的應用.例5 （1）用矩陣給出平面上個點共線的充分必要條件（2）設是階滿秩矩陣，試證，是一個正定二次型，這里.解 （1）設直線，個點共線是指線性方程組（把看成未知量）有解，所以個點共線所以方程組有解 .（2）設是階滿秩矩陣，令,其中，則是非退化現行替換，且，由此可以看出，此二次型的正慣性指數與秩都等于，所以是正定二次型.3.8 正定二次型在物理力學問題中的應用.因為在物理力學問

13、題中經常需要同時將兩個二次型轉化為標準型來實現，這事應用中很重要的一個問題.命題 設是階正定矩陣，是階實對矩陣，則存在階可逆矩陣，使得,其中為對角陣.證明 因為是正定矩陣，所以存在階可逆矩陣，使得，令顯然仍為實對稱矩陣，所以存在階正交矩陣，使得.取，則有另外正定二次型在研究系統的穩定性、廣義重積分、物理學電阻器功率的消耗等方面都有廣泛的應用.結束語以上內容是對正定二次型的研究，歸納之后總結出來的，對正定二次型，本文給出2個定義，13個性質并證明，在例題的形式下，運用這些定義跟性質闡述了正定二次型在不同方面的7種應用，可見其應用廣泛，我認為對正定二次型的總結是很必要的.當然，本文只列舉了正定二次型的部分應用.參考文獻：1北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數（第三版）M.北京：高等教育出版社，2003.2郭聿琦.岑嘉評.徐貴桐.線性代數導引M.北京：科學出版社，2001. 3楊子胥.高等代數習題解（上下冊）M.濟南：山東科學技術出版社.4張禾瑞.郝鈵新.高等代數（第三版）M.北京