1、學習好資料歡迎下載利用平面向量的坐標運算優化解題過程向量的運算在向量中占有重要的地位，在一些實際問題的解決中作為一種工具有著重要的作用，向量的運算表現在兩個方面，幾何運算及坐標運算，在解決問題時 ,應選用哪一種運算要根據實際情況來定 ,但并不是唯一的，只是繁與簡的問題，下文通過具體事例談如何利用向量的坐標運算來優化解題過程 .1利用向量的坐標運算，解決兩直線的夾角，判定兩直線平行、垂直問題例1 已知向量123 滿足條件1230，OP1OP2OP31，求證：OP ,OP ,OPOPOPOPP1P2 P3 是正三角形解：令 O 為坐標原點，可設 P1cos 1, sin 1,P2 cos2 ,si

2、n 2, P3cos 3 , sin 3由 OP1OP2OP3 ，即 cos 1 ,sin 1cos 2 ,sin2cos3sin 3cos 1cos 2cos 3sin 1sin 2sin 3兩式平方和為 12 cos121 1， cos121 ，由此可知 12 的最小正角為 1200 ，2即 OP1 與 OP2 的夾角為1200 ，同理可得 OP1與 OP3 的夾角為 1200 ， OP 2與 OP3的夾角為 1200 ，這說明1 2 3 三點均勻分部在一個單位圓上，所以P1P2 P3為等腰三角形.yP,P ,P例 2 求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角B的度數解：如圖 1，分別

3、以等腰直角三角形的兩直角邊為x 軸、 y軸建立直角坐標系，設 A 2a,0, B 0,2a ，則 D a,0 ,C 0, a ，從而可求：AC2a, a , BDAC BD2a, aa, 2aa, 2a , cosAC BD5a5a4a24a r c c o s4 .=2.5a55CoDAx圖 12利用向量的坐標運算，解決有關線段的長度問題ABC ，AD 為中線，求證 AD 2 12例 3已知AB2AC 2BC22證明：以 B 為坐標原點，以BC 所在的直線為 x 軸建立如圖 2 直角坐標系，設 A a, b ,C c,0 ，2c20 b 2c2ac a2b2 ，D c ,0 ，則 ADa22

4、42y122BC.ABAC2A2= 1 a2b2c ab22a2b2acc2c，2244(B) oDxC圖 2學習好資料歡迎下載22122BC從而ADABAC，221 AB22AD 2AC 2BC.223利用向量的坐標運算，用已知向量表示未知向量例 4已知點是00O內的一點， AOB150，BOC90 ，設 OA, 且ABCa OBb OCca2, b1, c3, 試用 a,和b表示 c.解：以 O 為原點， OC， OB 所在的直線為 x 軸和 y 軸建立如圖 3 所示的坐標系 .由 OA=2 ，0，所以 A00即，易求B 0，-1，C 3,0，設AOx1202cos120 ,2 sin120 ,A-1 ,3y-1321-31 . AOA1OB2OC,即 -1，31 0，-123,0 ，3-，-123oCx1 c .a3bB3圖 3例5 如圖，OAOB1, 與OB的夾角為 1200，OC與 OA的夾角為 300 , OC5，用 OA，OB 表示OAOC .解：以 O 為坐標原點，以 OA 所在的直線為 x 軸，建立如圖4 所示的直角坐標系，則 A 1,0 ，由 COA300，所以 C 5cos300,5sin 30053513,即 C， ，同理可求B,22225315351