1、 排列組合的綜合應用 計數的基本原理排列組合排列數Anm公式組合數Cnm公式組合數的兩個性質應用本章知識結構分類計數原理分類計數原理 完成完成一件事一件事,有有n類辦法類辦法,在第在第1類辦法中類辦法中,有有m1種不同的方法種不同的方法,在第在第2類辦類辦法中法中,有有m2種不同的方法種不同的方法在第在第n類辦法類辦法中中,有有mn種不同的方法種不同的方法,則完成這件事有則完成這件事有N=m1+m2+ +mn種不同的方法種不同的方法分步計數原理分步計數原理 完成完成一件事一件事,需要分成需要分成n個步驟個步驟,在第在第1步中步中,有有m1種不同的方法種不同的方法,在第在第2步中步中,有有m2種

2、不同的方法種不同的方法在第在第n步中步中,有有mn種種不同的方法不同的方法,則完成這件事有則完成這件事有N=m1m2 mn種不同的方法種不同的方法分類計數原理分類計數原理與與分步計數原理分步計數原理之間的區別與聯系之間的區別與聯系 1分類計數原理分類計數原理中各類方法之間是互相獨立的，中各類方法之間是互相獨立的，每一類每一種方法都能直接完成這件事情，每一類每一種方法都能直接完成這件事情，分步分步計數原理計數原理中，各個步驟之間是相互聯系的，依次中，各個步驟之間是相互聯系的，依次完成所有步驟才能完成這件事情完成所有步驟才能完成這件事情2分類計數原理分類計數原理的重點在一個的重點在一個“類類”字字

3、，分步分步計數原理計數原理的重點在一個的重點在一個“步步”字字，應用加法原理應用加法原理時，要注意時，要注意“類類”與與“類類”之間的獨立性和并列之間的獨立性和并列性，在各類辦法中彼此是獨立的，并列的性，在各類辦法中彼此是獨立的，并列的應用應用分步計數分步計數原理時，要注意原理時，要注意“步步”與與“步步”之間的之間的連續性，做一件事需分成若干個步驟，每個步驟連續性，做一件事需分成若干個步驟，每個步驟相繼完成，最后才算做完整個工作相繼完成，最后才算做完整個工作練習練習1： 書架上放有書架上放有3本不同的數學書，本不同的數學書，5本本不同的語文書，不同的語文書，6本不同的英語書本不同的英語書 （

4、1）若從這些書中任取一本，有多少種不）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？同的取法？ （2）若從這些書中，取數學書、語文書、）若從這些書中，取數學書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？英語書各一本，有多少種不同的取法？（3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？有多少種不同的取法？ 答案：答案：Nm1m2m335614N=m1m2m3=90N=353656=63練習練習2： 由數字由數字0，1，2，3，4可以組成多少個三可以組成多少個三位整數（各位上的數字允許重復）？位整數（各位上的數字允許重復）？解：解：要組成一個三位數，需要

5、分成三個步驟：要組成一個三位數，需要分成三個步驟：第一步第一步確定百位上的數字，從確定百位上的數字，從14這這4個數字中任個數字中任選一個數字，有選一個數字，有4種選法；種選法；第二步第二步確定十位上的數字，由于數字允許重復，確定十位上的數字，由于數字允許重復，共有共有5種選法；種選法；第三步第三步確定個位上的數字，仍有確定個位上的數字，仍有5種選法根據乘種選法根據乘法原理，得到可以組成的三位整數的個數是法原理，得到可以組成的三位整數的個數是 N=455=100 答：可以組成答：可以組成100個三位整數個三位整數)!(!) 1() 2)(1(mnnmnnnnAmn 從從n個不同的元素中，任取個

6、不同的元素中，任取A個元素，個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從按照一定的順序排成一列，叫做從n個個不同的元素中取出不同的元素中取出A個元素的一個個元素的一個 排排列列 。 排列與排列數排列與排列數所有排列的個數叫做所有排列的個數叫做 排列數排列數 ，用，用表示。表示。 mnA判斷判斷下列幾個問題是不是排列問題下列幾個問題是不是排列問題? ?從班級從班級5名優秀團員中選出名優秀團員中選出3人參加上午的團委會人參加上午的團委會1000本參考書中選出本參考書中選出100本本給給100位同學每人一本位同學每人一本1000名來賓中選名來賓中選20名貴賓分名貴賓分別坐別坐120號貴賓席號貴賓席組組 合

7、合 兩個組合的元素完全相同為相同組合注注n個不同元素mn組合與元素的順序無關排列與元素的順序有關 從從n n個不同元素中取出個不同元素中取出m(mn)m(mn)個元素的所有組個元素的所有組合的合的個數個數, ,叫做從叫做從n n個不同元素中取出個不同元素中取出m m個元素的個元素的組組合數合數表示方法表示方法C Cmmn n從n個不同元素中取出m(mn)個元素并成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合一個組合組合數的兩個性質性質1)( ,nmCCmnnmn)( ,11nmCCCmnmnmn性質2C Cn nm m= =A An nm mA Am mm m= =n(n-1)(n-2)

8、n(n-1)(n-2) (n-m+1)(n-m+1)m m例2 計算計算: C10 7(2)C7 4(1)C例3 求證求證 mCnCn m+1=m+1n-m判斷判斷 下列幾個問題下列幾個問題是排列問題還是是排列問題還是組合問題組合問題? ? 四個足球隊舉行單循環比賽四個足球隊舉行單循環比賽( (每兩隊比賽一每兩隊比賽一場場) )共有多少種比賽共有多少種比賽? ?四個足球隊舉行單循環比賽的所有冠亞軍四個足球隊舉行單循環比賽的所有冠亞軍的可能性情況有多少種的可能性情況有多少種? ?從從2,3,4,5,62,3,4,5,6中任取兩數構成指數中任取兩數構成指數, ,有多少個不有多少個不同的指數同的指數

9、? ?從從2,3,4,5,62,3,4,5,6中任取兩數相加中任取兩數相加, ,有多少個不同有多少個不同的結果的結果? ?十個人相互通了一封信十個人相互通了一封信, ,共有多少封信共有多少封信? ?十個人相互握一次手十個人相互握一次手, ,共握了多少次手共握了多少次手? ? 1） 由數字由數字1，2，3，4，5 組成沒有重復數字的組成沒有重復數字的五位數，其中偶數共有五位數，其中偶數共有 個。個。2） 用用 0，1，2，3，4，5 組成沒有重復數字的組成沒有重復數字的三位數，共有三位數，共有 個。個。 3）五名同學排成一排，其中的甲乙兩同學必五名同學排成一排，其中的甲乙兩同學必須站在兩端須站在

10、兩端 ，共有，共有 種不同排法。種不同排法。4810012例例1典型例題典型例題例例2 從從1到到6這六個數字中任取這六個數字中任取5個數字組成沒有重復個數字組成沒有重復數字的五位數數字的五位數,且個位和百位必須是奇數且個位和百位必須是奇數,這樣的五位數這樣的五位數共有多少個共有多少個?萬萬 千千百百十十個個34A23A解法解法: N=34A23A=144個個有條件的排列 問 題有條件的排列 問 題有條件的排列問題有條件的排列問題 例例3 3 七個家庭一起外出旅游，若其中四家各有一個男孩，三家各有一個女孩，現將這七個小孩站成一排照相留念。a)若三個女孩要站在一起，有多少種不同的排法？解：將三個

11、女孩看作一人與四個男孩排隊，有 種排法，而三個女孩之間有 種排法，所以不同的排法共有： （種）。7203355 AA55A33A捆 綁 法捆 綁 法有條件的排列問題有條件的排列問題 七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現將這七個小孩站成一排照相留念。b)若三個女孩要站在一起，四個男孩也 要站在一起，有多少種不同的排法？不同的排法有：288443322 AAA（種）說一說說一說捆綁法一般適用于 問題的處理。相鄰相鄰有條件的排列問題有條件的排列問題 七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現將這七個小孩站成一排照相留念。c) 若三個女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？解：

12、先把四個男孩排成一排有 種排法，在每一排列中有五個空檔（包括兩端），再把三個女孩插入空檔中有 種方法，所以共有： （種）排法。35A44A14403544 AA有條件的排列問題有條件的排列問題 七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現將這七個小孩站成一排照相留念。c) 若三個女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？插 空 法插 空 法有條件的排列問題有條件的排列問題 七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現將這七個小孩站成一排照相留念。d) 若三個女孩互不相鄰，四個男孩也互不相鄰，有多少種不同的排法？不同的排法共有：1443344 AA（種）說一說說一說插空法一般適用于

13、問題的處理?；ゲ幌噜徎ゲ幌噜廈有條件的排列問題有條件的排列問題 七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現將這七個小孩站成一排照相留念。e) 若其中的A小孩必須站在B小孩的左邊，有多少種不同的排法？BAA解：A在B左邊的一種排法必對應著A在B右邊的一種排法，所以在全排列中， A在B左邊與A在B右邊的排法數相等，因此有：25207721 A排法。（種）有條件的排列問題有條件的排列問題 七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現將這七個小孩站成一排照相留念。e) 若其中的A小孩必須站在B小孩的左邊，有多少種不同的排法？BA對應思想對應思想252057 A例例4：6個人站成前

14、后兩排照相，要求前個人站成前后兩排照相，要求前排排2人，后排人，后排4人，那么不同的排法共有人，那么不同的排法共有A.30種種 B. 360種種 C. 720種種 D. 1440種種 例例5 5、有、有1010個三好生名額，分配到高二年級個三好生名額，分配到高二年級6 6個個班，每班至少班，每班至少1 1個名額，共有多少種不同的分個名額，共有多少種不同的分配方案？配方案？變式：有編號為變式：有編號為1 1，2 2，3 3的三個盒子，將的三個盒子，將2020個個完全相同的小球放在盒子中，要求每個盒子中完全相同的小球放在盒子中，要求每個盒子中球的個數不小于它的編號數，則共有多少種不球的個數不小于它的編號數，則共有多少種不同的分配方案？同的分配方案？名額分配問題采用名額分配問題采用“隔板法隔板法”：練習：練習：4 4個不同的球，個不同的球，4 4個不同的盒