1、第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入高三一輪復習平面向量的數量積第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入2范圍范圍向量夾角向量夾角的范圍是的范圍是 ，a與與b同向時，同向時，夾角夾角 ；a與與b反向時，夾角反向時，夾角 3向量垂直向量垂直如果向量如果向量a與與b的夾角是的夾角是 ，則，則a與與b垂直，記作垂直，記作 0180018090ab第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入二、平面向量數量積二、平面向量數量積1已已知兩個非零向量知兩個非零向量a與與b，則數量，則數量|a|b|cos 叫做叫做a與與b的數量的數量積，記作積，記作ab，即，即ab ，其中，其中是是a與與b的夾角的夾角規定

2、規定0a0.當當ab時，時，90，這時，這時ab 2ab的幾何意義：的幾何意義：數量積數量積ab等于等于a的長度的長度|a|與與b在在a的方向上的投影的方向上的投影 的的乘積乘積|a|b|cos0|b|cos第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入ab0 |a|2 第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入四、數量積的運算律四、數量積的運算律1交交換律：換律：ab 2分配律：分配律：(ab)c 3對對R，(ab) baacbc(a)ba(b)第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入a1b1a2b2 a1b1a2b20 第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引

3、入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 關鍵要點點撥1對兩向量夾角的理解(1)兩向量的夾角是指當兩向量的起點相同時，表示兩向量的有向線段所形成的角，若起點不同，應通過移動，使其起點相同，再觀察夾角(2)兩向量夾角的范圍為0，特別當兩向量共線且同向時，其夾角為0，共線且反向時，其夾角為.(3)在利用向量的數量積求兩向量的夾角時，一定要注意兩向量夾角的范圍第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入2向量運算與數量運算的區別向量運算與數量運算的區別(1)若若a，bR，且，且ab0

4、，則有，則有a0或或b0，但，但ab0卻卻不能得出不能得出a0或或b0.(2)若若a，b，cR，且，且a0，則由，則由abac可得可得bc，但由，但由abac及及a0卻不能推出卻不能推出bc.(3)若若a，b，cR，則，則a(bc)(ab)c(結合律結合律)成立，但對于成立，但對于向量向量a，b，c，而，而(ab)c與與a(bc)一般是不相等的，向量的一般是不相等的，向量的數量積是不滿足結合律的數量積是不滿足結合律的(4)若若a，bR，則，則|ab|a|b|，但對于向量，但對于向量a，b，卻有，卻有|ab|a|b|，等號當且僅當，等號當且僅當ab時成立時成立第四章 平面向量、數系的擴充與復數的

5、引入 典題導入典題導入 (1)若若向量向量a(1，1)，b(2，5)，c(3，x)滿足條件滿足條件(8ab)c30，則，則x()A6 B5C4 D3平面向量數量積的運算平面向量數量積的運算 第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 聽課記錄8ab8(1，1)(2，5)(6，3)，所以(8ab)c(6，3)(3，x)30.即183x30，解得x4.答案C第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 規律方法平面向量數量積問題的類型及求法(1)已知向量a，b的模及夾角，利用公式ab|

6、a|b|cos 求解；(2)已知向量a，b的坐標，利用數量積的坐標形式求解第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入答案2第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 典題導入典題導入 (1)已已知知|a|1，|b|2，a與與b的夾角為的夾角為120，abc0，則，則a與與c的夾角為的夾角為 ()A150 B90 C60 D30兩平面向量的夾角與垂直兩平面向量的夾角與垂直 第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 聽課記錄ab12cos 1201，cab，aca(ab)aaab110，ac.a與c的夾角為90.答案B第四

7、章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 (2)(2013大綱版全國高考大綱版全國高考)已知向量已知向量m(1，1)，n(2，2)，若，若(mn)(mn)，則，則()A4 B3C2 D1第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 聽課記錄(mn)(mn)，(mn)(mn)0.|m|2|n|20，即(1)21(2)240.3.故選B.答案B第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 規律方法1求兩非零向量的夾角時要注意：(1)向量的數量積不滿足結合律；(2)數量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數量積小于0且兩向量不能共線

8、時兩向量的夾角就是鈍角2當a，b是非坐標形式時，求a與b的夾角，需求得ab及|a|，|b|或得出它們的關系第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 跟蹤訓練跟蹤訓練2(1)設設向量向量a(x1，1)，b(x1，3)，則，則a(ab)的的一個充分不必要條件是一個充分不必要條件是()Ax0或或2 Bx2Cx1 Dx2第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入(2)已知向量已知向量a(1，0)，b(0，1)，cab(R)，向量，向量d如圖所示，如圖所示，則則()A存在存在0，使得向量，使得向量c與向量與向量d垂直垂直B存在存在0，使得向量，使得向量c與向量與向量

9、d夾角為夾角為60C存在存在0，使得向量，使得向量c與向量與向量d共線共線第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入平面向量的模平面向量的模 第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入答案A第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入平面向量數量積的綜合應用平面向量數量積的綜合應用 第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 規

10、律方法向量與其它知識結合，題目新穎而精巧，既符合考查知識的“交匯處”的命題要求，又加強了對雙基覆蓋面的考查，特別是通過向量坐標表示的運算，利用解決平行、垂直、夾角和距離等問題的同時，把問題轉化為新的函數、三角或幾何問題第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入3坐標法我們可以利用相互垂直的兩腰所在直線建立平面直角坐標系，這樣就可以根據已知條件求出相應點的坐標，再利用平面向量的坐標運算進行驗證第四章

11、平面向量、數系的擴充與復數的引入【解析】解法一：設直角三角形ABC的兩腰長都為4，如圖所示，以C為原點建立平面直角坐標系，則A(4，0)，B(0，4)，因為D為AB的中點，所以D(2，2)因為P為CD的中點，第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入【答案】D第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入3利用坐標計算向量模的問題，是最常用有效的方法，建立坐標系時，應注意利用圖形特點4以上根據向量數與形的基本特征，結合題目中的選項以及直角三角形的條件，從三個方面提出了不同的解法，涉及向量的基本運算、坐標運算等相關知識，在尋找解題思路時，應牢牢把握向量的這兩個基本特征第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章 平面向量、數系的擴充與復數的