1、目 錄第十六章二次根式16.1二次根式/2第1課時二次根式的概念/2第2課時二次根式的性質/416.2二次根式的乘除/6第1課時二次根式的乘法/6第2課時二次根式的除法/8第3課時最簡二次根式/1016.3二次根式的加減/12第1課時二次根式的加減/12第2課時二次根式的混合運算/14第十六章二次根式主題二次根式課型新授課上課時間教學內容16.1二次根式;16.2二次根式的乘除;16.3二次根式的加減.教材分析二次根式是在學生學習過有理式(包括整式和分式)的基礎上,進一步學習最基本的,也是最常用的無理式(無理式還包括n次根式).學習本章不僅是為以后將要學習的“解直角三角形”“一元二次方程”和“

2、二次函數”等內容打下必要的基礎,而且也是為繼續學習高中數學提供了知識準備.教學目標1.知識與技能(1)理解二次根式的概念.(2)理解a(a0)是一個非負數,(a)2=a(a0),a2=a(a0).(3)掌握a·b=ab,ab=a·b(a0,b0),ab=ab(a0,b>0),ab=ab(a0,b>0).(4)了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進行加減.2.過程與方法(1)用具體數據探究規律,用不完全歸納法得出二次根式的乘(除)法規定,并進行計算.(2)利用逆向思維,得出二次根式的乘(除)法規定的逆向等式并運用它進行化簡.(3)利用最簡二次根式的概念,

3、來對相同的二次根式進行合并,達到計算和化簡的目的.3.情感、態度與價值觀通過本章的學習培養學生利用規定準確計算和化簡的嚴謹的科學精神,經歷探索二次根式的重要結論,二次根式的乘除規定,發展學生觀察、分析、發現問題的能力.教學重難點重點:1.二次根式a(a0)是一個非負數;(a)2=a(a0);a2=a(a0)及其運用.2.二次根式加減乘除法的規定及其運用.3.最簡二次根式的概念.難點:1.對a(a0)是一個非負數的理解;對等式(a)2=a(a0)及a2=a(a0)的理解及應用.2.利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式.知識結構課題二次根式課時第1課時上課時間教學目標1.知識與技能

4、理解二次根式的概念,并利用a(a0)的意義解答具體題目.2.過程與方法提出問題,根據問題給出概念,應用概念解決實際問題.3.情感、態度與價值觀通過本節的學習培養學生利用規定準確計算和化簡的嚴謹的科學精神,發展學生觀察、分析、發現問題的能力.教學重難點重點:二次根式的概念.難點:利用“a(a0)”解決具體問題.教學活動設計二次設計課堂導入問題1:你能用帶有根號的式子填空嗎?(1)面積為3的正方形的邊長為,面積為S的正方形的邊長為.(2)一個長方形圍欄,長是寬的2倍,面積為130 m2,則它的寬為 m.(3)一個物體從高處自由落下,落到地面所用的時間t(單位:s)與落下的高度h(單位:m)滿足關系

5、h=5t2,如果用含有h的式子表示t,則t=.問題2:上面得到的式子分別表示什么意義?有什么共同特征?探索新知合作探究自學指導教師引導學生思考上面的問題,用算術平方根表示結果,可以進行適當的評價,幫助學生實現從數的算術平方根過渡到用含有字母的式子表示算術平方根.學生自己總結得出二次根式的概念.合作探究小組合作,探究以下例題:【例1】 下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2,33,1x,x(x>0),0,42,-2,1x+y,x+y(x0,y0).分析:二次根式應滿足兩個條件:第一,有二次根號“”;第二,被開方數是正數或0.【例2】 當x是怎樣的實數時,x-2在實數范圍內有意義?分

6、析:由二次根式的定義可知,被開方數一定要大于或等于0,所以x-20,x-2才有意義.續表探索新知合作探究【例3】 當x是多少時,2x+3+1x+1在實數范圍內有意義?分析:使2x+3+1x+1在實數范圍內有意義,必須同時滿足2x+3中的2x+30和1x+1中的x+10.教師指導1.易錯點:(1)a(a0)表示a的算術平方根,它是一個非負數,即a0.(2)從形式上看,二次根式必須有二次根號.(3)二次根式a(a0)中a可以表示數、單項式、多項式以及符合條件的一切代數式.2.歸納小結:(1)形如a(a0)的式子叫做二次根式,“”稱為二次根號.(2)要使二次根式在實數范圍內有意義,必須滿足被開方數是

7、非負數.3.規律方法:當a>0時,a表示a的算術平方根,因此a>0;當a=0時,a表示0的算術平方根,因此a=0.所以a(a0)是一個非負數.當堂訓練1.下列式子中,是二次根式的是()(A)-7(B)37(C)x(D)x2.當x是多少時,2x+3x+x2在實數范圍內有意義?3.已知a,b為實數,且a-5+210-2a=b+4,求a,b的值.板書設計二次根式的概念1.二次根式的定義2.二次根式有意義的條件教學反思課題二次根式課時第2課時上課時間教學目標1.知識與技能理解a(a0)是一個非負數和(a)2=a(a0),并利用它們進行計算和化簡.2.過程與方法通過復習二次根式的概念,用邏輯

8、推理的方法推出a(a0)是一個非負數,用具體數據結合算術平方根的意義導出(a)2=a(a0);最后運用結論嚴謹解題.3.情感、態度與價值觀通過本節的學習培養學生利用規定準確計算和化簡的嚴謹的科學精神,發展學生觀察、分析、發現問題的能力.教學重難點重點:a(a0)是一個非負數;(a)2=a(a0)及其運用.難點:用分類思想的方法導出a(a0)是一個非負數;用探究的方法導出(a)2=a(a0).教學活動設計二次設計課堂導入a2等于什么?我們不妨取a的一些值,如2,-2,3,-3,分別計算對應的a2的值,看看有什么規律:22=4=2;(-2)2=4=2;32=9=3;(-3)2=9=3;你能概括一下

9、a2的值嗎?探索新知合作探究自學指導思考:a(a0)是一個什么數呢?閱讀課本后,根據算術平方根的意義填空:(4)2=;(2)2=;(9)2=;(3)2=;132=;722=;得出二次根式的性質:(a)2=a(a0).合作探究小組合作,探究以下例題【例1】 計算:(1)(1.5)2;(2)(25)2.探究:根據算術平方根的意義填空:22=;0.12=;232=;02=.通過計算我們可以得到22=2,0.12=0.1,232=23,02=0.一般地,根據算術平方根的意義:a2=a(a0).續表探索新知合作探究【例2】 化簡(1)16;(2)(-5)2.教師指導1.易錯點:(a)2與a2要注意平方與

10、開方的先后順序.當先開方時,要求a0;當先平方時,a取任何實數都能使二次根式有意義.2.歸納小結:二次根式的性質(1)a0(a0).(2)(a)2=a(a0).(3)a2=|a|=a(a>0)0(a=0)-a(a<0)3.規律方法:當a是負數時,a2=-a,當a是非負數時,a2=a,所以在化簡時,要注意把被開方數轉化成一個數的平方的形式.當堂訓練1.數a沒有算術平方根,則a的取值范圍是()(A)a>0(B)a0(C)a<0(D)a=02.(-3)2=.3.把下列非負數寫成一個數的平方的形式:(1)5;(2)3.4;(3)16;(4)x(x0).板書設計二次根式的性質1.

11、二次根式的性質1:(a)2=a(a0);2.二次根式的性質2:a2=a(a0).教學反思課題二次根式的乘除課時第1課時上課時間教學目標1.知識與技能理解a·b=ab(a0,b0),ab=a·b(a0,b0),并利用它們進行計算和化簡.2.過程與方法發展觀察、歸納、概括等能力,發展有條理的思考能力以及語言表達能力.3.情感、態度與價值觀通過師生共同活動,促進學生在學習活動中培養良好的情感,合作交流,主動參與的意識.教學重難點重點:a·b=ab(a0,b0),ab=a·b(a0,b0)及它們的運用.難點:發現規律,導出a·b=ab(a0,b0).教

12、學活動設計二次設計課堂導入1.上節課我們學習了什么是二次根式以及二次根式的特點,現在,我們一起來復習一下這些基本的知識吧.(引導學生復習基本知識)2.在有理數的運算中,我們學習了加、減、乘、除四則運算,那么,在我們學習了二次根式之后,大家有沒有考慮過,兩個二次根式能否進行加、減、乘、除運算?怎樣運算?讓我們從研究乘法開始.探索新知合作探究自學指導自學課本,嘗試理解二次根式的乘法法則:一般地,對二次根式的乘法規定為a·b=ab.(a0,b0)合作探究1.小組合作,探究以下等式:ab=a·b(a0,b0)根據這個式子,我們可以利用它對二次根式進行化簡.思考這樣一個問題,(-4)

13、×(-9)=(-4)×(-9)成立嗎?為什么?2.通過例題,小組可以總結出化簡二次根式的一般步驟:(1)將被開方數盡可能分解成幾個平方數.(2)應用ab=a·b(a0,b0)(3)應用a2=a(a0)化簡3.例題探究(小組合作)【例1】 若x-2·2-x=(x-2)(2-x)成立,試化簡|x-4|+|x|.【例2】 已知12x是不大于20的整數,求整數x的值.續表探索新知合作探究教師指導1.易錯點:在應用二次根式的乘法法則運算時,易忽略被開方數取非負數這個條件.2.歸納小結:(1)二次根式的乘法:a·b=ab(a0,b0).(2)積的算術平方根

14、的性質:積的算術平方根等于積中各因式的算術平方根的積,即:ab=a·b(a0,b0).3.規律方法:(1)兩個二次根式相乘,等于被開方數相乘,根指數不變.(2)被開方數a,b可以是非負的數字、字母或代數式.(3)此性質可推廣到多個非負因數的情況.當堂訓練1.若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為15 cm和12 cm,那么此直角三角形斜邊長是()(A)32 cm(B)33 cm(C)9 cm(D)27 cm2.自由落體的公式為s=12gt2(g為重力加速度,它的值為10 m/s2),若物體下落的高度為720 m,則下落的時間是.3.一個底面為30 cm×30 cm長方體玻璃容器

15、中裝滿水,現將一部分水倒入一個底面為正方形、高為10 cm鐵桶中,當鐵桶裝滿水時,容器中的水面下降了20 cm,鐵桶的底面邊長是多少厘米?板書設計二次根式的乘法1.二次根式的乘法法則:a·b=ab(a0,b0)2.積的算術平方根:ab=a·b(a0,b0)教學反思課題二次根式的乘除課時第2課時上課時間教學目標1.知識與技能(1)會進行簡單的二次根式的除法運算.(2)使學生能利用商的算術平方根的性質進行二次根式的化簡與運算.2.過程與方法引導學生從特殊到一般總結歸納的方法以及類比的方法,解決數學問題.3.情感、態度與價值觀通過本節課的學習使學生認識到事物之間是相互聯系的,相互

16、作用的.教學重難點重點:會利用商的算術平方根的性質進行二次根式的化簡,會進行簡單的二次根式的除法運算.難點:二次根式的除法與商的算術平方根的關系及應用.教學活動設計二次設計課堂導入計算下列各題,觀察有什么規律?(1)3649=;3649=.(2)916=;916=.3649 3649;916 916.探索新知合作探究自學指導自學課本,嘗試完成以下活動1.請同學們回憶a·b=ab(a0,b0)是如何得到的?2.觀察下面的例子,并計算:1625=(45) 2=451625=45類似地,再舉幾個例子,然后由這些特殊的例子,得出:ab=ab(a0,b>0)

17、合作探究小組合作,探究以下例題【例1】 計算:(1)243;(2)32÷118.續表探索新知合作探究【例2】 化簡:(1)7121;(2)36a25b2.小組討論,類比上節課內容,把ab=ab反過來,就得到ab=ab(a0,b>0),利用它就可以進行二次根式的化簡.教師指導1.易錯點:公式中a必須是非負數,b必須是正數,式子才成立.若a,b都是負數,雖然ab>0,ab有意義,但a和b在實數范圍內無意義.當b=0時,ab無意義.2.歸納小結:(1)商的算術平方根的性質(注意公式成立的條件).(2)會利用商的算術平方根的性質進行簡單的二次根式的化簡.3.規律方法:(1)意義:

18、兩個二次根式相除,等于被開方數相除,根指數不變.(2)被開方數a可以是非負的數字、字母或代數式,b可以是正的數字、字母或代數式.(3)商要化成最簡二次根式.(4)運算中可以運用分式性質約分.當堂訓練1.計算113÷213÷125的結果是()(A)275(B)27(C)2(D)272.已知x=3,y=4,z=5,那么yz÷xy的最后結果是.3.計算題:(1)945÷3212×32223;(2)a2ab·bba÷9b2a.板書設計二次根式的除法1.二次根式的除法運算ab=ab(a0,b>0)2.商的算術平方根ab=ab(a

19、0,b>0)教學反思課題二次根式的乘除課時第3課時上課時間教學目標1.知識與技能理解最簡二次根式的概念,并運用它把不是最簡二次根式化成最簡二次根式.2.過程與方法通過計算或化簡的結果來提煉出最簡二次根式的概念,并根據它的特點來檢驗最后結果是否滿足最簡二次根式的要求.3.情感、態度與價值觀鼓勵學生在探索規律的過程中從多個角度進行考慮,品嘗成功的喜悅,激發學生應用數學的熱情,培養學生主動探索,敢于實踐,善于發現的科學精神以及合作精神,樹立創新意識.教學重難點重點:最簡二次根式的運用.難點:會判斷一個二次根式是否是最簡二次根式.教學活動設計二次設計課堂導入請同學們完成下列各題(請三位同學上臺板

20、書)1.計算(1)35,(2)3227,(3)82a.2.現在我們來看本章引言中的問題:如果兩個電視塔的高分別是h1 km,h2 km,那么它們的傳播半徑的比是.探索新知合作探究自學指導自學課本,嘗試得到最簡二次根式概念:若二次根式有如下兩個特點:1.被開方數不含分母;2.被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.我們把滿足上述兩個條件的二次根式,叫做最簡二次根式.合作探究小組合作,探究以下例題.【例1】 (1)3512;(2)x2y4+x4y2;(3)8x2y3.【例2】 如圖,在RtABC中,C=90°,AC=2.5 cm,BC=6 cm,求AB的長.續表探索新知合作探究教師指導1.

21、易錯點:將根號內指數大于或等于2的因式移到根號外時,要注意字母的取值范圍.2.歸納小結:最簡二次根式的兩個特點:(1)被開方數不含分母.(2)被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.我們把滿足上述兩個條件的二次根式,叫做最簡二次根式.當堂訓練1.化簡-3227的結果是()(A)-23(B)23(C)63(D)22.化簡x4+x2y2=.(x0)3.a-a+1a2化簡二次根式后的結果是.板書設計最簡二次根式1.最簡二次根式的概念2.化簡二次根式教學反思課題二次根式的加減課時第1課時上課時間教學目標1.知識與技能掌握同類二次根式的概念;掌握二次根式的加減法法則,并能夠利用法則進行有關計算.2.過程與

22、方法經歷探索二次根式加減法法則的過程,理解掌握二次根式的加減法法則.3.情感、態度與價值觀經歷探索二次根式加減法法則的過程,類比的數學思想方法.教學重難點重點:掌握二次根式的加減法法則,并能夠利用法則進行有關計算.難點:類比合并同類項的法則得出二次根式加減法法則的推導過程.教學活動設計二次設計課堂導入1.二次根式計算、化簡的結果符合什么要求?(1)被開方數不含分母;(2)被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.2.問題:現有一塊長7.5 dm,寬5 dm的木板,能否采用如圖的方式,在這塊木板上截出兩個分別是8 dm2和18 dm2的正方形木板?探索新知合作探究自學指導自學課本,嘗試完成課本習題.

23、合作探究我們可以利用已學知識或已有經驗來分組討論、交流,看看5+5到底等于什么?小組展示討論結果.教師引導驗證:設5=a,類比合并同類項的方法計算.學生思考,得出先化簡,再合并的解題思路5-125=5-55=-45可由這兩道題目總結出方法.先化簡,再合并5-50+20=5-52+25=35-52學生觀察并歸納:二次根式化為最簡二次根式后,被開方數相同的能合并.【例1】 計算:(1)9a+25a;(2)80-45.分析:第一步,將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式;第二步,將相同的最簡二次根式進行合并.【例2】 計算:(1)212-613+348;(2)(12+20)+(3-5).續表探索新知

24、合作探究探究注意點1.教師出示問題,指定學生板演,其他學生先獨立完成,小組內討論交流,教師巡視指點迷津.2.計算過程中,提示學生二次根式的加減與整式的加減相比較,強調哪些二次根式能合并,哪些不能合并.3.學生先自主、對于有困難的同學可以合作完成.教師指導1.易錯點:把二次根式被開方數中能開得盡方的因數分解并開出來,或把被開方數的分母開出來,化成最簡二次根式后再進行加減運算,注意不是被開方數相同的二次根式不能合并.2.歸納小結:二次根式相加減,先把各個二次根式化成最簡二次根式,找出被開方數相同的二次根式,然后把被開方數相同的二次根式分別合并.3.方法規律:二次根式的加減和整式的加減很相似,前者是

25、合并被開方數相同的二次根式,后者為合并同類項.當堂訓練1.以下二次根式:12;22;23;27中,與3是同類二次根式的是()(A)和(B)和(C)和(D)和2.計算5a-3b-7a+9b=.3.計算:(1)18+(98-27);(2)(24+0.5)-18-6.板書設計二次根式的加減1.二次根式的加減2.例題教學反思課題二次根式的加減課時第2課時上課時間教學目標1.知識與技能在有理數的混合運算及整式的混合運算的基礎上,使學生了解二次根式的混合運算與以前所學知識的關系,在比較中求得方法,并能熟練地進行二次根式的混合運算.2.過程與方法(1)對二次根式的混合運算與整式的混合運算及數的混合運算作比較

26、,要注意運算的順序及運算律在計算過程中的作用.(2)通過引導,在多解中進行比較,尋求有效快捷的計算方法.3.情感、態度與價值觀通過獨立思考與小組討論,培養良好的學習態度,以及自我意識,并且注重培養學生的類比思想.教學重難點重點:混合運算的法則,明確三級運算的順序,運算律的合理使用.難點:靈活運用因式分解、約分等技巧,使計算簡便.教學活動設計二次設計課堂導入如果梯形的上、下底邊長分別為22 cm,43 cm,高為6 cm,那么它的面積是多少?毛毛是這樣算的:梯形的面積:12(22+43)×6=(2+23)×6=2×6+23×6=2×6+218=23+62(cm2).他的做法正確的嗎?由此可以看出,二次根式混合運算的依