1、YunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率1s對(duì)于不同的曲線對(duì)于不同的曲線, 其彎曲程度一般不同其彎曲程度一般不同. 例如：例如：ABBA12.ABA BssAB2B A一、曲率的定義一、曲率的定義 YunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率AABBoss.ss相同 曲線的彎曲程度與其切線方向變化的夾角 的大小及其弧長(zhǎng) 有關(guān).s結(jié)論：結(jié)論：YunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率yxoA將將sKBs任意弧段任意弧段 AB = = R ， 有有s1.KsRR稱為曲線段稱為曲線段 AB 的平均曲率，它的平均曲率，它刻畫了一段

2、曲線的平均彎曲程度刻畫了一段曲線的平均彎曲程度. OABR 對(duì)于半徑為R的圓，YunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率, 0sK對(duì)于直線對(duì)于直線, 其切線方向不變其切線方向不變, 即即 , 有有00lim.sdKdss 其中其中 為點(diǎn)為點(diǎn)A及其鄰點(diǎn)及其鄰點(diǎn)B之間弧長(zhǎng)之間弧長(zhǎng), 為為AB上切線上切線方向變化的角度方向變化的角度. 曲率刻畫了曲線在一點(diǎn)的彎曲程度曲率刻畫了曲線在一點(diǎn)的彎曲程度.s.故“直線不曲”YunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率x yox),(yyxxNxx),(yxMAyxsM如圖，設(shè)曲線的弧長(zhǎng)如圖，設(shè)曲線的弧長(zhǎng)s 由點(diǎn)由

3、點(diǎn) A 起算起算. 任取任取MN = ，有，有由此由此s222,MNxy .122xyxMN當(dāng)當(dāng) 充分小時(shí)，在一些假定之下充分小時(shí)，在一些假定之下( 如曲線有連續(xù)導(dǎo)數(shù)如曲線有連續(xù)導(dǎo)數(shù) )，x二、弧長(zhǎng)的微分二、弧長(zhǎng)的微分dsYunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率，得，再令代替，用0 xMNMNMNMN,)(1)(22dxdydxds從而即得從而即得 弧長(zhǎng)微分的公式弧長(zhǎng)微分的公式21,dsy dx 或或22222.dsdxdydsdxdy , YunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率連續(xù)，則在，弧的方程為,)()(baxfbxaxfy21( )

4、.dsfx dx ，則連續(xù)，且不全為在與，弧的方程為0,)()()()(ttttytx22( )( ).dstt dt 則連續(xù)在極坐標(biāo)方程弧的方程為,)(),)()(22.( )( )dsd 關(guān)于關(guān)于 的具體表示式：的具體表示式：dsYunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率三、曲率的計(jì)算三、曲率的計(jì)算先計(jì)算先計(jì)算 , 考慮曲線考慮曲線 在在 M 點(diǎn)的切線點(diǎn)的切線, 有有 d,tany.arctan.yei兩邊求微分，得兩邊求微分，得.1122dxyyyydd ddsdKds把和代入中得曲率的計(jì)算公式：322.(1)yKy)(xfy YunnanUniversity4.

5、 平面曲線的曲率平面曲線的曲率( ),( ),xtyt參數(shù)方程3222( ),( )()ttK ( ), 極坐標(biāo)方程223222, ( ).2()K YunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率四、曲率半徑與曲率圓四、曲率半徑與曲率圓對(duì)半徑為對(duì)半徑為 R 的圓的圓,.1,1KRRKDef : 曲線上一點(diǎn)的曲率的倒數(shù)稱為曲線在該曲線上一點(diǎn)的曲率的倒數(shù)稱為曲線在該點(diǎn)的點(diǎn)的 曲率半徑，記作曲率半徑，記作1.KAAoYunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率曲率圓與曲線在曲率圓與曲線在A A點(diǎn)具有以下關(guān)系點(diǎn)具有以下關(guān)系: : 有共同的切線，即圓與曲線在點(diǎn)有

6、共同的切線，即圓與曲線在點(diǎn) A 相切；相切； 有相同的曲率；有相同的曲率； 圓和曲線在點(diǎn)圓和曲線在點(diǎn) A 具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù). yy ,YunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率例例1. 求拋物線求拋物線 上任一點(diǎn)處的曲率和曲率半徑上任一點(diǎn)處的曲率和曲率半徑.2xy 解：解：.2,2 yxymaxmin1(0,0),2,.2K在點(diǎn)(|),x自原點(diǎn)逐漸上升 增大,)41(22/32xK2xy 隨著曲線.2)41(12/32xK.逐漸增大逐漸減小，KxyO1O2O2yxAYunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率,41)

7、0()0(2min2020yx故處又在, 2, 0,)0 , 0( yy法線： x = 0 .切線：y = 0 ,000(,),0,xyx 而圓心在法線上 故.41)21(22 yx點(diǎn)處的曲率圓方程：在于是)0 , 0(,2xy ).21(2100yy舍求求 的最小曲率半徑時(shí)的曲率圓的方程的最小曲率半徑時(shí)的曲率圓的方程.2yx則設(shè)曲率圓圓心),(00yxYunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率,()1.RR火車轉(zhuǎn)彎時(shí),為使火車能平穩(wěn)地轉(zhuǎn)過(guò)彎去必須將外軌墊高.鐵軌由直道轉(zhuǎn)入圓弧彎道時(shí)設(shè)半徑為,外軌的彎曲有一個(gè)跳躍,會(huì)導(dǎo)致接頭處的曲率突然改變,容易發(fā)生事故. 為了行駛平穩(wěn)

8、,往往在直道和彎道之間接入一段緩沖段,使曲率連續(xù)地由零過(guò)渡到例例2. 2. 鐵道的彎道分析鐵道的彎道分析YunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率.1)1(, 06103RARlRlOOAOAlOAxxxRly的的曲曲率率近近似似為為時(shí)時(shí)，在在終終端端很很小小并并且且當(dāng)當(dāng)為為零零的的曲曲率率在在始始端端的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度，驗(yàn)驗(yàn)證證緩緩沖沖段段為為，其其中中緩緩沖沖段段作作為為，通通常常用用三三次次拋拋物物線線 xyoR),(00yxA)0 ,(0 xClBYunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率xyoR),(00yxA)0 ,(0 xC證明證明: :

9、 如圖如圖0 x 表示直線軌道，,.OAAB是緩沖段是圓弧軌道在緩沖段上在緩沖段上,212xRly .1xRly , 0, 0,0 yyx處處在在. 00 k故故緩緩沖沖始始點(diǎn)點(diǎn)的的曲曲率率根據(jù)實(shí)際要求根據(jù)實(shí)際要求,0 xl lBYunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率20210 xRlyxx 有有221lRl ,2Rl 010 xRlyxx lRl1 ,1R 的的曲曲率率為為故故在在終終端端 A0232)1(xxAyyk 2322)41(1RlR , 1 Rl.1RkA 得得,422Rl略去二次項(xiàng)略去二次項(xiàng)xyoR),(00yxA)0 ,(0 xClBYunnanU

10、niversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率例例3 3xyoQP.,.70,/400,)(40002壓力壓力飛行員對(duì)座椅的飛行員對(duì)座椅的到原點(diǎn)時(shí)到原點(diǎn)時(shí)求俯沖求俯沖千克千克飛行員體重飛行員體重秒秒米米處速度為處速度為點(diǎn)點(diǎn)在原在原俯沖飛行俯沖飛行單位為米單位為米飛機(jī)沿拋物線飛機(jī)沿拋物線 vOxy解解如圖如圖,受力分析受力分析,PQF 視飛行員在點(diǎn)視飛行員在點(diǎn)o作勻速圓周運(yùn)動(dòng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng),.2 mvF O點(diǎn)處拋物線軌道的曲率半徑點(diǎn)處拋物線軌道的曲率半徑Y(jié)unnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率002000 xxxy, 0 .200010 xy得曲率為得曲率為.200010 xxk曲率半徑為曲率半徑為.2000 米米 2000400702 F),(4 .571)(5600千千克克牛牛 ),(4 .571)(70千千克克力力千千克克力力 Q).(5 .641千克力千克力 即即:飛行員對(duì)座椅的壓力為飛行員對(duì)座椅的壓力為641.5千克力千克力.YunnanUniversi