1、2016-2017第二學(xué)期彈性力學(xué)考試答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)概念問答題1、以應(yīng)力作未知量，應(yīng)滿足什么方程及什么邊界條件？答：以應(yīng)力作為未知量應(yīng)滿足平衡微分方程、相容方程及邊界條件。（5分）2、平面問題的未知量有哪些？方程有哪些？答：平面問題有 4、必、0y、取、與、Zy、U、V八個(gè)，方程有兩個(gè)平衡方程，三個(gè)幾何方程，三個(gè)物理方程。（5分）3、已知仃x=200Pa , by=100Pa, %y = 50Pa 及%=100Pa ,仃 = 300Pa, TrQ = -100Pa ,試元體畫出應(yīng)力狀態(tài)圖。4、簡(jiǎn)述圣維南原理。:如果把物體的一小部分邊界上 的面力，變換為分布不同但靜力 等效的面力（主矢量相同，對(duì)

2、同那么，近處的應(yīng)力分量將有顯一點(diǎn)的主矩也相同）著的改變，但遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。（5分）5、簡(jiǎn)述應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的物理意義。答： 形變協(xié)調(diào)條件是位移連續(xù)性的必然結(jié)果。 連續(xù)體一位移連續(xù)一幾何方程一形變協(xié)調(diào)條件。（2分）形變協(xié)調(diào)條件是與形變對(duì)應(yīng)的位移存在且連續(xù)的必要條件。形變協(xié)調(diào)一對(duì)應(yīng)的位移存在一位移必然連續(xù);形變不協(xié)調(diào)一對(duì)應(yīng)的位移不存在一不是物體實(shí)際存在的形變一微分體變形后不保持連續(xù)。（3分）6、剛體位移相應(yīng)于什么應(yīng)變狀態(tài)。答：剛體位移相應(yīng)于零應(yīng)變狀態(tài)，對(duì)平面問題為Sx= Sy= ay=0（ 5 分）7、簡(jiǎn)述最小勢(shì)能原理，該原理等價(jià)于彈性力學(xué)的哪些基本方程？答：由位移變分方程可得U U 一 JJ

3、J（Xu+Yv + Zw jdxdydzJJ（Xu+Yv + Zw ）dS= 0 或6n =0其中口為物體得總勢(shì)能（形變勢(shì)能和外力勢(shì)能在之和），6口 =0稱為最小勢(shì)能原理，它表明物體處于平衡位置時(shí)，總勢(shì)能的一階變分為零。可以證明：在線彈性體中，6=2B1 +12x2 , x口0,即在所有幾何可能的位移中，實(shí)際的位移使總勢(shì)能取最小值。最小勢(shì)能原理等價(jià)于平衡微分方程和靜力邊界條件。（5分）二、已知下述應(yīng)變狀態(tài)是物體變形時(shí)產(chǎn)生的，試求各系數(shù)之間應(yīng)滿足的關(guān)系（5分）答：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變相容條件，即（2分）由題中給出的應(yīng)變可得:二2xy =3C1x2 3C1y2 C1C2x y_2 _2

4、222A 12y2B 12x =3C1x 3cly C1C2C2sx2T=2 12y2, y則由相容條件可得:：2 ；y2上式對(duì)任意x, y均成立，則有:12-3C12A 2B ;C1C2C =4A A =2C2（3分）三、試寫出圖中所示各邊的精確邊界條件， 圖中s、q均為均勻分布荷載，AF為固定邊界。（15分）解：AF 邊：u=0, v=0（2 分）AB 邊：5=0, iXy=0（2 分）EF 邊：丐=0, %=0（2 分）BC邊： （4分）,2.-2l =-sin a = , m = -cosa =- 22CD邊：（2分）DE邊：（3分）l 一二，m =cos二二二 22四、對(duì)于圖中所示結(jié)

5、構(gòu)，l遠(yuǎn)大于h,已知M是集中彎矩，q為均勻分布荷載，試證明它是圣維南條件下的解。（15）解：（1）（2）- xy空:x _:y（3分）（3）邊界條件左側(cè)y = h2CTy = 0= 成立xy+-=0 （2 分）右側(cè)：y =by =0= 成立xy113=-q= -ql4 2 4=-q成立 （2分）頂部x = 0, h二 xdy = 0,E 等ydy=0 ,積分后為偶數(shù)，故為0（2分）至h°'h2h -q-211 _y +3y2h h2dy可223、y_y_y_ _242h h jh=2q：H）=0' 成立（2 分）24My33一 hh2_ h2=M ,成立 （3分）五、

6、試按逆解法推導(dǎo)軸對(duì)稱問題的應(yīng)力解和位移解。（15 分）解：應(yīng)力數(shù)值軸對(duì)稱一僅為P的函數(shù)，應(yīng)力方向軸對(duì)稱 =0相應(yīng)的應(yīng)力函數(shù) 中=（p）,應(yīng)力分量:d2"dp2（a）（3 分）驗(yàn)證相容方程：V45=0 ,這里中顯然滿足。（1分） 應(yīng)力分量：（1）相容方程其中:相容方程成為常微分方程，積分四次得的通解，（c）（3 分）22= Aln p + B p ln p+C p +D 應(yīng)力通解：將式（c）代入式（a）,bp = + B(1 + 2ln P)+2C,A一“=-五+ B(3+2ln P)+2C,(d)(3 分)e仲=。 應(yīng)變通解：將應(yīng)力(d)代入物理方程，得對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量的通解。應(yīng)變&#

7、163;pi,為小 也為軸對(duì)稱。(4)求對(duì)應(yīng)的位移：將應(yīng)變代入幾何方程，對(duì)應(yīng)第一、二式分別積分，將Up,現(xiàn)代入第三式，分開變量，兩邊均應(yīng)等于同一常量 F, fi( p) pdf dfLLl.If ( d(b=F, (3 分)d p d()即得兩個(gè)常微分方程，代入U(xiǎn)p'U ,得軸對(duì)稱應(yīng)力對(duì)應(yīng)的位移通解，1 一 A 一 一 一一 一“u p= -(1 + )- +2(1 - )BP(ln P-1) + (1-3)BPE ，二一、+ 2(1 N)C P + I cosO+K sin屯卜(e)(3 分)4B 廣工au6 =街 +H P-1 sin e + K cos九 E其中I, K一為x、y

8、向的剛體平移，H 一為繞o點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角度。六、一端固定、另一端彈性支撐的梁，其跨度為 1,抗彎剛度EI為常數(shù)，彈簧系數(shù)為k,承受分布 荷載q(x)的作用(如圖所示)。試用位移變分方程(或最小勢(shì)能原理)導(dǎo)出該梁以撓度形式表示的 平衡微分方程和靜力邊界條件(15分) 解：用位移變分方程推導(dǎo)(1)梁內(nèi)總應(yīng)變能的改變?yōu)?U=”fEJ.2dx = EJIJ2vI 9 2 J1Idx ) <dx )(1分)(2)外力總虛功為llEJ0J d 2v.口 ，2 -2 dx = J q(x Avdx-kMv I* J <dx J 0d2vT (a)(1 分)oq x、vdx-RA、v A = o q x、vdx-k v、v慮(1分)(3)由位移變分方程得對(duì)上式左端運(yùn)用分部積分得代入（a）式，經(jīng)整理得d v r idv d v-EJ 1 6 It I dx(dx J dx、.VIxR+1EJ 當(dāng)也)+kv - EJ-dx1dx)、d3v dx36Vx-L1 EJd4v0 IIdx4(b)(3 分)由于變分6V的任意性，式（b）成立的條件為(c)d4vEJ 4 -q x =0dxd2vj dv d v I 2 . 13，dx (dx J dxv(d)+ kv -EJJx-0O（4）式（c）就是以撓度v表示的平衡微分方程。下面討論邊界條件