1、倍長中線與截長補短法輔助線一般作法三角形三角形 圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 也可將圖對折看，對稱以后關系現。也可將圖對折看，對稱以后關系現。 角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線平行線，等腰三角形來添。 角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線加垂線，三線合一試試看。 線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段垂直平分線，常向兩端把線連。 要證線段倍與半，延長縮短可試驗。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。 三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中兩中點，連接則成中位線。 三角形中有中線，延長中線等中線。三角形中有中線，延長中線等中線。 例1：ABC中，AB=5

2、，AC=3，求中線AD的取值范圍 提示：畫出圖形，倍長中線AD，利用三角形兩邊之和大于第三邊 例2：已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE 方法1：過D作DGAE交BC于G， 方法2：過E作EGAB交BC的延長線于G， 方法3：過D作DGBC于G，過E作EHBC的延長線于H?F?E?C?A?B?D 例3：已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF 提示：倍長AD至G，連接BG， 證明BDG CDA ?三角形BEG是等腰三角形?F?E?D?A?B?C 例4：已知：如圖

3、，在中，D、E在BC上，且DE=EC，過D作交AE于點F，DF=AC. 求證：AE平分BAC 提示： 方法1：倍長AE至G，連結DG 方法2：倍長FE至H，連結CHBACBAC?第?1?題圖?A?B?F?D?E?C在三角形中線時，常廷長加倍中線，構造全等三角形。在三角形中線時，常廷長加倍中線，構造全等三角形。例如：如圖例如：如圖5-1：AD為為 ABC的中線，求證：的中線，求證：AB+AC2AD分析：要證分析：要證AB+AC2AD，由圖想到：由圖想到： AB+BDAD,AC+CDAD，所以有所以有AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD，左邊比要證結論多左邊比要證結論多BD+CD，故不能

4、直接證出此題，故不能直接證出此題，而由而由2AD想到要構造想到要構造2AD，即加倍中線，即加倍中線，把所要證的線段轉移到同一個三角形中去把所要證的線段轉移到同一個三角形中去 證明：延長證明：延長AD至至E，使，使DE=AD，連接，連接BE，CE AD為為ABC的中線的中線 （已知）（已知） BD=CD （中線定義）（中線定義） 在在ACD和和EBD中中 BD=CD （已證）（已證） 1=2 （對頂角相等）（對頂角相等） AD=ED （輔助線作法）（輔助線作法） ACD EBD （SAS） BE=CA（全等三角形對應邊相等）（全等三角形對應邊相等） 在在ABE中有：中有：AB+BEAE（三角形兩

5、邊之和大（三角形兩邊之和大于第三邊）于第三邊） AB+AC2AD。（常延長中線加倍，構造全等三角形）（常延長中線加倍，構造全等三角形）練習 已知ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，?求證EF=2AD。? ABCDEF25 -圖二、截長補短法作輔助線?要證明兩條線段之和等于第三條線段，可以采取“截長補短”法。?截長法即在較長線段上截取一段等于兩較短線段中的一條，再證剩下的一段等于另一段較短線段。?所謂補短，即把兩短線段補成一條，再證它與長線段相等。讓我們來大顯身手吧！例如：已知如圖6-1：在ABC中，ABAC，1=2，P為AD上任一點?求

6、證：AB-ACPB-PC。?要證：AB-ACPB-PC，想到利用三角形三邊關系定理證明。因為欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構造第三邊AB-AC故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN再連接PN，則PC=PN，又在PNB中，PB-PNPB-PC。思路導航證明：（截長法）在證明：（截長法）在AB上截取上截取AN=AC連接連接PN 在在APN和和APC中中 AN=AC（輔助線作法）（輔助線作法） 1=2 （已知）（已知） AP=AP （公共邊）（公共邊） APN APC （SAS）PC=PN （全等三角形對應邊相等）（全等三角形對應邊相等） 在在BPN中，有中，有 PB-P

7、NBN （三角形兩邊之差小于第（三角形兩邊之差小于第三邊）三邊） BP-PCPM-PC(三角形兩邊之差小于第三邊三角形兩邊之差小于第三邊) AB-ACPB-PC。 在在?ABC中，中，ACB=90，AC=BC,直線直線MN經過點經過點C，且且ADMN于于D，BEMN于于E。求證：求證：DE=AD+BE證明：證明：213?1+3=90.?1+2=90. 2=3.ADC= CEB ADC CEB AD=CE,CD=BE?DE=AD+BE?ACB=90?，BEMN，ADMN,?ADC= CEB=90.在在?ADC和和CEB中中,AC=BC2=3?DE=CE+CD例例題題講講解解1.在在ABC中中,

8、B2C, AD平分平分BAC.求證：求證：AB+BD=ACABCDE證明：證明：在在AC上截取上截取A E=AB，連結，連結D E AD平分平分BAC 12, 在在ABD和和 AED中中12A B=AEA D=AD ABD AEDBD=DE, B3 3= 4+ C B2C 3=2C 2C = 4+ CDE=CEBD=CEAE+EC=AC AB+BD=AC1234 C 4截長法截長法例例題題講講解解在在ABC中中, B2C, AD平分平分BAC.求證：求證：AB+BD=ACABCDE在在AB的延長線截取的延長線截取B E=BD，連結連結D E.證明：證明：補短法補短法在射線在射線 AB截取截取B

9、 E=BD，連結連結D E. 截長法與補短法，具體做法是在某條截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長使之與特定線段相等，是將某條線段延長使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明再利用三角形全等的有關性質加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目分等類的題目?如圖，如圖，ADBC，AE, BE分別平分分別平分DAB,CBA， CD經過點經過點E，求證：求證：ABAD+BC E D C B A練習練習 在等邊在等邊ABC的兩邊的兩邊AB、AC所在直線

10、上所在直線上分別有兩點分別有兩點M、N，D為為ABC外一點，且外一點，且MDN=60, BDC=120, BD=DC. 探究：當探究：當M、N分別在直線分別在直線AB、AC上移動時，上移動時，BM、NC、MN之間的數量關系之間的數量關系. 如圖如圖1，當點，當點M、N邊邊AB、AC上，且上，且DM=DN時，時，BM、NC、MN之間的數量關系是之間的數量關系是?ABCDMN思考題思考題 在等邊在等邊ABC的兩邊的兩邊AB、AC所在直線上所在直線上分別有兩點分別有兩點M、N，D為為ABC外一點，且外一點，且MDN=60, BDC=120, BD=DC. 探究：當探究：當M、N分別在直線分別在直線AB、AC上移動時，上移動時，BM、NC、MN之間的數量關系之間的數量關系. 如圖如圖2，點，點M、N邊邊AB、AC上，且上，且當當DMDN時，猜想（時，猜想（I）的結論還成立嗎