1、目錄數列上下極限的不同定義方式及相關性質摘要 .01一、數列的上極限、下極限的定義 .011 .用“數列的聚點”來定義 .012 .用“數列的確界”來定義 023 .數列上、下極限定義的等價性 .02二、數列的上、下極限的性質及定理 .04參考文獻 .14英文摘要 .15數列上下極限的不同定義方式及相關性質摘要：數列的上、下極限的概念是極限概念的延伸， 由于它們在正項級數斂散性的判別法 中的重要作用，又成為數學分析中重要的理論部分 .本文主要討論了數列的上下極限的兩種 定義方式及其等價證明和一些相關定理 .關鍵詞：數列、上極限、下極限、聚點、函數、數列的上極限、下極限的定義關于數列的上極限、下

2、極限的定義常見的有如下兩種形式：1.用“數列的聚點”來定義定義1 若在數a的任一鄰域內都含有數列4的無限多項，則稱a為數列xn的一個聚點.例1數列( -1)n 有聚點-1與1;n 1數列sin吧有1,魚,0,叵和1五個聚點；422數列1只有一個聚點0 ;n常數列1,1川,1,1出只有一個聚點1.定義2 有界數列2的最大聚點a大與最小聚點a小分別稱為數列%的 上極限和下極限，記作例 2 而(-1)n n nFlim sinn 二=1 ,limsinn 二11lim ljm 0n” n n ： n2 .用“數列的確界”來定義定義3任給數列4 ,定義lim.Xn =lim_supxj ； lim X

3、nn- n k_nn-；二=m咽n Xk(D分別稱為數列xj的上極限和下極限.若定義1中的a可允許是非正常點 也或，則：任一點列凡至少有一個 聚點，且存在最大聚點與最小聚點.不難證明：正上（下）界點列的最大（小） 聚點為（3）.于是，無上（下）界點列有非正常上（下）極限 （）.例 3 lim (-1)n 1)n =二，lim ( -1)nn = ： ,lim( -1)nn =7 n _r二-n 1二-n )3 .數列上、下極限定義的等價性卜面我們來證明一下數列上、下極限定義的等價性，即a大=lim xn = limsup xk;n -nJ k _naJ、=lim xn = liminf xk.

4、n l ：n ； I k _n證明：如果l i m s uxp 二扣c ,由于n. k _nsup&關于n單調遞減，所以 k_nsupxk = f , Vn N .于是，可取 k nn1w（自然數）s.t x 1,又可取出正,n1n2ni,s.tx, 2,HI,所以，得到數列2的子列xJt y（kT.這就證明了此為數列的聚點，且為最大聚點a大.由此可得a大二lim xn =二=lim supxk；nn- k_n如果 limsup xk lim %,易見，9,十 ）中最多含有數列kn中的有限多項.n：.因此，：3Nw山當kAN時，有XkN時，有supxk y,k _n由此可得limsup xk

5、_ y.n knn 推出lim supxk 可證得如果 lim inf xk二oOa小=lim xn = liminf xk.,由于inf xk關于n單調遞減，所以infxk = k _nk n對Vn A N .于是，可取自然數n1使得xM n1使得 xn2 ,則n j 二二 k _nlim inf xk=或實數.n j 二二 k _n設a數列%的任一聚點,則必有xn的子列，xn t a(iT).任意的n是自然數當i nBt,ni至i之n,有xnk - inf xja 二 im xni - inf xk所以，數列xn的最小聚點滿足lim xn - lim inf xk.n - n j ： .

6、k vn另一方面，對任意的y至則Xn易見，（-g,y中最多含有數列%中的有限 n_:;多項.因此，存在N是自然數當kN時，有Xk y ,從而，當nN時，有l(wèi)imJnfxk . y.n J . k v.nlim inf xk - lim xn.n - k -nn_:由此可得令 yT lJmxn -，推出n_：二綜合上述，有a小=lim xn = lim inf xk.n - - nj-k .-n卜面進一步給出和數列上，下極限定義有關的性質及定理、數列的上、下極限的性質及定理設有數列4與數列%,則數列的上、下極限有以下性質性質1lim xn - lim xn: n r二 n TV：(2)性質 2

7、lim xn = A：= lim xn = lim xn = A nnn 比例4用上下極限理論證明：若xn是有界發(fā)散數列，則存在xn的兩個子 列收斂于兩個不同的極限.證明：因為數列發(fā)散的充要條件是lim- xn ljm xn ,于是存在4的兩個子 n-n 二列Qnk Mx nk ,使nim/nk =*%，%x nk =嗎*n ,即存在X的兩個子列收斂于不同的極限.性質3 （保不等式性質）設有界數列%, 滿足：存在No 0 ,當n No時有xnyn ,則nHm：Xnim：yn；lim xn 三 lim yn;特別，若口邛為常數，又存在N0 0 ,當n a N0時有a W an E P ,則性質4

8、(3)設 Xn 0, yn 之0,(n =1,2,|),則UmXn Umyn 0 ,則yn中有無窮多項大于零，作新序列 n一yn+=maXyn,0=yn,當 yn 0寸0,當yn E0時則yn + 0,且lim yn = lim yn +,又應用(4)有n j ： .n .：lim. Xnnj 二 十 三 lim xn y lim xnn j二 n n n nnlim： ynn1mxn故上式表明limn ,:二十Xnyn=lim Xn lim y = limn j ,二二nn .因Ln 收斂,所以所以2、 + + n吼人外=( %yn)因 之 0n1mx0小1mxnn”若l*yn =- ，在限

9、制條件下，lim Xn 0 ,因此n充分大時有 nn ,Xn 0,這時等式明顯成立3、若0 ,使得l i myn(+C ), 0n 1二二如此應用1、的結果,n吼Xn(yn+C)=nXn 懼”C)再根據(3),此即從而lim xnynlim xn C = lim xn lim yn - lim xn Cn .n 二n 二 n 二 n ,埋yn，證畢.性質5在不發(fā)生()+( :g)情況下，有如下不等式成立:1、 lim xnlim yn lim (xnyn) lim xnlim ynnj nnn nnn nn E - n j ： .n ：:n j ： . n：2、皿 4 皿 yn ：ni ;nl

10、imxn Tn)；2：、1mxn ,呵%=3例6證明：若%收斂，則對任意yn(n=1,2,川)，有nlimXn外)7，nlim證：我們已有+則yn 唬(A +丫0)幽4 +/2n - - n j- -nj-nj_- nj-注意xn收斂，因止匕血xnn ,7mxn/所以上式即為lim xnlim ynL： nn j二”-Lma十外圾一，區(qū)yn即成立.例7證明：(1)Urnxn血 yn M 回 xnyn) (2)lim xnlim yn 三 lim (xnyn)0 ,數列xn中至多只有N項大于a + w ,而有窮項小于即對 -xn,至多有N項小于-a - s ,而有窮項大于-a + w ,所以依下

11、極限定義，有l(wèi)im( -xn) = -a ,即 lim_( -xn)=n ： ：n l ：則 xn = a ,血 yn = b ,但 xn一 lim xn.nyn) =a b用反證法，設c ： a b ,依下極限定義,Vs 0 ,三N ,當n N時，有xn + yn c +名不妨設則當n a N時,xn- yn : c a b -又有依下極限定義,由此推出矛盾,則當 nN1時，xnca,當 nN2 時 ynb,故 a b 0 ,則-1,lim xn lim - =1 ; n-Tn一： xn,一，一、一一一. 一 一 1例 7 證：右 an 0,（n =1,2,|）且 n%an -=1 ,則數列

12、an收斂.證明：若lim a1n =o ,則三子歹Iank , lim an = 0 ,于是有l(wèi)im 一 =也， k：.kkr二 a這與n吼% n也取:1相矛盾，這樣應當有照% 0，然后用上下極限等價定義來證明.性質8當XnT a ,且Xn之0,則下式右端有意義（不是0皿型）時，有血 Xnyn -alim yn；n辛二吼 Xnyn=a%yn.首先設證明：以第二式為例給出證明nyn=b,0.其中b為有限數或yZn 二yn,當 yn 0;0,當 yn M0.由Xn 0,Zn之。得也就是代回到Yn就得到lim zn 二 lim yn =b;n /：- n n ）lim xnzn = lim xn y

13、n.n J : .n J.lim xn lim zn lim xnzn lim xn lim z n 二 nn二 n 二a lim zn lim xnzn 0）,就可得證.最后nN 一，這時即Yn T,且a #0 （否則出現0 E型），顯然xnyn T.卜面定理指出，對一切數列4的上、下極限必存在（包括 主毛定理1 （1）有界數列%至少有一個聚點，存在最大聚點與最小聚點，且這兩個聚點都為實數，它們分別為上極限lim xn與下極限則x n-“n.：（2）如果數列2 無上界，則埋/n =收，止匕時F為數列kn 的最大聚點;如果數列xn有上界b 若Va b, Ia,b】中含有數列 GJ的有限項，則l

14、imxn =-00 =理平，此時n1mxi 一二;lim yn =b 0（ b為有限數）n_： 若三aa, bbl中含有數列xn的有限項，則lim_xn =y=lim xn,此時 nr：n二lim xn -:; n ,二 若三ba,la,b中含有數列4的無限項，則數列4以實數為最小聚點，它就是皿xn.n-：二證明：(1)因數列xn有界，令xn |n w |_1 1u I-M , M 1= a1,b11將司.】兩等分，則必有一等分含數列xn)的無限多項，記此區(qū)間為Ia2,b2，則由k b2，b2,1 . 一b2 a2 = 2 (bl ai )= M ；再將屋由2】兩等分，則必有一等分含數列4的無

15、限多項，記此區(qū)間為Lh 1 則、,b2H Am,且-1 -b3 - a3 = bz - a? i -2如此下去得到一個遞降閉區(qū)間套：bk -ak =梟-* 0(kT ),且每個閉區(qū)間bk，bk】都含有數列4的無限多項.O0由閉區(qū)間套定理知，可設n除對。的任何開領域 U , 30,s.tkdB(xo；名)=(x +町 UU , WJ三 NL , 當 k AN 時，ak ,bk u (x-苒x +町u U ,從而U中含有數列(xn)的無限多項，所以為數列 4 的聚點.至于最大聚點的存在性，只需在上述證明過程中，當每次將區(qū)間bk,d等 分為兩個區(qū)間時，若右邊一個含數列的無限多項，將它取為ak,bk；

16、若右邊一個 含數列的有限項，則取左邊的子區(qū)間為 Iak，bJ.于是，所選 Ah】都含有數列%的無限多項，同時在 瓦力京的右邊都至多含有數列的有限項，其中11bk - ak = （bkak）=111 = 2kbl - ai L 0（k-：1）qQ再根據閉區(qū)間套定理知，Ixo . Qk,bk 1.下證Xo為數列xn的最大聚點.（反證）若不然，設另有數列2的聚點Xo A Xo,令6 = 1（x0 -Xo） A 0,則3有B（x；;6）=（x； -3x；+6）內都含有數列xj的無限多項，但當k充分大時，B（Xo；6） =（Xo -Xo+6）完全落在bk,bk的右邊，這與上述 以也】的右邊都至多含有數列

17、xn的有限項矛盾.類似可證最小聚點的存在性，或用-xn代替xn.（2） 如果數列xn無上界，貝U xn必有子列（xn , st nlimxnk =收，因此，依 為數列。的最大聚點，從而酗xn =.如果數列4有上界b 若Vacb,Ia,b中含有數列xn的有限項，則根據極限為 的定義可知，lim xn = -0 = lim xn ;n_n若5a N umaXln/Hnk/時，有 Xn w u ,這就證明了 lim Xn =a. n j ：.定理3 設%為有界數列，則下列結論等價：（1） a大為數列kJ的上極限；（2） Vwa0,：3N ws.t當n aN時，有Xn a大一露 Vk;（3） Vaa大

18、，數列%中大于a的項至多有限個;Vb a ,數列fxJ中大 于b的項有無限多個.證明：（1）=：因a大為數列小的聚點，故五下0,在（a大；Q= （a大-鞏a大+&內含有數列 xn）的無限多項&nk |n川,則有*口了2大-, Vke L .又因a大為數列板的最大聚點，故在a大十名的右邊至多只含有數列4的 有限多項（否則必有數列kJ的聚點之a大+君，這與a大為數列凡的最大聚點相 矛盾）.設此有限項的最大指標為N ,則當n a N時，有& a大，令& =aa大,由（2）知，3N = ,當nN時，有 a大十名 =a大+（a-a大）=a .故數列xn中大于a的項至多有限個.Vb a大-& =b, vk

19、w|_ ,故數列Xn中大于b的項有無限多個.（3）= （1）：設U為a大的任一開鄰域，貝U三名A0,s.tB（a大；名）=（a大以a大十名）uU.由于 a =a大十w a a大，根據（3）, xn中大于a = a大-w有無限多項.因此（a大/a大十 8）中含有數列4的無限項，從而U中含有數列2的無限項，這就證明了 a大 為數列4的一個聚點.另一方面，Va a a大，記名= ：（a a大）.由（3）知，數列乂/中大于a大+鞏 a大） 的項至多有限個.故a不為數列%的一個聚點，這就證明了 a大為數列xn的最 大聚點，即a大為數列4的上極限.定理4 設2為有界數列，則下列結論等價：（1） a小為數列

20、4的下極限；（2） V 0, 3N eU , s.t當n a N時，有Xn a小一名；且存在子列4卜 , s.tXnk a小 + 苒 Vk w|_ ；（3） Vb a小，數列kJ中小于b的項至多有限個；Va：、，數列kJ中 小于a的項有無限多個.證明：類似定理3證明，或用xj代替xj.從一些性質和定理的證明可以看出有些步驟用到數列上， 下極限定義方面的 證明過程.此外，關于不同對象的上、下極限的定義，本質上都起源于數列的上、 下極限定義，比如，集合列的上，下限極等，在此就不做介紹了 .參考文獻：1 華東師范大學數學系編.數學分析（上冊）.北京：高等教育出版社，20012 復旦大學數學系陳傳璋等

21、編.數學分析（下冊）.北京：高等教育出版，19793 李成章，黃玉民編.數學分析（上冊）.科學出版社，19984 程其曩.實變函數與泛函分析基礎M .2版.北京：高等教育出版社，20035 朱成熹.近世實分析基礎M.天津：南開大學出版社，19936 匡繼昌.實分析與泛函分析M.北京：高等教育出版社，20027 薛昌興.實變函數與泛函分析：上M.北京：高等教育出版社，19978 裴禮文.數學分析中的典型問題與方法.北京：高等教育出版社，19939 吳良森，毛羽輝著.數學分析學習指導書（上冊）.北京：高等教育出版社，200410胡適耕，張顯文著.數學分析原理與方法.北京：科學出版社，200811陳紀修，於崇華著.數學分析第二版（下冊