1、第 2 講等差數(shù)列及其前 n 項和1等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第 2 項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列符號表示為 an1and(nN*，d 為常數(shù))(2)等差中項：數(shù)列 a，A，b 成等差數(shù)列的充分條件是 Aab2，其中 A 叫做 a，b 的等差中項2等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：ana1(n1)d.(2)前 n 項和公式：Snna1n（n1）2d（a1an）n23等差數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是其前 n 項和(1)通項公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)(2)若 klmn(k，l，m，nN*)，則 akalam

2、an(3)若an的公差為 d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為 2d(4)若bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列(5)數(shù)列 Sm，S2mSm，S3mS2m，構(gòu)成等差數(shù)列做一做1 (2014高考福建卷)等差數(shù)列an的前 n 項和為 Sn， 若 a12， S312， 則 a6等于()A8B10C12D14答案：C2已知等差數(shù)列 a1，a2，a3，an的公差為 d，則 ca1，ca2，ca3，can(c 為常數(shù)且 c0)是()A公差為 d 的等差數(shù)列B公差為 cd 的等差數(shù)列C非等差數(shù)列D以上都不對答案：B1辨明兩個易誤點(1)要注意概念中的“從第 2 項起”如果一個數(shù)列不是從第 2 項起，而是從

3、第 3 項或第 4 項起，每一項與它前一項的差是同一個常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列(2)注意區(qū)分等差數(shù)列定義中同一個常數(shù)與常數(shù)的區(qū)別2妙設(shè)等差數(shù)列中的項若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)中間三項為 ad，a，ad；若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)中間兩項為 ad，ad，其余各項再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對稱設(shè)元3等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法：an1and(d 是常數(shù))an是等差數(shù)列(2)等差中項法：2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列(3)通項公式：anpnq(p，q 為常數(shù))an是等差數(shù)列(4)前 n 項和公式：SnAn2Bn(A、B 為常數(shù))an是等差數(shù)列做一做3(2013高考重慶卷)若 2，

4、a，b，c，9 成等差數(shù)列，則 ca_解析：由題意得該等差數(shù)列的公差 d925174，所以 ca2d72.答案：724若數(shù)列an滿足 a115，且 3an13an4，則 an_解析：由 3an13an4，得 an1an43，所以an是等差數(shù)列，首項 a115，公差 d43，所以 an1543(n1)494n3.答案：494n3考點一_等差數(shù)列的基本運算(高頻考點)_等差數(shù)列基本量的計算是高考的常考內(nèi)容，多出現(xiàn)在選擇題、填空題或解答題的第(1)問中，屬容易題高考對等差數(shù)列基本量計算的考查常有以下三個命題角度：(1)求公差 d、項數(shù) n 或首項 a1；(2)求通項或特定項；(3)求前 n 項和(1

5、)(2014高考課標(biāo)全國卷)等差數(shù)列an的公差為 2，若 a2，a4，a8成等比數(shù)列，則an的前 n 項和 Sn()An(n1)Bn(n1)C.n（n1）2D.n（n1）2(2)(2015江西南昌市模擬測試)在數(shù)列an中，若 a12，且對任意的 nN*有 2an112an，則數(shù)列an前 10 項的和為()A5B10C.52D.54(3)(2013高考課標(biāo)全國卷)設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項和為 Sn，若 Sm12，Sm0，Sm13，則 m()A3B4C5D6解析(1)由 a2，a4，a8成等比數(shù)列，得 a24a2a8，即(a16)2(a12)(a114)，a12.Sn2nn（n1）222nn2n

6、n(n1)(2)由 2an112an，得 an1an12，數(shù)列an是首項為2，公差為12的等差數(shù)列，S1010(2)10（101）21252.(3)an是等差數(shù)列，Sm12，Sm0，amSmSm12.Sm13，am1Sm1Sm3，dam1am1.又 Smm（a1am）2m（a12）20，a12，am2(m1)12，m5.答案(1)A(2)C(3)C規(guī)律方法等差數(shù)列基本運算的解題方法(1)等差數(shù)列的通項公式及前 n 項和公式，共涉及五個量 a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題(2)數(shù)列的通項公式和前 n 項和公式在解題中起到變量代換作用，而 a1和 d

7、 是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法1.(1)(2015福建福州模擬)已知等差數(shù)列an，其中 a113，a2a54，an33，則 n 的值為_(2)(2015太原市高三年級模擬)已知等差數(shù)列an的前 n 項和為 Sn，a4a7a109，S14S377，則 an_.(3)設(shè) Sn為等差數(shù)列an的前 n 項和，a128，S99，則 S16_解析：(1)在等差數(shù)列an中，a2a52a15d235d4，所以 d23，又 an1323(n1)33，解得 n50.(2)設(shè)an的公差為 d，由a4a7a109S14S377，得a19d2，因此等差數(shù)列an的通項公式為an2n11.(3)設(shè)

8、等差數(shù)列an的首項為 a1，公差為 d，由已知，得a12a111d8，S99a19d829，解得a13d1，S1616316152(1)72.答案：(1)50(2)2n11(3)72考點二_等差數(shù)列的判定與證明_(2014高考課標(biāo)全國卷)已知數(shù)列an的前 n 項和為 Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù)(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由解(1)證明：由題設(shè)知 anan1Sn1，an1an2Sn11，兩式相減得 an1(an2an)an1，由于 an10，所以 an2an.(2)由題設(shè)知 a11，a1a2S11，可得 a21.由(1)知，a31.

9、令 2a2a1a3，解得4.故 an2an4，由此可得a2n1是首項為 1，公差為 4 的等差數(shù)列，a2n14n3；a2n是首項為 3，公差為 4 的等差數(shù)列，a2n4n1.所以 an2n1，an1an2，因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列規(guī)律方法(1)判斷等差數(shù)列的解答題，常用定義法和等差中項法，而通項公式法和前n 項和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡單判斷(2)用定義證明等差數(shù)列時，常采用兩個式子 an1and 和 anan1d，但它們的意義不同，后者必須加上“n2”，否則 n1 時，a0無定義2.已知數(shù)列an中，a12，an21an1(n2，nN*)設(shè) bn1an1(nN*)，求證：

10、數(shù)列bn是等差數(shù)列證明：an21an1，an121an.bn1bn1an111an1121an11an1an1an11，bn是首項為 b11211，公差為 1 的等差數(shù)列考點三_等差數(shù)列的性質(zhì)及最值_(1)(2015蘭州市、張掖市高三聯(lián)合診斷考試)等差數(shù)列an中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，則該數(shù)列前 13 項的和是()A13B26C52D156(2)(2014高考江西卷)在等差數(shù)列an中，a17，公差為 d，前 n 項和為 Sn，當(dāng)且僅當(dāng) n8 時 Sn取得最大值，則 d 的取值范圍為_(3)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn， 已知前6項和為36， Sn324， 最后6項和為18

11、0(n6)，求數(shù)列的項數(shù) n 及 a9a10.解析(1)3(a3a5)2(a7a10a13)24，6a46a1024，a4a104，S1313（a1a13）213（a4a10）2134226，故選 B.(2)當(dāng)且僅當(dāng) n8 時，Sn取得最大值，說明a80，a90.77d0，78d0.1d78.答案(1)B(2)1，78(3)解：由題意可知 a1a2a636，anan1an2an5180.得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36.又 Snn（a1an）2324，18n324，n18.a1a1836.a9a10a1a1836.規(guī)律方法1.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)項的

12、性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，aman(mn)damanmnd(mn)，其幾何意義是點(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，Sn為其前 n 項和，則S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.2求等差數(shù)列前 n 項和 Sn最值的兩種方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前 n 項和的函數(shù)表達(dá)式 Snan2bn，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解(2)鄰項變號法：當(dāng) a10，d0 時，滿足am0am10的項數(shù) m 使得 Sn取得最大值為 Sm；當(dāng) a10 時，滿足am0am10的項數(shù) m 使得 Sn取得最小值為 Sm.3.(1)

13、設(shè)數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，且 a125，b175，a2b2100，則a37b37等于()A0B37C100D37(2)在等差數(shù)列an中，若 S41，S84，則 a17a18a19a20的值為()A9B12C16D17(3)已知等差數(shù)列an的公差為 2，項數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項之和為 15，所有偶數(shù)項之和為 25，則這個數(shù)列的項數(shù)為_解析：(1)設(shè)an，bn的公差分別為 d1，d2，則(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，anbn為等差數(shù)列，又 a1b1a2b2100，anbn為常數(shù)列，a37b37100.(2)S41，S8S43，而 S4，S8S4，S12S8，S

14、16S12，S20S16成等差數(shù)列，即各項為 1，3，5，7，9，a17a18a19a20S20S169.故選 A.(3)設(shè)這個數(shù)列有 2n 項， 則由等差數(shù)列的性質(zhì)可知： 偶數(shù)項之和減去奇數(shù)項之和等于 nd，即 25152n，故 2n10，即數(shù)列的項數(shù)為 10.答案：(1)C(2)A(3)10方法思想整體思想在等差數(shù)列中的應(yīng)用在等差數(shù)列an中，S10100，S10010，則 S110_解法一：設(shè)數(shù)列an的公差為 d，首項為 a1，則10a11092d100，100a1100992d10，解得a11 099100，d1150.所以 S110110a11101092d110.法二：法一中兩方程相

15、減得90a110099902d90，a111012d1，S110110a1110（1101）2d110.法三：因為 S100S10（a11a100）90290，所以 a11a1002，所以 S110（a1a110）1102（a11a100）1102110.答案110名師點評(1)法一是利用等差數(shù)列的前 n 項和公式求解基本量，然后求和，是等差數(shù)列運算問題的常規(guī)思路而法二、法三都突出了整體思想，分別把 a111012d、a11a100看成了一個整體，解起來都很方便(2)整體思想是一種重要的解題方法和技巧，這就要求學(xué)生要熟練掌握公式，理解其結(jié)構(gòu)特征1.若兩個等差數(shù)列an和bn的前 n 項和分別為

16、Sn和 Tn，已知SnTn7nn3，則a5b5等于()A7B.23C.278D.214解析：選 D.a5a1a92，b5b1b92，a5b5a1a92b1b929（a1a9）29（b1b9）2S9T97993214.2在等差數(shù)列an中，an0，且 a1a2a1030，則 a5a6的最大值為_解析：a1a2a1030，即（a1a10）10230，a1a106，a5a66，a5a6a5a6229.答案：91(2014高考重慶卷)在等差數(shù)列an中，a12，a3a510，則 a7()A5B8C10D14解析： 選 B.法一： 設(shè)等差數(shù)列的公差為 d， 則 a3a52a16d46d10， 所以 d1，a

17、7a16d268.法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得 a1a7a3a510，又 a12，所以 a78.2(2015濰坊質(zhì)檢)已知數(shù)列an為等差數(shù)列，其前 n 項和為 Sn，若 a36，S312，則公差 d()A1B2C3D.53解析：選 B.在等差數(shù)列an中，S33（a1a3）23（a16）212，解得 a12，又 a3a12d22d6，解得 d2.3(2015新鄉(xiāng)許昌平頂山第二次調(diào)研)設(shè) Sn為等差數(shù)列an的前 n 項和，若 a11，a35，Sk2Sk36，則 k 的值為()A8B7C6D5解析：選 A.設(shè)等差數(shù)列的公差為 d，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得 2da3a14，得 d2，所以 an12(n1)2

18、n1.Sk2Skak2ak12(k2)12(k1)14k436， 解得 k8.4已知函數(shù) f(x)2x，等差數(shù)列an的公差為 2.若 f(a2a4a6a8a10)4，則f(a1)f(a2)f(a3)f(a10)()A0B26C22D4解析： 選 B.依題意得 a2a4a6a8a102， 所以 a1a3a5a7a92528，所以 f(a1)f(a2)f(a3)f(a10)2a1a2a1026，故選 B.5已知 Sn是等差數(shù)列an的前 n 項和，S100 并且 S110，若 SnSk對 nN*恒成立，則正整數(shù) k 構(gòu)成的集合為()A5B6C5，6D7解析：選 C.在等差數(shù)列an中，由 S100，S

19、110，得S1010（a1a10）20a1a100a5a60，S1111（a1a11）20a1a112a60，故可知等差數(shù)列an是遞減數(shù)列且 a60，所以 S5S6Sn，其中 nN*，所以 k5 或 6.6(2014高考北京卷)若等差數(shù)列an滿足 a7a8a90，a7a100，a80.a7a10a8a90，a9a85 時，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.答案：1309各項均為正數(shù)的數(shù)列an滿足 a2n4Sn2an1(nN*)，其中 Sn為an的前 n 項和(1)求 a1，a2的值；(2)求數(shù)列an的通項公式；解：(1)當(dāng) n1 時，a214

20、S12a11，即(a11)20，解得 a11.當(dāng) n2 時，a224S22a214a12a2132a2，解得 a23 或 a21(舍去)(2)a2n4Sn2an1，a2n14Sn12an11.得 a2n1a2n4an12an12an2(an1an)，即(an1an)(an1an)2(an1an)數(shù)列an各項均為正數(shù)，an1an0，an1an2，數(shù)列an是首項為 1，公差為 2 的等差數(shù)列an2n1.10(2015南昌模擬)已知數(shù)列an滿足 a11，anan12an11(nN*，n2)，數(shù)列bn滿足關(guān)系式 bn1an(nN*)(1)求證：數(shù)列bn為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式解：(1)證

21、明：bn1an，且 anan12an11，bn11an11an2an12an1an，bn1bn2an1an1an2.又 b11a11，數(shù)列bn是首項為 1，公差為 2 的等差數(shù)列(2)由(1)知數(shù)列bn的通項公式為 bn1(n1)22n1， 又 bn1an， an1bn12n1.數(shù)列an的通項公式為 an12n1.1已知函數(shù) yanx2(an0，nN*)的圖象在 x1 處的切線斜率為 2an11(n2，nN*)，且當(dāng) n1 時其圖象過點(2，8)，則 a7的值為()A.12B7C5D6解析：選 C.由題意知 y2anx，2an2an11(n2，nN*)，anan112.又 n1時其圖象過點(2

22、，8)，a1228，得 a12，an是首項為 2，公差為12的等差數(shù)列，ann232，得 a75.2(2013高考遼寧卷)下面是關(guān)于公差 d0 的等差數(shù)列an的四個命題：p1：數(shù)列an是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列nan是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列ann是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列an3nd是遞增數(shù)列其中的真命題為()Ap1，p2Bp3，p4Cp2，p3Dp1，p4解析：選 D.因為 d0，所以 an1an，所以 p1是真命題因為 n1n，但是 an的符號不知道，所以 p2是假命題同理 p3是假命題由 an13(n1)dan3nd4d0，所以 p4是真命題3(2015東北三校聯(lián)考)已知正項數(shù)列an滿足 a12，a

23、21，且anan1anan12，則 a12_解析：anan1anan12，1an11an12an，1an為等差數(shù)列，且首項為1a112，公差為1a21a112，1an12(n1)12n2，an2n，a1216.答案：164設(shè)等差數(shù)列an，bn的前 n 項和分別為 Sn，Tn，若對任意自然數(shù) n 都有SnTn2n34n3，則a9b5b7a3b8b4的值為_解析：an，bn為等差數(shù)列，a9b5b7a3b8b4a92b6a32b6a9a32b6a6b6.S11T11a1a11b1b112a62b6211341131941，a9b5b7a3b8b41941.答案：19415(2014高考湖北卷)已知等差數(shù)列an滿足：a12，且 a1，a2，a5成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)記 Sn為數(shù)列an的前 n 項和，是否存