1、測量的不確定度與數據處理劉玉金測量、測量誤差與誤差處理1. 測量與測量誤差1）直接測量與間接測量 直接測量：是用能直接讀出被測值的儀器進行測量的方法。 間接測量：是先用直接測量的方法測出幾個物理量，然后代入公式計算得到所需 物理量。2）等精度測量和不等精度測量 等精度測量：對某一物理量進行多次測量時，如果測量條件保持不變（同一的測 量者、儀器、方法及相同的外部環境） ，這樣進行的重復測量稱為等精度測量。不等精度測量：如果測量條件中，一個或幾個發生了變化，這時所進行的測量稱 為不等精度測量。3）測量誤差 真值：在一定條件下，任何待測物理量都是客觀存在的，不依人的意志為轉移的 確定值。測量誤差：測

2、量結果與真值之間的差值。它反映了測量結果的準確程度，可用絕 對誤差表示，也可用相對誤差表示：絕對誤差 =測量結果 -被測量的真值相對誤差 E絕對誤差被測量真值2. 誤差分類1）系統誤差系統誤差總是使測量結果向一個方向偏離， 其數值是一定的或以可預知的方式變 化的。它來源于儀器本身的缺陷，或來源于理論公式和測量方法的近似性。消除和糾 正系統誤差的方法是對儀器進行校正，修正實驗方法，或在計算公式中引入修正項。2）隨機誤差由于隨機的或不確定的因素所引起的每一次測量值無規律的漲落而造成的誤差。 它服從一定的統計分布規律，常見的一般性測量中，基本上屬于正態分布，因此可用 統計的方法處理隨機誤差。3. 隨

3、機誤差的處理方法1) 隨機誤差的正態分布2) 殘差、偏差和誤差 殘差為單次測量值 xi 與有限次測量平均值 x之差。即x xi x (i=1,2, ,n)偏差為單次測量值 xi 與總體平均值 之差。注意，偏差即為隨機誤差，系統誤差 為 0 時，偏差才是誤差。誤差為單次測量值 xi 與被測量真值 x0 之差。3) ，S， Sx(1)總體標準偏差n2xilimni1n2)有限次測量時的單次測量值標準差 Sn2xi xS i 1n13)x 的標準偏差 SxSxSnnn2xi xi1n n 1測量的不確定度1. 不確定度1) 不確定度是指由于測量誤差的存在而對測量值不能肯定的程度，是表征被測 量的真值

4、所處的量值范圍的評定。3) 不確定度與誤差的關系 不確定度和誤差是兩個不同的概念，前者實在后者理論基礎上發展起來的，它們 都是由于測量過程的不完善性引起的。誤差用于定性地描述理論和概念的場合，不確 定的用于給出具體數值或進行定量運算分析的場合。2. 直接測量結果不確定度的估計直接測量結果總不確定度表示為22AB1) A 類不確定度當進行有限次測量時，A 類不確定度的表達式為nt2式中 t n 1 是與測量次數 n，置信度 1 有關的量，可以從表 中查得2在要求精度不高的情況下，當 6n10 時當 n 不在上述范圍內時或要求精度誤差估計時，應查表得到相應的值。3) B 類不確定度 BB 類不確定

5、度 B 分量的誤差與不確定度的系統誤差相對應。一般由儀器誤差來 代替。常用儀器的誤差或誤差限值由生產廠家或實驗室給出。即B儀4) 總不確定度的合成當測量次數 n 符合 6n10 條件時，簡化為Sx2 2儀1當S 31 儀 ，或 A對測量結果影響甚小， 或只進行了一次測量， 3表示。3. 間接測量結果不確定度的估計 設間接測量所用的數學表達式為f x, y, z,可簡單地用 儀式中 為間接測量結果， x,y,z, 為直接測量結果， 且它們相互獨立。 x, y, z, 的不確定度(分別為xyz)必然影響間接測量結果，使 也有相應的不確定度不確定度是微小量，相當于數學中的“增量” ，所以間接測量結果

6、不確定度的計算公式和數學中的全微分公式基本相同。不同之處在于不確定度x, y, z , 替代了 dx， dy，dz，以及不確定度用“方和根”合成的統計性質。即間接測量結果的表示方法為E10000. 數據處理1. 測量結果的有效數字1) 有效數字的定義測量結果的若干位準確數字和最后一位存疑數字的全體稱為有效數字。 有效數字 位數的多少，反映了測量結果的準確度，位數越多，準確度越高。測量結果取幾位有 效數字是件嚴肅的事，不可任意取舍。有效數字與小數點的位置無關，單位換算時， 有效數字的位數不應發生變化。還應注意，表示小數點位置的“0”不是有效數字，數字中間或數字后面的零是有效數字，不能任意增減。2

7、) 有效數字的表示 有效數字的末尾為估讀數字，存在不確定性，當規定不確定度的有效數字只取一 位時，測量結果最后一位應與不確定度所在的那一位對齊。如 V=±cm3 中，測量值末 位應于不確定度的“ 8”對齊。例 1 2.34cm=0.0234m 是正確的，但變為 2.34cm=2340m 是錯誤的，應記為× 10-4m。例 2 某人測得真空中的光速為 299700km/s，不確定度為 300km/s ，若記為 (299700± 300)km/s 是不正確的，應寫為± × 10-5km/s。3) 有效數字的運算規則(1) 加減運算設 x y z ，

8、各分 量不 確 定度為 x, y, z, 。 先計 算不 確定度2 2 2xyz，計算過程中取兩位，最后取一位，再計算，其中各分量x,y,z, 位數取到和不確定度所在位相同或比不確定度所在位低一位，最后用不確定度決定最后結果的有效數字若未標明 x , y , z , ，運算中以各分量中估計位最高的為準，其它各分量運算 過程中保留到它下一位，最后對齊。例71.3 0.753 6.262 271顯然以 271 為準，其余比它多保留一位71.3 0.8 6.3 271347.8最后與 271 取齊，即 348。（2） 乘除運算設 xyz ，個分量不確定度為yz以有效數字最少的分量為準，其它各分量的有

9、效數字取到比它多一位，計算，結果也暫多保留一位，在計算不確定度，由不確定度決定最后結果有效數字的為數。xyz在未標明不確定度 x, y , z, 時，最后結果在最保險情況下可取到比上述最少位數的分量多一位，如計算39.5 4.08437 0.0065867.8式中有效數字位數最少只有 2 位，運算中期于分量取 3位，結果也可取三位，即39.5 4.08 0.00651.21 10 3868(3) 函數運算 設 f x, y, z,求 ln x 。 由于直接測量值0.1，所以在直接測量值標明不確定度時，先用微分方法寫出該函數的不確定度公式，再將 直接測量值不確定度代入公式，確定函數有效數字的位數

10、。若直接測量值未標明不確 定度，則在直接測量值的最后一位數上取 1作為不確定度代入公式。 如測得 x 25.4，x 25.4 未標明不確定度，應在最后一位上取 1 作為不確定度，即ln x 0.004 。因此 ln x小數點后應保留至第三位，即ln x ln 25.4 3.235在計算中，若有物理常數（如 c，h 等）和純數學數字（如 ，e， 2 等）參與運算，它們不影響運算結果中有效數字的位數(4) 數值舍入規則一般遵循“四舍六入五湊偶”的規則。 “五湊偶”是若擬舍數字部分最左一位的 數字為 5，當 5 后邊為非 0 數字時，則進一，即保留數字末尾加 1；當 5 后邊無數字 或全為 0 時，

11、則保留數字末尾為奇數則進一，為偶數或 0 則舍棄。2.數據處理1) 列表法 在記錄和處理數據時，將數據列成表格。有時也可以把運算的主要過程列出。列 表的主要要求是簡單明了，便于看出有關量之間的關系，便于數據處理。必須交代清 楚表中各符號所表示的物理量意義，并寫明單位，表中的數據要正確反映測量結果的 有效數字，寫明表的標題或加上必要的說明。2) 作圖法 應以橫坐標為自變量，縱坐標為應變量，標出坐標軸的方向并真眼、注明所代表 的物理量和單位，可靠數據在圖中應為可靠，不可靠的數在圖中應估計。連接不一定 要通過所有的點，而要使所有的點分布在曲線的兩側。3) 逐差法(適用于等間隔線性變化實驗的測量)例：

12、測量彈簧的倔強系數 k 時，先測出彈簧的自然長度 L0，然后依次在彈簧下端 的小鉤上加，的砝碼，彈簧長度依次為 L1，L2， L7 ，對應于砝碼的彈簧相應的 伸長為： L1 L1 L0， L2 L2 L1， L7 L7 L6 。其平均伸長量為L1L27L7L1 L0L2 L17L7 L6L7 L07由此可以看出，在多次測量過程中，只有兩次測量值參與了運算，其它測量值并 沒有起到減小偶然誤差的作用。因此，只要在測量列中適當采取變化，就能使各次測 量值都參與運算。具體做法是：將測量列分成兩組，一組為： L0， L1，L2，L3，另一組 為 L4，L5，L6， L7。取對應的差值(稱為逐差)L1 L4 L0L2 L5 L1L3 L6 L2L4 L7 L3再取平均值4i1Li14 L4 L0L 5 L1L 6 L2L 7 L3這時， L 便是每增加時彈簧的伸長，所有的測量值都參與了運算，達到增加測 量次數，消除偶然誤差的目的。4）回歸法 回歸法也是利用實驗所測得的數據組，用數學形式模擬物理模型，通過測量的數 據組變化趨勢推測出函數形式。以下是用最小二乘法回歸直線問題。若一組數據存在線性關系，于是有如下形式：Y AX B 如何確定 A、B 常數呢