1、第二十三講 空間位置關系與證明高考在考什么【考題回放】1（浙江）若是兩條異面直線外的任意一點，則（B ）A過點有且僅有一條直線與都平行B過點有且僅有一條直線與都垂直C過點有且僅有一條直線與都相交D過點有且僅有一條直線與都異面2（06湖南）如圖，過平行六面體ABCD-A1B1C1D1任意兩條棱的中點作直線,其中與平面DBB1D1平行的直線共有( D )A.4條 B.6條 C.8條 D.12條3（湖北）平面外有兩條直線和，如果和在平面內的射影分別是和，給出下列四個命題：；與相交與相交或重合；與平行與平行或重合其中不正確的命題個數是（）12344.（湖北）關于直線、與平面、，有下列四個命題：（D ）

2、且，則； 且，則；且，則； 且，則.其中真命題的序號是： A. 、 B. 、 C. 、 D. 、5在正方形中，過對角線的一個平面交于E，交于F，則( ) 四邊形一定是平行四邊形 四邊形有可能是正方形 四邊形在底面ABCD內的投影一定是正方形 四邊形有可能垂直于平面以上結論正確的為 。（寫出所有正確結論的編號）6（上海）在平面上，兩條直線的位置關系有相交、平行、重合三種 已知是兩個相交平面，空間兩條直線在上的射影是直線，在上的射影是直線用與，與的位置關系，寫出一個總能確定與是異面直線的充分條件： ，并且與相交（，并且與相交） 高考要考什么一 線與線的位置關系:平行、相交、異面；線與面的位置關系:

3、平行、相交、線在面內；面與面的位置關系:平行、相交； 二轉化思想： ；高考將考什么【范例1】如圖，在四棱錐中，底面，是的中點（）證明；（）證明平面；（）求二面角的大小（）證明：在四棱錐中，因底面，平面，故，平面而平面，（）證明：由，可得是的中點，由（）知，且，所以平面而平面，底面在底面內的射影是，又，綜上得平面（）解法一：過點作，垂足為，連結則（）知，平面，在平面內的射影是，則因此是二面角的平面角由已知，得設，可得在中，則在中，解法二：由題設底面，平面，則平面平面，交線為過點作，垂足為，故平面過點作，垂足為，連結，故因此是二面角的平面角由已知，可得，設，可得，于是，在中，所以二面角的大小是所以

4、二面角的大小是M變式：如圖，在五面體中，點是矩形的對角線的交點，面是等邊三角形，棱（1）證明/平面；（2）設，證明平面證明：（）取CD中點M，連結OM.在矩形ABCD中，又，則，連結EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形. 又平面CDE， EM平面CDE， FO平面CDE（）證明：連結FM，由（）和已知條件，在等邊CDE中，且.因此平行四邊形EFOM為菱形，從而EOFM而FMCD=M，CD平面EOM，從而CDEO. 而，所以EO平面CDF. ABCD【點晴】本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎知識，注意線面平行和線面垂直判定定理的使用，考查空間想象能力和推理論證能力。【范例2】如圖，在

5、六面體中，四邊形是邊長為2的正方形，四邊形是邊長為1的正方形，平面，平面，（）求證：與共面，與共面（）求證：平面平面；（）求二面角的大小（用反三角函數值表示）證明：以為原點，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖，則有（）證明：ABCD與平行，與平行，于是與共面，與共面（）證明：，與是平面內的兩條相交直線平面又平面過平面平面（）解：設為平面的法向量，于是，取，則，設為平面的法向量，于是，取，則，二面角的大小為解法2（綜合法）：（）證明：平面，平面，平面平面于是，ABCD設分別為的中點，連結，有，于是由，得，故，與共面過點作平面于點，則，連結，于是，所以點在上，故與共面（）證明：平面，

6、又（正方形的對角線互相垂直），與是平面內的兩條相交直線，平面又平面過，平面平面（）解：直線是直線在平面上的射影，根據三垂線定理，有過點在平面內作于，連結，則平面，于是，所以，是二面角的一個平面角根據勾股定理，有，有，二面角的大小為變式如圖，已知是棱長為的正方體，點在上，點在上，且（1）求證：四點共面；（4分）（2）若點在上，點在上，垂足為，求證：平面；（4分）（3）用表示截面和側面所成的銳二面角的大小，求證明：（1）建立如圖所示的坐標系，則，所以，故，共面又它們有公共點，所以四點共面（2）如圖，設，則，而，由題設得，得因為，有，又，所以，從而，故平面（3）設向量截面，于是，而，得，解得，所以又

7、平面，所以和的夾角等于或（為銳角）于是故【范例3】如圖，在長方體AC1中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AB上移動.（1）證明：D1EA1D；（2）當E為AB的中點時，求點E到面ACD1的距離；（3）AE等于何值時，二面角D1ECD的大小為.解析：法1（1）AE面AA1DD1，A1DAD1，A1DD1E（2）設點E到面ACD1的距離為h，在ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故（3）過D作DHCE于H，連D1H、DE，則D1HCE， DHD1為二面角D1ECD的平面角. 設AE=x，則BE=2x法2：以D為坐標原點，直線DA、DC、DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，設AE=

8、x，則A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).（1）（2）因為E為AB的中點，則E（1，1，0），從而，設平面ACD1的法向量為，則也即，得，從而，所以點E到平面AD1C的距離為（3）設平面D1EC的法向量，由 令b=1, c=2, a=2x，依題意（不合，舍去）， .AE=時，二面角D1ECD的大小為.變式：如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD 為矩形，AB=8，AD=4，側面PAD為等邊三角形，并且與底面所成二面角為60°.（）求四棱錐PABCD的體積；（）證明PABD. 解析：（）如圖，取AD的中點E，連結PE，則PEAD.作PO平面在ABCD，垂足為O，連結OE.根據三垂線定理的逆定理得OEAD，所以PEO為側面PAD與底面所成的二面角的平面角，由已知條件可知PEO=60°，PE=6，所以PO=3，四棱錐PABCD的體積VPABCD=（）法1 如圖，以O為原點建立空間直角坐標系.通過計算可得P(0，0，3)，A(2，3，0)，B(2，5，0)，D(2，3，0) 所以因為 所以PABD. 法2：連結AO，延長AO交BD于點F.通過計算可得EO=3，AE=2，又知AD=4，AB=8，得所以RtAEORtBAD.得EAO=ABD. 所以EAO+ADF=90°