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精選優質文檔-傾情為你奉上 正弦定理的證明及外接圓圓心位置的探究 福建省武平縣 英才教育 林清輝 我們知道在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，也就是：，這里各邊長和所對角的正弦比值會相等，那會等于多少呢？我們引入三角形的外接圓，可以證明其實（其中R是外接圓的半徑）證明過程如下：（因為三邊的證明過程相同，所以這里只證明）假設，N是BC中點,PCBA于P。情況一：當是銳角，是鈍角。即點A在線段BP間時，因為大于90°，我們可以判斷出外接圓圓心O的位置是在BC直線不同于A的一側，也就是圖中BC的下方。（如果O與A在BC的同一側，那BOC=2A180°，顯然BOC最多只有180°，矛盾，所以O在BC的下方）此時。 圖一所以情況二：當、都是銳角。因為A是銳角，所以外接圓圓心O在BC上方。如圖二。 圖二此時,所以情況三，當B是銳角，A是直角，即點A與點P位置重合，此時O與N重合情況四，當B是直角,此時O在AC上，如圖三，也可以得到 圖三情況五，B是鈍角，A是銳角，如圖四 圖四此時所以綜上，在一個三角形中，各邊和它所對的角的正弦值之比等于這個三角形外接圓的直徑，即 。銳角三角形外接圓圓心的位置在三角心內，鈍角三角形外接圓圓心

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