1、專題學習專題學習 -幾何證明中常見幾何證明中常見 “ “添添輔助線輔助線”方法方法 1.1.連結連結目的目的: :構造構造全等三角形全等三角形或或等腰三角形等腰三角形適用情況適用情況: :圖中已經圖中已經存在兩個點存在兩個點A A和和B B語言描述語言描述: :連結連結ABAB注意點注意點: :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過程中描述添法在證明過程中描述添法1.1.連結連結典例典例1: 1:如圖如圖,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求證求證:B=D.:B=D.ACBD1. 1.連結連結ACAC, ,構造全等三角形構造全等三角形. .1.1.連結連結典例典例2:

2、2:如圖如圖,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求證求證: :點點M M是是CDCD的中點的中點. .ACBD連結連結ACAC、ADAD構造全等三角形構造全等三角形EM1.1.連結連結典例典例3: 3:如圖如圖,AB=AC,BD=CD, M,AB=AC,BD=CD, M、N N分別是分別是BDBD、CDCD的中點，求證：的中點，求證：AMBAMB ANCANCACBD連結連結ADAD構造全等三角形構造全等三角形NM目的目的: :構造構造直角三角形直角三角形, ,得到得到距離相等距離相等適用情況適用情況: :圖中已經圖中已經存在一個點存在一

3、個點X X和和一條線一條線MNMN語言描述語言描述: :過點過點X X作作XYXYMNMN注意點注意點: :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過程中描述添法在證明過程中描述添法2. 2.角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作垂線段2.2.角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作垂線段典例典例4: 4:如圖如圖, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6, AD AD平分平分BAC,BAC,求點求點D D到到ABAB的距離的距離. .ACD過點過點D D作作DEAB,DEAB,垂足為垂足為E E 構造了構造了 全等

4、的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BE2.2.角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作垂線段典例典例5: 5:如圖如圖, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,AC=BC,AC=BC, AD AD平分平分BAC,BAC,求證求證:AB=AC+DC.:AB=AC+DC.ACD過點過點D D作作DEAB,DEAB,垂足為垂足為E E構造了構造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BE 思考思考: : 若若AB=15cm,AB=15cm,則則BEDBED的周長是多少的周長是多少? ?2.2.角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作垂線段

5、典例典例6: 6:如圖如圖, ,四邊形四邊形ABCDABCD中中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分線均是角平分線, , 求證求證:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.ACD過點過點E E作作EFBCEFBC，垂足為，垂足為F. F.構造了構造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BFE2.2.角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作垂線段2. 2.如圖如圖, ,四邊形四邊形ABCDABCD中中, A= D , A= D =90=90o o, ,BEBE、CECE均是角平分線均是角平分線, , 求證求證:BC=AB+

6、CD.:BC=AB+CD. 解法解法2. 2. 延長延長BEBE和和CDCD交于點交于點F F構造了構造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形FACDBE2.2.角平分線上點向兩邊作垂線段角平分線上點向兩邊作垂線段典例典例4: 4:如圖如圖,OC ,OC 平分平分AOB, OEP +ODP =180AOB, OEP +ODP =180o o, , 求證求證: PD=PE.: PD=PE.ACD過點過點P P作作PFOAPFOA于于F,PG OBF,PG OB于于G.G.構造了構造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距離相等距離相等BF EPGO目的目的: :構造構造全等三角形全等三角

7、形, ,將相關線段聚成三角形將相關線段聚成三角形適用情況適用情況: :圖中已經存在圖中已經存在一條線段一條線段MN MN 和和中線中線【或中點】【或中點】 語言描述語言描述: :延長延長ADAD到到E, E,使使DE=AD,DE=AD,連接連接CE.CE.注意點注意點: :雙添雙添-在圖形上添虛線在圖形上添虛線 在證明過程中描述添法在證明過程中描述添法3.3.中線延長一倍中線延長一倍例例7. 7.已知，如圖已知，如圖ADAD是是ABCABC的中線，的中線，ABCDE)(21ACABAD求證：延長延長ADAD到點到點E E，使，使DE=ADDE=AD，連結連結CE.CE.思考：若思考：若AB=3

8、,AC=5AB=3,AC=5求求ADAD的取值范圍？的取值范圍？倍長中線 例例8、如圖，、如圖，AD為為ABC的中線，的中線，ADB、ADC的平分線交的平分線交AB、AC于于E、F。求證：。求證：BE+CFEF 分析：本題中已知分析：本題中已知D D為為BCBC的中點，要證的中點，要證BEBE、CFCF、EFEF間的不等關系，可利用點間的不等關系，可利用點D D將將BEBE旋轉，使這三條線段在同一個三角形內。旋轉，使這三條線段在同一個三角形內。線段與角求相等，先找全等試試看。線段與角求相等，先找全等試試看。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 線段垂直平分線，常向兩

9、端把線連。線段垂直平分線，常向兩端把線連。 線段計算和與差，巧用截長補短法。線段計算和與差，巧用截長補短法。三角形里有中線，延長中線三角形里有中線，延長中線=中線。中線。想作圖形輔助線，切莫忘記要雙添。想作圖形輔助線，切莫忘記要雙添。 課外練習課外練習 ；【拓展題】；【拓展題】1.如圖,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BCEFBCAFED2如圖如圖1，AD是是ABC的中線，的中線，AB=3,AC=5，求中線，求中線AD的取的取值范圍。值范圍。A1BCD2343.如圖所示，已知如圖所示，已知ADBC，1=2，3=4，直線，直線DC經過點經過點E交交AD于點于點D，交交BC于點于點C。求證：。求證：AD+BC=ABEF在在AB上取點上取點F使得使得AF=AD,連接連接EF截長補短m = 42.35m = 42.23 4.已知在已知在ABC中，中，C=2B, 1=2求證求證:AB=AC+CDADBCE12在在AB上取點上取點E使得使得AE=AC，連接，連接DE截長截長F或延長或延長AC至點至點F,使得使得CF=CD，連接，連接DF補短補短5. 5.如圖如圖, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o,AC=