1、用心 愛心 專心 -1 - 咼中數學 平面向量數量積的坐標表示、模、夾角精品教案集 新人教 A 版 教學目的： 要求學生掌握平面向量數量積的坐標表示 掌握向量垂直的坐標表示的充要條件，及平面內兩點間的距離公式 能用所學知識解決有關綜合問題 . 教學重點：平面向量數量積的坐標表示 教學難點：平面向量數量積的坐標表示的綜合運用 授課類型：新授課 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程： 一、復習引入： 1. 兩個非零向量夾角的概念 已知非零向量a與b,作OA = a , OB = b，則 Z AOB= 0 (0 0n )叫玄與b 的夾角 2. 平面向量數量積(內積)的定義： 已知兩個非零向量 a與b

2、,它們的夾角是 0，則數量 | a| b|cos T叫a與b的數量積，記作 a b,即有a b = | a| b|cos 已 (0 0 n).并規定0與任何向量的數量積為 0. 3. 向量的數量積的幾何意義： 數量積a b等于a的長度與b在a方向上投影| b|cos v 的乘積 C 4. 兩個向量的數量積的性質： 設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量. 1 e a = a e =| a|cos k 2 a_b = a b = 0 3 當a與b同向時，a b = | a| b| ；當a與b反向時，a b = -| a| b|.特別的a a = | a| 或 | a | = a a 5平

3、面向量數量積的運算律 交換律：a b = b a 數乘結合律：( a) b = (a b) = a ( b) 分配律：(a + b) c = a c + b c|a|b| ;5 | ab| w 丨 a| b| 4 cos 用心 愛心 專心 -2 - 二、講解新課： 1. 平面兩向量數量積的坐標表示 已知兩個非零向量 a=(xi，yj , b=(X2,y2)，試用a和b的坐標表示a b. 設i是x軸上的單位向量，j是y軸上的單位向量，那么 x1i y1 j，x2i y2 j 所以 a b = (x1i y1 j )(x2i y2 j) = x1x2i2 x1 y2i j x2y1i j y1 y

4、2 j2 又 i i =1， j j =1， i j = j i = 0，所以 a b = x1 x- y1 y2 這就是說：兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和 .即a= XrX2亠y y2 2. 平面內兩點間的距離公式 設 a = (x, y)，則 | a |2 = x2 y2 或 | a . x2 y2 . (2)如果表示向量 a 的有向線段的起點和終點的坐標分別為 |a|二( -x2)2 (% - y2)2 (平面內兩點間的距離公式) 向量垂直的判定 設 a =(xi，yi)， b =(X2,y2)，則 a _ b XjX? - yiy? =0 兩向量夾角的余弦(0乞二乞二) 十

5、 x 2+ y y2 .xi2 - yi2 x22 -些; 四、講解范例： 五、設a = (5 , T , b =(-6, -4)，求a b及a、b間的夾角 0 (精確到 1o) 例 2 已知A(1 , 2) ,B(2 , 3) , C(-2, 5)，試判斷厶ABC的形狀，并給出證明. 例 3 已知a = (3 , 1 ),b =(1 , 2) 求滿足x a = 9 與x b = -4的向量x. 解：設X = ( t , s), ,x a = 9 ”3t -s = 9 t = 2 由 二 二丿 -x = (2 , -3) x b = Y Jt +2s = -4 -S = -3 例 4 已知a=

6、(l, 3 ), b=( F3 + l,応一 l),貝 U a與b的夾角是多少？ (xi, yj、(, COS J 用心 愛心 專心 -3 - 分析：為求a與b夾角，需先求a b及丨a b |,再結合夾角 0 的范圍確定其值解：由a=(l, 下),b =( V3 +l, ,3 l) 2 用心 愛心 專心 -4 - 有 a b= . 3 + l+ . 3 ( . 3 l)=4,| a |=2, 又 BWn,.B = 4 評述：已知三角形函數值求角時，應注重角的范圍的確定 例 5 如圖，以原點和 A(5 , 2)為頂點作等腰直角 OAB使ZB = 90 ，求點B和向量AB的 坐標. 解：設 B點坐

7、標(x, y)，則 OB = ( x, y) , AB = ( x-5, y-2) / OB _ AB 2 2 x(x -5) + y(y2) = 0 即：x + y -5x - 2 y = 0 又/ | OB | = | 2 2 2 2 AB | x + y = ( x-5) + ( y_2)即：10 x + 4 y = 29 六、課堂練習:記a與b的夾角為 B ,則 cos a b 2 a| TH 2 x2 y2 _5x _2y 二 0 10 x 4y =29 7 x1 2 3 y1 X2 y2 7 3 3 7 B點坐標(7,-3)或(-,-) 2 2 2 2 AB=(弓-2)或(-歸 例

8、 6 在厶 ABC中, AB =(2 , 3) AC =(1 , k)，且 ABC的一個內角為直角, 解：當A = 90 時，AB AC = 0 , 2 x 1 +3 x k = 0 k =一3 2 當 B = 90 時，AB BC = 0 , BC = AC - AB = (1 -2, k ) = ( -1, k3) 2X (-1) +3 x (k3) = 0 k =11 3 當 C = 90 時，AC BC = 0 , -1 + k( k3) = 0 1.若 a=(-4 , 3) , b=(5 , 6)，貝 U 3| a| 2 -4 a b=( ) 用心 愛心 專心 -5 - 2.已知 A(1 , 2) , B(2 , 3) , q-2 , 3. 已知a=(4 , 3)，向量b是垂直a的單位向量，貝 U b等于( ) A.(i,5)或(!,1) B (3,-)或(f) 5 5 5 5 4. a=(2 , 3) , b=(-2 , 4)，則(a+b) ( a- b)= 1 2) , B(-1 , -1)，若點P(x,-)在線段AB的中垂線上，則 x= 2 0) , B(3 , 1), C(2 , 0)，且 a= BC , b=CA，貝