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文檔簡介
1、精品Wallis公式及其應用本文講述 Wallis公式,以及它的推導過程。然后講述Wallis 公式的兩個重要應用,即推導Stirling公式和求解 Euler-Poisson積分。Contens1. 什么是 Wallis 公式2. Wallis 公式的推導過程3. 利用 Wallis 公式推導 Stirling 公式4. 利用 Wallis公式求解 Euler-Poisson積分1. 什么是 Wallis公式Wallis 公式是關于圓周率的無窮乘積的公式,公式內容如下其中,開方后還可以寫成感謝下載載精品2. Wallis 公式的推導過程Wallis 公式的推導采用對在區間內的積分完成,令用部
2、分積分法得到如下推導過程進一步得到所以繼續得到感謝下載載精品所以最終得到由的單調性可知即得到感謝下載載精品由兩邊夾擠準則 得到這樣就推導出了Wallis公式。3. 利用 Wallis 公式推導 Stirling 公式斯特林公式 如下接下來利用 Wallis公式來推導斯特林公式 。借助函數的圖像面積,通常有三種求法,分別是積分法,內接梯形分割法 ,外切梯形分割法 。實際上最準確的是第一種,后面兩種都有一定誤差。對于積分法求面積有對于內接梯形分割法有感謝下載載精品很容易知道,令,很容易證明為有界遞增序列,則接下來令,則有極限,設則根據 Wallis公式得到進一步化簡得到感謝下載載精品所以最終得到帶
3、入原式得到 斯特林公式4. 利用 Wallis公式求解 Euler-Poisson積分在上面,我通過Wallis 公式完美地推導了斯特林公式,接下來繼續看Wallis 公式的另一個應用,即求解Euler-Poisson積分。Euler-Poisson積分是無限區間上的非正常積分它在概率論等數學分支以及其它自然科學中都有重要應用,由于它的被積函數的原函數不能用初等函數表示,因此不能用 牛頓 - 萊布尼茲公式 求它的值。現在我就用上面學到的Wallis 公式來求解。感謝下載載精品借助函數在時取得最大值1,因此對于任何,都有,從而得到和,所以對任意自然數都有由于那么,我們又知道即得到不等式為感謝下載載精品同時取平方后得到由 Wallis公式可以推出,在的情況下,兩邊
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