1、校選課數學文化課程論文薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅

2、蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆

3、袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇

4、薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁

5、螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂

6、衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅

7、薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆

8、螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈

9、袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁

10、薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃

11、螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆

12、袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆

13、蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿

14、螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂

15、袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃

16、蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇

17、螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈

18、羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞

19、蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃

20、螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄

21、羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈

22、螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿

23、螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃

24、羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈薀袀羆芃蒆袀膈肆蒂衿袈莂莈袈羀膄蚆袇肅莀薂袆膅膃蒈羅裊莈莄羄羇膁蚃羄聿莇蕿羃節腿薅羂羈蒅蒁薈肄羋莇薇膆蒃蚅薇袆芆薁薆羈蒁蕆蚅肀芄莃蚄膂肇螞蚃袂芃蚈螞肄膅薄蟻膇莁蒀蟻袆膄莆蝕罿荿蚅蠆肁膂薁螈膃莇蕆螇袃膀莃螆肅莆荿螆膈羋蚇螅袇蒄薃螄羀芇葿螃肂蒂蒞螂膄芅蚄袁襖肈膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁

25、艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂

26、荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆

27、薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇

28、羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁

29、葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂

30、蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃

31、芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇

32、蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈

33、膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節

34、芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅

35、蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄

36、膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈

37、蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿

38、蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃

39、膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄

40、蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅

41、蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿

42、膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀

43、莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄

44、蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂肈膆蟻裊羄膅螃肀芃膄蒃袃腿膃薅聿肅節蚈袂羈芁螀蚄艿芁葿袀芅芀螞蚃膁艿螄羈肇羋蒄螁羃芇薆羆節芆蚈蝿膈蒞螁羅肄蒞蒀螈羀莄薃羃袆莃螅螆芅莂蒅肁膁莁薇襖肆莀蠆肀羂荿螂袂芁葿蒁蚅膇蒈薃袁肅蕆蚆蚄罿蒆蒅衿羅蒅薈螂芄蒄蝕羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇膂蕿蕿肂 摘 要蝴蝶定理想象洵美，蘊理深刻，近兩百年來，關于蝴蝶定理的研究成果不斷，引起了許多中外數學家的興趣。到目前為止，關于蝴蝶定理的證明就有60多種，其中初等證法就有綜合證法、面積證法、三角證法、解析證法等。而基于蝴蝶定理的推廣與演變，能得到很多有趣與漂亮的結果。關鍵詞：蝴蝶定理；證明；推廣

45、；一 摘要蝴蝶定理最先是作為一個征求證明的問題，刊載于1815年的一份通俗雜志男士日記上。由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理內容：圓O中的弦PQ的中點M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于E，F，則M為EF之中點。關于蝴蝶定理的證明，出現過許多優美奇特的解法，并且知道現在還有很大的研究價值。其中最早的，應首推霍納在1815年所給出的證法。至于初等數學的證法，在國外資料中，一般都認為是由一位中學教師斯特溫首先提出的，它使用的是面積證法。1985年，在河南省數學教師創刊號上，杜錫錄老師以平面幾何中的名題及其妙解為題，載文向國內介紹蝴蝶定理，從此蝴蝶定理在神州大地到處

46、傳開。1作者簡介：陳富，祖籍江蘇泰州，現就讀于湖南工業大學機械工程學院機械系。2指導老師簡介：劉東南，祖籍湖南邵陽，現任湖南工業大學講師。 在20世紀20年代時，蝴蝶定理作為一道幾何題傳到我國中學數學界，嚴濟慈教授在幾何證題法中有構思奇巧的證明。如可將蝴蝶定理中的圓“壓縮變換”為橢圓，甚至變為雙曲線、拋物線、箏形、凸四邊形、兩直線，都依然成立。另外，如果將蝴蝶定理中的條件一般化，即M點不再是中點，能得到坎迪定理、若M、N點是AB的三等分點，兩次應用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。二 蝴蝶定理的證明（一）運用簡單的初中高中幾何知識的巧妙證明 蝴蝶定理經常在初中和高中的試卷中出現，于是涌現了很多

47、利用中學簡單幾何方法完成蝴蝶定理的方法。 1 帶有輔助線的常見蝴蝶定理證明 在蝴蝶定理的證明中有各種奇妙的輔助線，同時誕生了各種美妙的思想，蝴蝶定理在這些輔助線的幫助下，翩翩起舞！ 證法1 如圖2，作，則垂足分別為的中點，且由于 得共圓；共圓。則又，為的中點，從而，則 ，于是。1證法2 過作關于直線的對稱點，如圖3所示，則 聯結交圓于，則與關于對稱，即。又故四點共圓，即而 由、知，故。證法3 如圖4，設直線與交于點。對及截線，及截線分別應用梅涅勞斯定理，有 ，由上述兩式相乘，并注意到 得 化簡上式后得。22 不使用輔助線的證明方法單純的利用三角函數也可以完成蝴蝶定理的證明。證法 4 （Stev

48、en給出）如圖5，并令由，即化簡得 即 ，從而 。證法 5 令，以點為視點，對和分別應用張角定理，有上述兩式相減，得設分別為的中點，由，有于是 ，而，知，故。 （二） 運用解析幾何的知識完成蝴蝶定理的證明 在數學中用函數的方法解決幾何問題也是非常重要的方法，所以解析幾何上夜出現了許多漂亮的證明蝴蝶定理的方法，以下列出幾個例子以供參考。證法 6 （單墫教授給出）如圖6，建立直角坐標系，則圓的方程可設為。直線的方程為，直線的方程為。由于圓和兩相交直線組成了二次曲線系，其方程為令，知點和點的橫坐標滿足二次方程，由于的系數為，則兩根和之和為，即，故。5證法 7 如圖7建立平面直角坐標系，則圓的方程可寫

49、為直線、的方程可寫為,。又設的坐標為，則分別是二次方程的一根。在軸上的截距為。同理，在軸上的截距為。注意到是方程的兩根，是方程的兩根，所以，從而易得 ，即。證法 8 如圖8，以為極點，為極軸建立極坐標系。因三點共線，令，則即 作于，作于。注意到 由與可得 將代入可得，即。9校選課數學文化課程論文二 蝴蝶定理的推廣和猜想（一） 猜想 1在蝴蝶定理中, P、 Q分別是 ED、 CF和AB的交點. 如果 P、 Q分別是 CE、 DF和AB延長線的交點,我們猜想, 仍可能會有 PM = QM . 推論 1過圓的弦 AB的中點M引任意兩條弦 CD與 EF, 連結 CE、 DF并延長交 AB的延長線于 P

50、、 Q. 求證: PM = QM.證明;設AM =BM = a, PM = x,QM = y ;PM E = QM F =,PCM = DFM = ;CM E = DM F =,QDM = CEM = ;記 PM E, QM F,PMC, QMD的面積分別為 S1 , S2 , S3 , S4.則由恒等式S2·S3·S4·S1= 1知M P·M Esin MQ·M Fsin · FQ·FM sin ( - )CP·CM sin ··MCsin (+)·MD sin (+)·

51、DQ·DM sin EP·EM sin ( - )=·DQ·M P2·EP·MQ2 = 1,即 QF·QD·M P2= PC·PE·MQ2. 又由割線定理知PC·PE = PA·PB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QF·QD = QB·QA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.由于 a 0, x, y >

52、 0,所以 x = y .即 PM = QM.3（二）猜想 2在蝴蝶定理中, 顯然 OM是 AB的垂線 (O是圓心) , 那么, 我們可以猜想,如果在保持 OM AB的前提下將圓 O的弦 AB移至圓外, 仍可能會有 PM =QM .推論 2已知直線 AB與 O相離. OM AB, M 為垂足. 過 M作 O任意兩條割線 MC, M E分別交 O于 C, D和 E, F. 連結DE,FC并延長分別交 AB 于 P, Q. 求證: PM = QM.證明：過 F作 FKAB, 交直線 OM于 N,交 O于 K .連結 M K交 O于 G. 連結 GQ, GC. 由于 ON FK,故有 FN = KN

53、,從而M F =M K(因為M在 FK的垂直平分線上) .又由割線定理知M E·M F = MG·M K .因此 M E = MG. 又由 FMN = KMN, OM AB,知EM P = GMQ. 從 CQM = CFK = CGK知 CGM +CQM= 180° , 從而 G,M, Q, C四點共圓. 所以 MGQ =MCQ.又由于 M EP = DEF = DCF = MCQ, 知M EP = MGQ. 由 、 、 知 PM E QMG.所以 PM = QM.（三）猜想 3既然蝴蝶定理對于雙曲線是成立的, 而雙曲線是兩條不相交的曲線, 那么, 我們可以猜想,

54、如果把兩條不相交的曲線換成兩條不相交的直線 (也即是兩條平行線) , 仍可能會有 PM = QM .推論 3 設點 A、 B分別在兩條平行線 l 1、 l 2上,過AB的中點M任意作兩條直線 CD和 EF分別交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 連結 ED、 CF交 AB于 P、 Q. 求證: PM =QM.證明：由于 l 1 l 2 ,M 平分AB, 從而利用 MACMBD知M平分 CD, 利用 MAEMBF知 M平分 EF.在四邊形 CEDF中, 由對角線相互平分知 CEDF是平行四邊形,從而 DE CF. 又由于 M平分 EF,故利用 M EP M FQ知 PM = QM。4 結

55、 論從本質上說，蝴蝶定理實際上是射影幾何中一個定理的特殊情況，它具有多種形式的推廣：1. M，作為圓內弦是不必要的，可以移到圓外。2 .圓可以改為任意二次曲線。3. 將圓變為一個完全四角形，M為對角線交點。4. 去掉中點的條件，結論變為一個一般關于有向線段的比例式，這對2，3均成立正是由于它證法的多樣性，蝴蝶定理至今仍然被數學熱愛者研究，時有出現各種變形的題目，不僅僅是在競賽中，甚至出現在2003年的北京高考題中。但只要思想得當，證明出來也是比較自然的事。參考文獻1 沈文選.走向國際數學奧林匹克的平面幾何試題詮釋M.哈爾濱工業大學出版社,2007年1月14日。2江翔宇，蕪湖一中研究性學習課題論

56、文 J。2010年9月4號。3 朱樹海，蝴蝶定理的猜想推理推廣J ，中學數學雜志，2009年10期。 4張景中，新概念幾何M。北京: 中國少年兒童出版社,2002, 1。5單墫，平面幾何中的小花M，上海:上海教育出版社,2002,5。 校選課數學文化課程論文 薂螀膅荿蒈蝿芇薅袇螈肇莇螃螇腿蚃蠆螆節蒆薅螅莄羋袃螅肄蒄蝿襖膆芇蚅袃羋蒂薁袂羈芅蕆袁膀蒁袆袀節莃螂衿蒞蕿蚈衿肄莂薄袈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿薅蚅羅肁莈薁羄芃薄薇羃莆蒆裊羃肅艿螁羂膈蒅蚇羈芀羋薃肀羀蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁螄肈莆芄蝕肇肆薀薆肆膈莂襖肅芁薈螀肄莃莁蚆膃肅薆薂螀膅荿蒈蝿芇薅袇螈肇莇螃螇腿蚃蠆螆節蒆薅螅莄羋袃螅肄蒄蝿襖膆芇蚅袃羋蒂薁袂羈芅蕆袁

57、膀蒁袆袀節莃螂衿蒞蕿蚈衿肄莂薄袈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿薅蚅羅肁莈薁羄芃薄薇羃莆蒆裊羃肅艿螁羂膈蒅蚇羈芀羋薃肀羀蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁螄肈莆芄蝕肇肆薀薆肆膈莂襖肅芁薈螀肄莃莁蚆膃肅薆薂螀膅荿蒈蝿芇薅袇螈肇莇螃螇腿蚃蠆螆節蒆薅螅莄羋袃螅肄蒄蝿襖膆芇蚅袃羋蒂薁袂羈芅蕆袁膀蒁袆袀節莃螂衿蒞蕿蚈衿肄莂薄袈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿薅蚅羅肁莈薁羄芃薄薇羃莆蒆裊羃肅艿螁羂膈蒅蚇羈芀羋薃肀羀蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁螄肈莆芄蝕肇肆薀薆肆膈莂襖肅芁薈螀肄莃莁蚆膃肅薆薂螀膅荿蒈蝿芇薅袇螈肇莇螃螇腿蚃蠆螆節蒆薅螅莄羋袃螅肄蒄蝿襖膆芇蚅袃羋蒂薁袂羈芅蕆袁膀蒁袆袀節莃螂衿蒞蕿蚈衿肄莂薄袈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿薅蚅羅肁莈薁羄芃薄薇羃莆蒆裊羃肅艿螁羂

58、膈蒅蚇羈芀羋薃肀羀蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁螄肈莆芄蝕肇肆薀薆肆膈莂襖肅芁薈螀肄莃莁蚆膃肅薆薂螀膅荿蒈蝿芇薅袇螈肇莇螃螇腿蚃蠆螆節蒆薅螅莄羋袃螅肄蒄蝿襖膆芇蚅袃羋蒂薁袂羈芅蕆袁膀蒁袆袀節莃螂衿蒞蕿蚈衿肄莂薄袈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿薅蚅羅肁莈薁羄芃薄薇羃莆蒆裊羃肅艿螁羂膈蒅蚇羈芀羋薃肀羀蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁螄肈莆芄蝕肇肆薀薆肆膈莂襖肅芁薈螀肄莃莁蚆膃肅薆薂螀膅荿蒈蝿芇薅袇螈肇莇螃螇腿蚃蠆螆節蒆薅螅莄羋袃螅肄蒄蝿襖膆芇蚅袃羋蒂薁袂羈芅蕆袁膀蒁袆袀節莃螂衿蒞蕿蚈衿肄莂薄袈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿薅蚅羅肁莈薁羄芃薄薇羃莆蒆裊羃肅艿螁羂膈蒅蚇羈芀羋薃肀羀蒃葿聿肂芆螈肈膄蒁螄肈莆芄蝕肇肆薀薆肆膈莂襖肅芁薈螀肄莃莁蚆膃肅薆薂螀膅荿蒈蝿芇薅袇螈肇莇螃螇腿蚃蠆螆節蒆薅螅莄羋袃螅肄蒄蝿襖膆芇蚅袃羋蒂薁袂