1、第三章 ：“三角恒等變換”教材分析與教學建議房山教師進修學校中學數學教研室 張 吉一、作用與地位 變換是數學的重要工具，也是數學學習的主要對象之一。三角恒等變換在數學及應用科學中有很多的應用，同時有利于發展學生的推理能力和計算能力。通過三角恒等變形揭示一些問題的數學本質。二、學習目標 （1）了解用向量方法推導兩角余弦公式的過程，掌握用向量證明問題的方法，進一步體會向量法的作用；（2）能從兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系；（3）能正確使用各公式進行簡單的三角恒等變換，進行求值、化簡、證明，解決比較簡單的有關應用問題。三

2、、內容編排與課時分配1    主要內容本章的主要內容是，和角公式、倍角公式和半角公式、三角函數的積化和差與和差化積公式。分三大節編寫：第一大節，首先利用向量的方法證明了兩角差的余弦公式，接著導出兩角和的余弦公式，再利用誘導公式推出兩角和、差的正弦公式，又利用同角三角函數關系式推出兩角和、差的正切公式；第二大節，推導出倍角公式和半角公式。第三大節，推導出積化和差與和差化積公式，并通過例題講解以上各公式的應用。2教學安排本章教學時間約8課時，具體分配如下，僅供參考。節次教學內容課時31和角公式4課時311兩角和與差的余弦2課時312兩角和與差的正弦1課時313兩角和與

3、差的正切1課時32倍角公式與半角公式2課時321倍角公式1課時322半角的正弦、余弦、正切1課時33三角函數的積化和差與和差化積1課時復習與小結1課時四、本章重點和難點 1本章的重點：掌握和角公式的推導過程；2難點：理解和角公式的幾何意義。五、本章編寫的指導思想1     用向量證明和角公式，引導學生用向量研究和差化積公式。2     教學的重點為和角公式.和角公式與旋轉變換公式。3     引導學生種用正弦的和角公式找出求正弦函數值的算法。4  

4、;   引導學生獨立的由和角公式推導出倍角公式與和差化積、積化和差公式。5     和角公式在三角恒等變換及三角形計算中的應用。 六、本章編寫時關注的幾個問題1     如何讓學生理解和角公式與旋轉公式之間的關系。2     如何讓學生了解向量的數量積與和角公式的內在聯系。3     如何讓學生直觀了解和角公式。4     如何培養學生三角恒等變形的能力。5 

5、;    如何編制計算機課件，使得課堂教學更直觀、更生動有趣，加深學生的理解和記憶。如何配備“計算機上的練習”讓有條件的學生選用，鼓勵學生使用計算機、計算器進行探索和發現。 七、分切分析（一）31 和角公式（4課時）311 兩角和與差的余弦（2課時）1. 教學要求(1)    理解用向量的數量積證明兩角和的余弦公式的過程，掌握用向量運算證明問題的方法，進一步體會向量方法的作用；(2)     熟練掌握兩角和與差的余弦公式，體會向量的數量積與和角公式及旋轉公式間的內在

6、聯系。2. 內容分析（1）兩角和與差的余弦公式內容： cos()=coscossinsin(C()cos()=coscossinsin(C()（2）公式說明：上述公式對、取任意角都成立.公式特點：公式中右邊有兩項，中間符號與左邊角間符號相反，兩項排列順序是： coscos、sinsin.和（差）角公式可看成誘導公式的推廣，誘導公式可看成和（差）角公式的特例.3本節重點、難點（1）重點：應用兩角和與差的余弦公式求值和證明。（2）難點：兩角和余弦公式的推導。4教學建議(1)       在證明和角公式前，復習兩個向量數量積的定義及其坐標運

7、算，復習單位向量的三角表示利用兩個單位向量的數量積，即可得出兩角差的余弦公式。由任意兩個向量數量積坐標的表達式，同樣推出兩角差的余弦公式從中可更清楚地看到兩角和的余弦公式與向量數量積坐標表達式間的關系。（2）引導學生自己推導兩角和的余弦公式。（3） 引導學生自己完成3個例題.(4)  牢記公式并能熟練進行左、右互化.(5)  探索與研究，主要探索用正投影的性質證明和角公式，顯示和角公式的直觀含義。加深對和角公式的理解。探索與研究的解答如下：5例題分析（課本例題）3. 1. 2 兩角和與差的正弦（1課時）1教學要求(1)   

8、理解公式的推導過程；(2)   能用公式求值、化簡，進行簡單的恒等變形，會根據已知點的坐標，求出旋轉后點的坐標；(3)   理解和角公式與旋轉公式之間的關系；(4)   要求學生能熟練地掌握函數y=acos x+bsin x的相關性質和物理意義。2 內容分析（1）兩角和與差的正弦公式內容：sin()=sincoscossin(S()sin()=sincoscossin(S()（2）公式說明：上述公式對、取任意角都成立.公式特點：右邊有兩項，中間的符號與左邊角間符號一致，兩項順序為：sincos、cossi

9、n.兩角和與差的三角函數是誘導公式的推廣，誘導公式是它的特例，當、中有一個角為90°的整數倍時，用誘導公式較為簡便. 3本節重點、難點（1）重點：兩角和與差的正弦公式的應用與旋轉變換公式。（2）難點：利用兩角和的正弦公式變為一個角的三角函數形式。4教學建議(1)     復習的誘導公式，引導學生自己推導兩角和與差的正弦公式。(2)     引導學生自己推證旋轉公式。分析和角公式與旋轉公式間的關系。(3)     重點講解例4。分析變形的

10、幾何意義。(4)     通過例5介紹一下變形的物理意義：周期相同、相位不同的正弦波疊加，其周期不變。（5）牢記公式并能熟練進行左、右互化.（6）把為一個角的三角函數形式，要講清思路和過程，不能讓學生死背結果。5例是分析（課本例題）313 兩角和與差的正切（1課時）1. 教學要求（1）掌握兩角和與差的正切公式，要求學生自己推導公式；（2）能用公式求值、化簡、簡單的恒等變形。2. 內容分析（1）兩角和與差的正切公式內容：（2）公式說明： T中：、都不取（kZ）時，公式才適用； T中：、都不取（kZ）時，公式才適用. 公式特征：右邊分子為兩項：ta

11、n、tan，中間符號與右邊角間符號一致；右邊分母為兩項：1，tantan，中間符號與左邊角間符號相反.，如求值： 3本節重點、難點（1）重點：兩角和與差的正切公式的應用。（2）難點：公式的變形運用。4教學建議（1）引導學生推導兩角和與差的正切公式。引導和啟發學生利用同角三角函數的關系及正弦、余弦的和角公式，推導正切的和角公式；在和角公式中，利用代換法，令，推導正切的差角公式；（2）注意左、右互化，變形運用；如，可將式子化為：（3）引導學生分析正弦、余弦、正切和角、差角之間的關系：5例題分析（課本例題）（二）32 倍角公式和半角公式（2課時）3.2.1倍角公式1. 教學要求（1）熟練地掌握倍角公

12、式；（2）能用公式求值、化簡、簡單的恒等變形。2. 內容分析（1）倍角公式的內容：（2）倍角公式的變形：降(升)冪公式:; 3本節重點、難點（1）重點：二倍角的正弦、余弦、正切公式及余弦公式的變形（降(升)冪公式）及應用。（2）難點：倍角公式及其與同角三角函數基本關系式、誘導公式、和差角公式，綜合運用。4教學建議（1）引導學生自己推導倍角公式和半角公式。（2）有條件的學校，可以引導學生進行本節的探索與研究。可使用Scilab編程或用電子表格中公式功能。（3）引導學生理解二倍角的正弦、余弦、正切公式的結構特點。（4）二倍角公式與和角公式的關系：在和角公S()、 C()、T()中，使=，就得到二倍

13、角的三角函數公式S2、C2、T2，后者是前者的特殊情形。（5）公式成立的條件：公式S2、C2中，沒有限制條件，可取全體實數，但在公T2中，只有，且，時，公式才成立。（6）對二倍角的理解：二倍角公式不僅限于2與的形式，其它形式，如與、4與2、3與等形式都適用，要靈活掌握這樣的角的倍數關系，靈活運用公式；余弦的二倍角公cos2的公式有三種形式，要靈活運用。逆用此公式時，要注意結構形式。（7）應用：常與同角三角函數基本關系式、誘導公式、和差角公式，綜合運用。求值；化簡；證明。5例題分析（課本例題）322半角的正弦、余弦和正切1教學要求（1）了解半角的正弦、余弦和正切公式；（2）能用半角的正弦、余弦和

14、正切公式，求值、化簡、簡單的恒等變形。 2內容分析（1）半角公式內容：（3）倍角公式的變形（半角公式）,=（根號前的正負號，由所在象限決定）3本節重點、難點（1）重點：半角的正弦、余弦和正切公式。（2）難點：半角公式與倍角公式這間的內在聯系以及運用公式時前面正負號的選擇。4教學建議（1）引導學生利用倍角公式推導半角公式，并理解半角公式與倍角公式之間的內在聯系，它是倍角公式的推論。（2）講清公式前正負號的確定方法。（3）半角公式中，正弦、余弦前面的符號是必須的，但正切可以沒有正負號。5例題分析（課本例題）（三）33 三角函數的積化和差與和差化積（1課時）1. 教學要求（1）理解推導公式

15、的過程，掌握推導的變形的代數技巧；（2）能正確使用各公式進行簡單的三角恒等變換，進行求值、化簡、證明，解決比較簡單的有關應用問題。2. 內容分析（1）積化和差公式：sin·cos sin（）sin（）cos·sin sin（）sin（）cos·cos cos（）cos（）sin·sin- cos（）cos（）（2）公式的特征：同名異名和積都能化成各差；把左邊積化成右邊和差后，左邊角為，右邊為、；關于正余弦的異名積化成正弦的和差；同名積化成余弦的化差；右邊的系數均為（正弦的同名積系為-）。（3）三角函數的和差化積公式sinsin2sin·coss

16、insin2·coscos2·coscos-2sin· （4）公式特征：只有同名的和差才能化成積；正弦的和差化成異名的積；余弦的和差化成同名的積；左邊角為，右邊為、。3本節重點、難點（1）重點：公式的推導與應用。（2）難點：公式的靈活應用。4教學建議（1）引導學生推導兩組公式。積化和差公式是由正弦或余弦的和角公式與差角公式通過加減運算推導而得到的。和差化積公式是積化和差公式通過變形、換元而得到的。（2）讓學生明白積化和差公式的推導應用了“解方程組”的思想。（3）讓學生明白和差化積公式的推導應用了“換元”的思想。（4）向學生說明只有系數絕對值相同的同名函數的和、差，才能直接應用公式化成積的形式。（5）類比因式分解，向學生說明：三角函數中的和差化積，就相當于代數中的因式分解，因此，因式分解在代數中所起的作用，就是和差化積