1、第 9 章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用總結(jié)一、多元函數(shù)的極限與連續(xù)1、 n 維空間R2 為二元數(shù)組 ( x, y) 的全體，稱為二維空間。R 3 為三元數(shù)組 (x, y, z) 的全體，稱為三維空間。 R n為 n 元數(shù)組 (x1 , x2 , , xn ) 的全體，稱為 n維空間。n 維空間中兩點 P( x1 , x2 , xn ),Q( y1 , y2 , yn ) 間的距離：|PQ |( y1x1 )2( y2x2 )2( ynxn )2鄰域:設(shè) P0是 R n的一個點，是某一正數(shù)， 與點 P0 距離小于的點 P 的全體稱為點P0 的鄰域，記為U (P0,)，即U(P0, ) PR n | P

2、P0 | 空心鄰域:P0 的鄰域去掉中心點P0就成為P0的空心鄰域,記為U(P0 , =)P 0 |PP0| 。內(nèi)點與邊界點 ：設(shè) E 為 n 維空間中的點集，PR n 是一個點。如果存在點P 的某個鄰域U (P, ) ，使得 U (P,)E ，則稱點 P 為集合 E 的內(nèi)點 。如果點 P 的任何鄰域內(nèi)都既有屬于 E 的點又有不屬于E 的點，則稱 P 為集合 E 的邊界點 ,E 的邊界點的全體稱為 E 的邊界聚點 ：設(shè) E 為 n 維空間中的點集， PR n 是一個點。 如果點 P 的任何空心鄰域內(nèi)都包含E中的無窮多個點，則稱P 為集合 E 的聚點。開集與閉集 :若點集 E 的點都是內(nèi)點，則稱

3、E 是開集 。設(shè)點集 ER n , 如果 E 的補集R nE 是開集，則稱 E 為閉集 。區(qū)域與閉區(qū)域 ：設(shè) D 為開集，如果對于 D 內(nèi)任意兩點，都可以用 D 內(nèi)的折線（其上的點都屬于 D ）連接起來 , 則稱開集 D 是連通 的連通的開集稱為區(qū)域 或開區(qū)域 開區(qū)域與其邊界的并集稱為 閉區(qū)域 有界集與無界集 : 對于點集 E ，若存在 M0，使得 EU (O,M ) ，即 E 中所有點到原點的距離都不超過M ，則稱點集E 為有界集，否則稱為無界集如果 D 是區(qū)域而且有界，則稱D 為有界區(qū)域 有界閉區(qū)域的直徑：設(shè) D 是 R n 中的有界閉區(qū)域，則稱d (D )max | PP12| 為 D

4、的直徑。P ,PD12二、多元函數(shù)n 元函數(shù)就是 R n 的一個子集 D 到 R 的一個函數(shù)，即對任意的P D ，都存在唯一的y R ，使得 yf ( P) 。習(xí)慣上，我們用y f (x) 表示一元函數(shù)，用 zf (x, y) 表示二元函數(shù)，用 wf ( x, y, z) 表示三元函數(shù) .一般用 yf (P), PR n 或 yf ( x1 , x2 , , xn )表示 n 元函數(shù)三、多元函數(shù)的極限設(shè)多元函數(shù) zf ( P) 在 D 有定義， P0 是 D 的一個聚點，A 為常數(shù)。如果對任意給定0的0，都存在0，當(dāng)P DU (P0 , ) 時，有 f (P)A則 稱 A 為 P 趨 于 P

5、時 函 數(shù) zf (P) 在 D 上 的 極 限 ， 記 為 lim f (P) A或0P P0f (P)A,(PP0 ) 。四、多元函數(shù)的連續(xù)性設(shè)多元函數(shù) zf (P) 在 D 有定義， P 是 D 的一個聚點。如果lim f (P)f (P0 ) ，0P P0則稱 zf (P) 在 P0 點連續(xù)。如果 zf (P) 在區(qū)域 D 上各點都連續(xù)， 就稱 zf (P) 在 D 上連續(xù)如果函數(shù) zf ( P) 在 點 P0 處不連續(xù)， 則稱函數(shù) zf ( P) 在點 P0 處間斷 ,也稱P0是函數(shù) zf (x, y) 的間斷點。五、偏導(dǎo)數(shù)設(shè)二元函數(shù) zf ( x, y) ， P0 ( x0 , y

6、0 ) 為平面上一點。如果zf (x, y0 ) 在 x0 的某一鄰域內(nèi)有定義且在x0點可導(dǎo)，即極限limzlimf ( x0x, y0 )f ( x0 , y0 )x 0xx0x存在 , 則稱 zf ( x, y) 在點 P0 ( x0 , y0 ) 處對 x 可偏導(dǎo)，稱此極限值為函數(shù) zf ( x, y) 在點P0 (x0 , y0 ) 處對 x的偏導(dǎo)數(shù) ，記為z, y ) ,f, y ) ,zx或 f x ( x0 , y0 )x( xx( x( x, y )000000六、 高階偏導(dǎo)數(shù)2 z2 ff xxf，2 z2 ffxyf，x2x2x xx yx yy x2 z2 ff yxf2

7、 z2 ff yyfy xy xx y，y2y yy2如果函數(shù) zf (x, y) 的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)fxy , f yx 都在平面區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù)，那么這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)在D 內(nèi)相等。七、全微分設(shè)函數(shù) zf ( x, y) 在點 P0 (x0, y0 ) 的某一鄰域內(nèi)有定義，A, B 為常數(shù)。如果zA xB yo() ，其中(x) 2(y)2 ， 則稱函數(shù)zf ( x, y) 在點P0 (x0 , y0 ) 可微分（簡稱可微），稱 A xBy 為函數(shù) zf (x, y) 在點 P0 ( x0 , y0 ) 的全微分，記作 dz ，即 dzA xB y可微的必要條件： 函數(shù) zf (x,

8、y) 在點 P0 ( x0 , y0 ) 可微 , 則 (1)f ( x, y) 在點 P0 (x0 , y0 )處連續(xù)。 (2)f ( x, y) 在點 P0 (x0 , y0 ) 處偏導(dǎo)數(shù)存在 , 且 dzf x (x0 , y0 )dxf y ( x0 , y0 )dy 。可微的充分條件：函數(shù) zf ( x, y) 在點 P0 ( x0 , y0 ) 的某個鄰域內(nèi)可偏導(dǎo)，且偏導(dǎo)數(shù)fx (x, y), f y ( x, y) 在點 P0 ( x0 , y0 ) 連續(xù)，則 zf ( x, y) 在點 P0 ( x0 , y0 ) 可微。八、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則鏈?zhǔn)椒▌t： zf (u, v)

9、 ， uu( x, y),v v( x, y) ， zfufv，xuxvxzfufv 。yuyvy一階全微分的形式不變性：z f (u, v) ， uu( x, y), vv( x, y)dzz dxz dy,dzz duz dvxyuv九、隱函數(shù)及其求導(dǎo)法若 F (x, y) 滿足： (1)F (x, y) 在 ( x0 , y0 ) 某鄰域內(nèi)可偏導(dǎo) , 且 Fx (x, y), Fy ( x, y) 連續(xù)，(2)F ( x0 , y0 )0 ，(3) Fy (x0 , y0 )0 。則 (1)存在 x0 的某個鄰域， 在此鄰域內(nèi)存在唯一確定的一元函數(shù)yf (x)滿足稱函數(shù)yf ( x) 稱

10、為由方程F ( x, y)0 所確定的隱函數(shù)，且yf (x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，dyf(x)Fx ( x, y)dxFy (x, y)若 F ( x1 , x2 , xn , y) 滿足： (1)F (x1, x2 , xn , y) 在點 ( x10 , x20 , xn0 , y0 ) 的某個 (n+1)維鄰域內(nèi)可偏導(dǎo) , 且 F ( x , x, , x, y), Fx(x , x, x, y), F (x , x, x, y) 連續(xù)。x1 2nn1 2ny12n1(2)F ( x10 , x20 , xn0 , y0 )0，(3)Fy ( x10 , x20 , xn0 , y0 ) 0則

11、(1) 存在點 ( x10 , x20 , , xn0 ) 的某個 n 維鄰域 , 在此鄰域內(nèi)存在唯一的n元函數(shù)，且函數(shù)yf ( x1 , x2 , xn ) 在該鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), yxFxi, i1,2 ,n,。iFy十、空間曲線的切線與法平面xx(t)空間曲線的參數(shù)方程為，(),(),() 為曲線上一點。如果yy(t)M 0 x t0y t0z t0zz(t)x (t0 ), y (t0 ), z (t0 ) 不全為 0，則在點 M 0 處的切線的方程為：xx0y y0zz0 ，x (t 0 )y (t 0 )z (t0 )在點 M 0 處的法平面方程為： ( x x0 )x (t0

12、 )( y y0 ) y (t0 )( zz0 ) z (t0 )0 。十一、空間曲面的切平面與法線曲面： F (x, y, z) 0 在點處M 0 的法線方程為：xx0yy0z z0Fx (M 0 ) Fy ( M 0 ) Fz (M 0 )在點處 M 0 的法線方程為：xx0y y0zz0Fx (M 0 )Fy ( M 0 )Fz (M 0 )十二、無條件極值極值存在的必要條件：函數(shù) zf ( x , y) 在點 P0 (x0 , y0 ) 處取得極值, 且在該點處函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都存在, 則zf (x , y) 在 P0 (x0 , y0 ) 點處的一階偏導(dǎo)數(shù)為零, 即f x ( x0 , y0 )0,f y (x0 , y0 )0極值存在的充分條件：函數(shù)zf (x, y)在點P0 ( x0 , y0 ) 的某鄰域內(nèi)有一階及二階連續(xù)偏 導(dǎo)數(shù) ， 且fx (x0 , y0 )f y ( x0 , y0 )0。 令f xx ( x0 , y0 )A，f xy (x0 , y0 )B，fyy( x0 , y0 )C ，則(1) 當(dāng) ACB 20 時 ， f ( x0 , y0 ) 是 函 數(shù) zf (x, y) 的 極 值