1、2019/097.8 7.8 定積分之幾何應用定積分之幾何應用 弧長弧長xoy0MA nMB 1M2M1 nM設設A、B是是曲曲線線弧弧上上的的兩兩個個端端點點，在在弧弧上上插插入入分分點點BMMMMMAnni ,110并并依依次次連連接接相相鄰鄰分分點點得得一一內內接接折折線線，當當分分點點的的數數目目無無限限增增加加且且每每個個小小弧弧段段都都縮縮向向一一點點時時，一、平面曲線弧長的概念一、平面曲線弧長的概念!,是是可可求求長長的的我我們們稱稱曲曲線線弧弧此此時時AB?可求長的條件可求長的條件?連續夠不夠連續夠不夠在曲線光滑的條件下可求長在曲線光滑的條件下可求長 設曲線弧為設曲線弧為)(x

2、fy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一階連續導數上有一階連續導數xoyabxdxx 取積分變量為取積分變量為x，在，在,ba上任取小區間上任取小區間,dxxx ，以對應小切線段的長代替小弧段的長以對應小切線段的長代替小弧段的長 dy小小切切線線段段的的長長22)()(dydx dxy21 弧長元素弧長元素dxyds21 弧長弧長.12dxysba 二、直角坐標情形二、直角坐標情形解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧長為所求弧長為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab例例 2 2 計計算算曲曲線線 dnynx 0sin的的弧弧長長)0( nx.

3、解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n 曲線弧為曲線弧為,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續續導導數數.22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧長弧長.)()(22dttts 三、參數方程情形三、參數方程情形例例 3 3 求星形線求星形線323232ayx )0( a的全長的全長.解解 星形線的參數方程為星形線的參數方程為 taytax33sincos)20(

4、 t根據對稱性根據對稱性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 例例 4 4 證證明明正正弦弦線線xaysin )20( x的的弧弧長長等等于于橢橢圓圓 taytxsin1cos2 )20( t的的周周長長.證證設正弦線的弧長等于設正弦線的弧長等于1sdxys 20211dxxa 2022cos1,cos12022dxxa ,20222dtyxs 根據橢圓的對稱性知根據橢圓的對稱性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原結論成立故原結論成立.dtta 022cos12曲線弧為曲線弧為)( )( rr sin)(cos)(r

5、yrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧長弧長.)()(22 drrs 四、極坐標情形四、極坐標情形例例 5 5 求求極極坐坐標標系系下下曲曲線線33sin ar的的長長. .)0( a解解 drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 例例 6 6 求求阿阿基基米米德德螺螺線線 ar )0( a上上相相應應于于 從從0到到 2的的弧弧長長.解解, ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 平面

6、曲線弧長的概念平面曲線弧長的概念直角坐標系下直角坐標系下參數方程情形下參數方程情形下極坐標系下極坐標系下弧微分的概念弧微分的概念求弧長的公式求弧長的公式 五、小結五、小結曲曲 率率一、曲率及其計算公式一、曲率及其計算公式曲率是描述曲線局部性質彎曲程度的量。曲率是描述曲線局部性質彎曲程度的量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段彎曲程度弧段彎曲程度越大轉角越大越大轉角越大轉角相同弧段越轉角相同弧段越短彎曲程度越大短彎曲程度越大1.曲率的定義曲率的定義1 ).sKMM 的的平平均均曲曲率率為為弧弧段段（設曲線設曲線C是光滑的，是光滑的，,sMM （. 切線轉角為切線轉角為M

7、M定義定義sKs 0lim曲線曲線C在點在點M處的曲率處的曲率,lim0存存在在的的條條件件下下在在ss .dsdK ,上上兩兩點點為為CMM2.曲率的計算公式曲率的計算公式注意注意: 直線的曲率處處為零直線的曲率處處為零;,)(二二階階可可導導設設xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctany 有有.12dxyds ,),(),(二階可導二階可導設設 tytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 例例1 1?2上上哪哪一一點點的的曲曲率率最最大大拋拋物物線線cbxaxy 解解,

8、2baxy ,2ay .)2(12232baxak 顯然顯然,2時時當當abx .最大最大k,)44,2(2為為拋拋物物線線的的頂頂點點又又aacbab .最大最大拋物線在頂點處的曲率拋物線在頂點處的曲率例例2 2.的圓周的曲率的圓周的曲率求半徑為求半徑為R解：解：設圓周方程為設圓周方程為).20( sincos ttRytRx,cos,sintRxtRx ,sin,costRytRy 代入得代入得.1Rk 圓上各點處的曲率等于半徑的倒數圓上各點處的曲率等于半徑的倒數,且半徑越小曲且半徑越小曲率越大率越大.二、曲率圓與曲率半徑二、曲率圓與曲率半徑定義定義D)(xfy Mk1 .),(,.1,)

9、.0(),()(處的曲率圓處的曲率圓稱此圓為曲線在點稱此圓為曲線在點如圖如圖作圓作圓為半徑為半徑為圓心為圓心以以使使在凹的一側取一點在凹的一側取一點處的曲線的法線上處的曲線的法線上在點在點處的曲率為處的曲率為在點在點設曲線設曲線MDkDMDMkkyxMxfy ,曲曲率率中中心心 D.曲率半徑曲率半徑 xyo1.曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數曲率互為倒數.1,1 kk即即注意注意: :2.曲線上一點處的曲率半徑越大曲線上一點處的曲率半徑越大,曲線在該點曲線在該點處的曲率越小處的曲率越小(曲線越平坦曲線越平坦);曲率半徑越小曲率半徑越小,曲曲率越大率越大(曲線越彎曲曲線越彎曲).3.曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附近曲線弧近曲線弧(稱為曲線在該點附近的二次近似稱為曲線在該點附近的二次近似).三、小結三、小結基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圓曲率圓.曲線彎曲程度的描述曲線彎曲程度的描述曲率曲率;曲線弧的近似代替曲率圓曲線弧的近似代替曲率圓(弧弧).思考題思考題 橢圓橢圓 上哪上哪些點處曲率最大？些點處曲率最大？,cos2tx tysin3 作業作業 (數學分析學習