1、第一章球面幾何與球面三角學球面幾何與球面三角學作為數學的一個分支，主要研究球面上圖形的性質、球面上由三個大圓弧所構成的球面三角形及其解算等問題。球面幾何和球面三角學的發展與應用，與天文學、測量學及航海學的發展與應用有著密切的聯系，是天文航海的數學基礎。本章介紹與天文航海相關的球面幾何與球面三角學基本知識。第一節球面幾何球面幾何研究分布在球面上的圖形的性質，其所涉及的部分概念與原理，是學習天文航海必備的基本知識。、球和球面一個半圓繞其直徑旋轉一周所形成的旋轉面,稱為球面。球面所圍成的幾何體，稱為球,或稱球體。球內到球面上任一點的距離都相等的點，稱為球心。連接球心和球面上任一點的線段，稱為球的半徑

2、；連接球面上兩點且通過球心的線段，稱為球的直徑。直徑的長度是半徑的兩倍，且同一球體的半徑或直徑都相等。在天文航海中，近似于旋轉橢球體的地球，常被當做球體加以研究。此外，宇宙也以球體模型加以描述。二、球面上的圓任一平面與球面相截的截痕是一個圓。如圖 1-1-1 所示，設 HHHH 是過球心 O 的平面，平面M MM M 不過球心但平行于平面 HHHH,則平面M MM M 和H HH H與半徑為 R R 的球面相截，截痕 ABC 和 QQN 為圓。圖 1-1-1 中，設 O 是過 O 點向平面 MMMM 所作垂線白垂足，OAR 為球的半徑，根據勾股定理，在直角三角形 AOO 中，有OAJOA2OO

3、2(1-1-1)設 OOd,OAr,可得2.2rURd(1-1-2)分析圖 1-1-1 和式(1-1-2),可知：當平面通過球心 O 時，d0,r rR,平面與球面相截所得的圓最大，稱為大圓，如圓QQN。大圓的圓心即為球心，半徑等于球的半徑。大圓上的一段圓周，稱為大圓弧。當平面不通過球心 O 時，d0,r rR,平面與球面相截所得的圓小于大圓，稱為小圓,如圓 ABC。d 越大，即平面離球心越遠，平面與球面相截所得的小圓越小。按照大圓的定義，可導出大圓具有如下特性：(1)大圓把球和球面分成相等的兩部分；(2)兩個大圓平面相互平分，其交線既是球的直徑，也是這兩個大圓的直徑；(3)過球面上不在同一直

4、徑兩端的任意兩點，僅能作一個大圓；(4)過同一直徑的兩個端點，在球面上可以作無數個大圓。三、球面距離球面上兩點間小于 180 的大圓弧(稱為劣弧)長，是兩點間在球面上的最短距離，稱為兩點間的球面距離。如圖 1-1-2 所示，A A、B B 兩點的球面距離，即大圓弧 AB 的長，且與 AB 所對應的球心角AOB 同度。球面距離用大圓弧所對應的球心角(、)表示。四、軸、極、極距和極線垂直于球面上的圓所在平面的球直徑，稱為該圓的軸，軸的兩個端點，稱為該圓的極。球面上從極到該圓上任一點的球面距離，稱為極距。同一個圓的極距都相等；大圓的極距等于 90;極距等于 90的大圓弧，稱為該極的極線。如圖 1-1

5、-3 所示，直徑 PP 同時垂直于小圓 CD 和大圓 AB 的平面，因此，PP 既是小圓 CD 的軸，也是大圓AB 的軸，其兩個端點 P P 和 P 同是小圓 CD 和大圓 AB 的極。顯然，小圓 CD 的極距 PCPD,PCPD;大圓 AB 的極距PAPBPAPB90;大圓弧 AB 即 P P 或 P 的極線。五、球面角及其度量球面上兩個大圓弧所構成的角，稱為球面角。構成球面角的兩個大圓弧，稱為該球面角的邊，邊的交點稱為該球面角的頂點。如圖 1-1-4 所示，APBAPB 和 APB 為兩個球面角。對球面角 APB,PAPB,P 為頂點，兩條邊分別為大圓弧 PA 和 PB。球面角的大小用過其

6、頂點的兩個大圓弧平面所構成的二面角來度量的，具體度量方法有以下三種(圖1-1-4)：(1)用頂點的極線被球面角兩條邊所截的弧長 AB 來度量；(2)用頂點的極線被球面角兩條邊所截的弧長 AB 所對應的球心角 AOB 來度量；(3)用過頂點所作的兩個大圓弧的兩條切線間的夾角 CPD 來度量。圖 1-1-4 球閽怵其度量圖 1-1-2期距離圖 1-1-3 軸、碉極距和極線第二節球面三角學球面三角學研究球面上由三個大圓弧所構成的球面三角形及其解算方法，是天文航海的核心理論。、球面三角形球面上由三個大圓弧相交所構成的圖形稱為球面三角形。 構成球面三角形的大圓弧， 稱為球面三角形的邊；由大圓弧構成的球面

7、角， 稱為球面三角形的角。 球面三角形的三條邊和三個角， 統稱為球面三角形的六個元素。如圖 1-2-1 所示， 三角形 ABC 即球面三角形， 其六個元素分別為邊 a、b、c 和角 A A、B B、C。在球面上，三個大圓弧構成 4 組對稱球面三角形。航海上所使用的球面三角形，邊和角均大于 0而小于 180,稱為歐拉球面三角形。因邊和角取值的不同，球面三角形又可分為任意球面三角形(如 ABC)、球面直角三角形(一個或一個以上的角為直角)、球面直邊三角形(一條或一條以上的邊等于 90)和特殊球面三角形(一個角及其對應的邊很小，或三條邊都很小)等。 不同類型的球面三角形在航海上各具不同的用途。、球面

8、三角形的相等和相似在同一球面上或在半徑相等的兩個球面上，兩個球面三角形的對應邊和角分別相等， 且邊和角的排列順序相同，則稱兩個球面三角形相等。判斷兩個球面三角形相等的條件(任一成立即可)如下：(1)兩邊及其夾角相等；(2)兩角及其夾邊相等；(3)三邊相等；(4)三角相等。在半徑不同的球面上，邊角度數對應相等的兩個球面三角形，稱為相似球面三角形。三、球面三角形的基本性質根據定義，可導出球面三角形的基本性質如下：(1)球面三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊;圖 1-2-1 樽碼三角形(2)球面三角形的三邊之和大于 0 且小于 360,三角之和大于 180 且小于 540；(3)球面三角

9、形的兩角之和減去第三角小于 180;(4)若球面三角形的兩邊相等，則此兩邊的對角相等；反之，若兩角相等，則此兩角的對邊相等；(5)球面三角形中，大角對大邊；反之，大邊對大角。四、球面三角形中邊和角的函數關系球面三角學的主要任務之一，是研究球面三角形六個元素之間的函數關系，表示這種關系的方程稱為球面三角公式。在眾多球面三角公式中，天文航海中常用的公式包括：1 .邊的余弦公式球面三角形任一邊的余弦，等于其余兩邊余弦的乘積，加上該兩邊的正弦及其夾角的余弦的乘積。如圖 1-2-1 所示，在球面三角形cosacosbcosccosbcosacosc邊的余弦公式表示球面三角形的三條邊和一個角之間的關系，可

10、用于已知三邊求一角,或已知兩邊及其夾角求第三邊。2 .正弦公式球面三角形各邊的正弦與其對角的正弦成正比。如圖 1-2-1 所示，在球面三角形 ABC 中,正弦公式為sinasinbsinc(1-2-2)sinAsinBsinC正弦公式表示球面三角形的邊與其對角之間的關系，可用于已知兩邊一對角求另一對角，或已知兩角一對邊求另一對邊。3 .余切公式(又稱相鄰四元素公式、四聯公式)將球面三角形中相聯四個元素依次排列，在中間的邊、角，叫中邊、中角，在兩端的邊、角叫端邊、端角，則用球面三角形的余切公式可以寫成cot 端角 sin 中角=cot 端邊 sin 中邊 cos 中邊 cos 中角(1-2-3)

11、4圖 1-2-所示，在球面三角形 ABC 中，余切公式為：cotAsinBcotasinccosccosBcotAsinCcotasinbcosbcosCABC 中，邊的余弦公式為sinbsinccosAsinasinccosB(1-2-1)cosccosacosbsinasinbcosCcotBsinCcotbsinacosacosC(1-2-4)cotBsinAcotbsinccosccosAcotCsinAcotcsinbcosbcosAcotCsinBcotcsinacosacosB余切公式表示球面三角形相聯四元素之間的關系，可用于已知相聯三個元素，求相聯的另一兀素。思考題1 .何為大圓、小圓？大圓與小圓的主要區別是什么？2 .何為球面距離和球面角