1、知識網絡 知識要點梳理知識點一：空間向量1.空間向量的概念在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注： 空間的一個平移就是一個向量。 向量一般用有向線段表示，同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。相等向量只考慮其定義要 素：方向，大小。 空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示。2.共線向量（1）定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平 行向量平行于記作當我們說向量、共線（或/）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線（2）共線向量定理：空間任意兩個向量、（），/的充要條件是存在實數，使 。3.向量的數量積（1）定義

2、：已知向量，則叫做的數量積，記作，即 。（2）空間向量數量積的性質： ； ； （3）空間向量數量積運算律： ； 2 / 15（交換律）； （分配律）。4.空間向量基本定理如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組，使。若三向量不共面，我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底。5.空間直角坐標系：（1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表 示；（2）在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方 向建立三條數軸:軸、軸、軸,它們都叫坐標軸.我們稱建立了一個空間直角坐標系,

3、點叫原點，向量 都叫坐標向量通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為 平面，平面，平面；6.空間直角坐標系中的坐標在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯一的有序實數組，使，有序實數組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標7.空間向量的直角坐標運算律：（1）若，則 一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。（2）若，則 ， ， ， ， ， ； ， 夾角公式：（3）兩點間的距離公式：若，則 或 。知識點三：空間向量在立體幾何中的應用1. 立體幾何中有關垂直和平行的一些命題，可通過向量運算來證明 對于垂直問題，一般是利用進行證

4、明； 對于平行問題，一般是利用共線向量和共面向量定理進行證明2利用向量求夾角(線線夾角、線面夾角、面面夾角)有時也很方便其一般方法是將所求的角轉化為 求兩個向量的夾角或其補角，而求兩個向量的夾角則可以利用向量的夾角公式。3用向量法求距離的公式 設n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則點B到平面的距離為（如圖）。規律方法指導向量法在求空間角上的應用平面的法向量的求法：設n=(x,y,z)，利用n與平面內的兩個不共線的向a，b垂直，其數量積為零，列出兩個三元一次方程，聯立后取其一組解，即得到平面的一個法向量（如圖）。線線角的求法：設直線AB、CD對應的方向向量分別為a、b，則直線AB與CD所成

5、的角為。（注意：線線角的范圍00,900）線面角的求法：設n是平面的法向量，是直線的方向向量，則直線與平面所成的角為（如圖）。二面角的求法：設n1，n2分別是二面角的兩個面，的法向量，則就是二面角的平面角或其補角的大小（如圖）利用法向量求空間距離 點A到平面的距離： ，其中，是平面的法向量。 直線與平面之間的距離： ，其中，是平面的法向量。 兩平行平面之間的距離： ，其中， 是平面的法向量。空間向量是高中數學中的重要內容之一，是處理空間線線、線面、面面位置關系和夾角的重要工具，是高考考查的重要內容之一.運用向量方法研究立體幾何問題思路簡單，模式固定，避免了幾何法中作輔助線的問題，從而降低了立體

6、幾何問題的難度.本文將空間向量在立體幾何中的應用的重要考點和解題方法作以解析.【考點及要求】1.理解直線的方向向量與平面法向量.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關系.3.能用向量方法證明證明直線和平面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）.4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計算問題，了解向量方法在研究集合問題中的應用.【考點歸納分析】考點1.利用空間向量證明空間垂直問題利用空間向量證明空間線線、線面、面面垂直問題是高考考查的重點內容，考查形式靈活多樣，常與探索性問題、平行問題、空間角問題結合，考查形式可以是小題，也可以是解答題的一部分，

7、或解答題的某個環節，題目容易，是高考中的重要得分點.例1(2010遼寧理19）已知三棱錐PABC中，PA面ABC，ABAC，PA=AC=，N為AB上一點，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.證明：CMSN；審題要津：本題空間坐標系易建立，可用坐標法.證明：設PA=1，以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標系如圖，則P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,0）,因為， 所以CMSN . 【點評】對坐標系易建立的空間線線垂直判定（證明）問題，常用向量法，即通過證明所證直線的方向向量的數量積為0證明兩直線垂

8、直.例2(2010天津理19) 在長方體中，、分別是棱,上的點，=, = .證明平面審題要津：本題空間坐標系易建立，可用坐標法.解析：如圖所示，建立空間直角坐標系，點A為坐標原點，設,依題意得, ,已知,于是·=0，·=0.因此，,又所以平面 【點評】對坐標系易建立的空間線面垂直問題，通常用向量法，先求出平面的法向量和直線的方向向量，證明平面法向量與直線的方向向量平行或者直接用向量法證明直線與平面內兩條相交直線垂直，再用線面垂直判定定理即可.例3 （2010年山東文）在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，平面，、分別為、的中點，且.求證：平面平面.審題要津：本題空間坐標系易

9、建立，可用坐標法.解析：以A為原點，向量,分別為軸、軸、軸的正方向，如圖建立坐標系，設AM=1，則AD=AB=PD=2,則B(0,2,0),C(2,2,0),D(2,0,0),P(2,0,2), M(0,0,1),則E(0,1,),G(1,1,1),F(2,1,1)，=(-1,0,),=(1,0,0),設平面EFG的法向量=（，），則=0且=0，取=1，則=0，=（0，1,0）,易證面PDC的法向量為=(2,0,0), =0, 平面平面【點評】對于易建立空間坐標系的面面垂直問題，常向量法，即先建立坐標系，求出兩個平面的法向量，通過證明這兩個平面的法向量垂直，即得面面垂直.考點2.利用空間向量處

10、理空間平行關系空間線線、線面、面面平行關系問題是高考考查的另一個重點內容，考查的形式靈活多樣，常與探索性問題、垂直問題、空間角問題結合，可以是小題，也可以是解答題的一個小題，題目的難度一般不大，是高考中的得分點之一.例4（2010 湖南理18）在正方體，E是棱的中點。在棱上是否存在一點F，使平面?證明你的結論。審題要津：本題坐標系易建立，可用向量法求解.解析：以A為坐標原點，如圖建立坐標系，設正方形的棱長為2，則B(2,0,0),E(0,2,1),(0,0,2),(2,0,2)，=(2,2,1),=（2，0，2），設面的法向量為=（，），則=0且=0，取=1，則=1，=，=（1，1）,假設在棱

11、上存在一點F，使平面，設F(，2，2)（02）,則=（，2，2）， 則=0， 解得=1， 當F為中點時，平面.【點評】對于易建立坐標系的線面平行問題的向量解法，有兩種思路：（1）用共面向量定理，證明直線的方向向量能用平面內兩條相交直線的方向向量表示出來，即這三個向量共線，根據共面向量概念和直線在平面外，可得線面平行；（2）求出平面法向量，然后證明法向量與直線的方向向量垂直即可.對于探索性問題，通常先假設成立，設出相關點的坐標，利用相關知識，列出關于坐標的方程，若方程有解，則存在，否則不存在.注意，（1）設點的坐標時，利用點在某線段上，設出點分線段所成的比，用比表示坐標可以減少未知量，簡化計算;

12、(2)注意點的坐標的范圍.例5在三棱柱中，側棱垂直于底面，在底面ABC中=,D是BC上一點，且面，為的中點，求證：面面.審題要津：本題的坐標系容易建立，可用向量法.解析：以B點為原點，如圖建立坐標系，設AB=，BC=，=，則A（,0,0），(0，)，(0,0, )，(，0，)， (0，)，設D(0，0)（0），=(，0)，=(，)，=(，0，)，=（0，），設面的法向量為=(，)，則=0且=0，取=，則=，=，則=（，）， 又面，=0，解得=， =（，），設面的法向量為=(,),則=0且=0，取=1，則=，=，則=(，1)，=， ， 面面.【點評】對面面平行問題的向量方解法有兩種思路，（1）利

13、用向量證明一個面內兩條相交直線分別與另一個平面平行，根據面面判定定理即得；（2）求出兩個平面的法向量，證明這兩個法向量平行，則這兩個面就平行.考點3利用空間向量處理異面直線夾角、線面角、二面角等空間角問題 異面直線夾角、線面角、二面角等空間角問題是高考考查的熱點和重點，常與探索性問題、平行問題、垂直等問題結合，重點考查綜合利用空間向量、空間平行與垂直的有關定理、空間角的相關概念解決空間角問題的能力，是立體幾何中的難點，難度為中檔難度.例6(2010天津理19) 在長方體中，、分別是棱,上的點，,（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值。審題要津：本題坐標系易建立，可以向量法.解

14、析：如圖所示，建立空間直角坐標系，點A為坐標原點，設,依題意得,(1)證明：易得,于是, 所以異面直線與所成角的余弦值為 (2)解：設平面的法向量=，則=0且=0，不妨令=1,可得=(1,2,1),設平面的法向量=（，）則=0且=0，取=1,則=2，=1，則=（1,2,1）于是，從而，所以二面角的正弦值為【點評】（1）對異面直線夾角問題，先求出兩條異面直線的方向向量分別為、，在求出、的夾角，設兩異面直線的夾角，利用=求出異面直線的夾角，注意：（1）異面直線夾角與向量夾角的關系；(2)對二面角的大小問題，先求出平面、的法向量、，再求出、的夾角，在內取一點A，在內取一點B，設二面角大小為，若與同號，則=，若與異號，則=，注意二面角大小與法向量夾角的關系.例7（ 2010全國卷I理7）正方體ABCD-中，B與平面AC所成角的余弦值為A B C D審題要津：本題是正方體中的線面關系問題，可用空間向量法求解.解析：如圖建立坐標系，設正方體棱長為1，與面的夾角為，則D(0,0,0),C(0,1,0)，B(1,1,0),A(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1), =（1，1,0），=