1、等差數列與等比數列，排列組合與二項式定理一. 教學內容： 等差數列與等比數列，排列組合與二項式定理二. 重點、難點： 1. 理解數列的概念，了解數列通項公式的意義；了解遞推公式，并能寫出數列的前n項。 2. 理解等差（比）數列的概念，掌握等差（等比）數列的通項公式與前n項和公式，并能運用公式解決簡單的問題。 3. 掌握分類計數原理與分步計數原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應用問題。 4. 理解排列與組合的意義，掌握排列數與組合數的計算公式，掌握組合數的兩個性質，并會簡單應用。 5. 掌握二項式定理和二項展開式的性質，并能用它們計算和證明一些簡單的問題。三. 教學過程：（一）數列的概念 1.

2、 數列：按一定順序排列的一列數叫做數列。 表示，這個公式叫做這個數列的通項公式。 3. 遞推公式：給出數列最初的幾項或一項，并給出數列中后面的項用前面的項來表示的公式，該公式稱為數列的遞推公式。 4. 數列的前n項和： （二）等差數列 1. 定義： 2. 通項公式： 3. 前n項和公式： 4. 等差中項： 5. 性質： 成等差數列，且公差為md。 6. 充要條件的證明： （三）等比數列 1. 定義： 2. 通項公式： 3. 前n項和公式： 4. 等比中項： 5. 性質： 6. 充要條件的證明： （四）排列、組合 1. 分類計數原理、分步計數原理 分類用分類計數原理，各類相互獨立，不重不漏，完備

3、無缺。 分步用分步計數原理，各步相互關聯，缺一不可。 2. 排列、組合概念 排列與元素順序有關，組合與元素順序無關。 判斷方法：將兩元素交換位置后看是否為同一結果，如車票與票價。 3. 排列數、組合數公式 4. 組合數性質 其它結論： （五）關于排列、組合的應用題 1. 基本類型 （1）排列：排隊，組成數字。 帶附加條件：在與不在，鄰與不鄰，順序一定等。 （2）組合：選代表，產品抽樣。 帶附加條件：含與不含，至多，至少等。 （3）分組、分配問題：有均分與不均分，指定人與未指定人，相同元素與不同元素等。 （4）綜合型：如先選后排型。 2. 設計方案 認真審題后，考慮是否按元素的性質需要分類，按事

4、件發生過程需要分步，元素較少時可用圖表將所有情況一一列出，元素較多時可從元素少的情況出發探索一般規律。 3. 方法的選擇 間接法：全集減去補集（正難則反）（六）二項式定理 1. 二項式定理 2. 二項展開式的結構與特征 （1）項數：共n1項 （3）指數：a的次數從0起逐項減1直到0；b的次數從0起逐項加1直到n。 a與b的次數之和等于n。 3. 二項式系數的性質 （1）等距性：與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等 （4）最值性： 相等。 （5）當n較小時，可以利用楊輝三角求二項式系數。 注意：區別二項展開式中某一項的系數與該項的二項式系數。 4. 二項式定理的應用 （1）求二項展開式中的

5、某指定項或某指定項的系數； （2）求二項展開式的各項系數之和或奇數項，偶數項系數之和； （3）近似計算； （4）證明一些簡單的組合恒等式； （5）有關整除和余數問題等。【典型例題】 例1. 解析：（1）由等差數列性質，有： （3）由已知得： 例2. 解析：（1）由等比數列的性質，可知a3、a6、a9成等比數列 例3. 解： 說明：研究兩個數列公共項的有關性質，公共項構成的數列是兩個數列的子數列，而抓住它們的通項是關鍵。 例4. 某人向銀行貸款2萬元用于購家用轎車，商定年利率為10%，按復利計算（即本年的利息計入次年的本金生息），若從借后次年初開始，每年還4千元，試問十年時間能否還清貸款？ 解：

6、設第n年后欠款為an 十年足可以還清貸款 說明：后，各年所還欠款到第十年后的本息，看二者能否抵消。 （2）一般地，設借貸a元，年利率為p%（按復利計算），每年還b元，x年還清借 例5. 同室4人各寫1張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿1張別人送出的賀年卡，求4張賀年卡不同的分配方式共有多少種？ 解：對4人分別編1，2，3，4四個號，對四張賀卡也編上1，2，3，4四個號，那么將1，2，3，4四個數字填入1，2，3，4四個方格的一個填法對應賀卡的一個送法，原問題可以轉化為以上所述方格的編號與所填數字不同的填法種數問題。 首先，在1號方格里填數，可填入2，3，4中的任意一個數，有3種填法； 其次，

7、當第1號方格填數i（i2，3，4）之后，在第i號格中填入合乎要求的數，有3種填法； 最后剩下兩個數，填到空著的方格里，只有1種填法。 依分步計數原理，賀卡不同的分配方式共有：N3319（種） 事實上，本題由于數目4較小，可以一一列出全部結果： 2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，共9種情況。 例6. 7名同學站成一排，下列情況各有多少種不同排法？ （1）甲只能排在中間或兩邊的位置； （2）甲、乙必須排在一起； （3）甲、乙、丙互不相鄰； （4）甲不在排頭，乙不在排尾； （5）甲乙之間須隔一人。 解：（1）先考慮甲的位置，甲排在中間，再在其余

8、六個位置上排6個人， 由對稱性，可知符合條件的排法有： （3）插空法。先排： 方法二：按甲在排尾，甲不在排尾分成兩類： （5）先從其余5人中選1人有5種選法，放在甲、乙之間，將三人看成一個元素， 例7. 由0，1，2，3，4，5這六個數字組成沒有重復數字的三位奇數，其中2不在十位上的數共有多少個？ 解：直接法。按三位奇數中含2與不含2分成兩類。 注：先從特殊元素和特殊位置入手，同時也要注意逆向思考。 例8. 從5名男生和3名女生中選5人分別參加五門學科的競賽。 （1）女生人數少于男生人數，但有女生參賽； （2）某女生一定參加，但不參加數學競賽； （3）參賽女生不少于2人，且英語競賽由女生擔任；

9、 以上各有多少種不同選法？ 解：（1）分1女4男和2女3男參賽，分兩類。 選出5人后再安排他們參加五門學科的競賽 （2）某女生不參加數學競賽，可參加另外4科中的任何一科競賽，有4種方法。其賽方案。 （3）分2女3男和3女2男參賽，分兩類。 例9. 從6名短跑運動員中選4人參加4100米接力賽（每人跑一棒），如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，問共有多少種安排方法？ 解：方法一（直接法） 問題分成三類： 方法二（間接法） 例10. 數是_。 解析：令x1，得展開式各項系數之和，即： 例11. 解析： 【模擬試題】一. 選擇題。 1. 數列中的最大項是（ ） A. 107B. 108C. D. 1

10、09 2. 設是遞增的等差數列，前三項的和為12，前三項之積為48，則它的首項是（ ） A. 1B. 2C. 4D. 6 3. 等比數列中，則（ ） A. 10B. 20C. 36D. 128 4. 若數列的前n項和（），則數列（ ） A. 一定是等比數列 B. 不能是等比數列 C. 可能為等比數列，也可為等差數列 D. 可為等比數列但不是等差數列 5. 從A、B、C、D、E五名田徑運動員中，選四名排在1，2，3，4四條跑道上，其中運動員E不排在1，2跑道上，則不同的排法有（ ） A. 24種B. 48種C. 72種D. 120種 6. 有甲、乙、丙三項任務，甲需2人承擔，乙、丙各需1人承擔，從10人中選出4人承擔這三項任務，不同的選法有（ ） A. 1260種B. 2025種C. 2520種D. 5040種二. 填空題。 7. 已知等差數列的公差，且成等比數列，則_。 8. 在數列中，已知，且，則這個數列的通項公式是_。 9. 設是公比為q的等比數列，其前n項和為，若是等差數列，則公比q_。 10. 若，則_。 11. 展開式中的常數項為_。 12. 展開式中的系數為，則常數_。三. 解答題。 13. 若數列