1、考點17正弦定理和余弦定理一、選擇題1 .（2019 全國卷 I 文科 T11 ）*BC 的內角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c,已知 asin A-bsin B=4 csin C,cos a=-,則-=（A.6 B.5 C.4 D.3【命題意圖】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應用【解題指南】利用余弦定理推論得出a,b,c的關系，再結合正弦定理邊角互換列出方程，解出結果.【解析】選A.由已知及正弦定理可得 a2-b2=4c2,由余弦定理推論可得-=cos A=一,所以=-_，所以一=所以y - X 4=6，故選 A.二、填空題2 .（2019全國卷n理科T15）AABC的內角A,B,C

2、的對邊分別為a,b,c.若b=6 ,a=2 c,B=-，則 MBC的面積為.【命題意圖】考查余弦定理以及三角形面積公式的應用【解析】因為cos B=,又因為 b=6 ,a=2 c,B=-，可得 c2=12 ,解彳t c=2 -,a=4 一，貝UMBC 的面積 S=-X4 -X2 -x-=6 一答案:6 一3 .（2019全國卷n文科T15）AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsin A + acos B=0，則B=.【命題意圖】考查正弦定理、同角三角函數基本關系的運用【解析】已知 bsin A+ acos B=0，由正弦定理可得 sin Bsin A+sin Acos B=0

3、,即 sin B=-cos B,又因為 sin 2B+cos 2B=1，解彳# sin B=,cos B=-，故 B=.答案:一4 .（2019 浙江高考 T14）在MBC 中，ZABC=90 °,AB=4 ,BC=3 ,點 D 在線段 AC 上，若/BDC=45，則 BD=,cos ZABD .【命題意圖】本題主要考查解三角形問題，即正弦定理、三角恒等變換、數形結合思想及函數方程思想【解析】在AABD中,由正弦定理有：=一,而 AB=4 ,/ADB = ,AC=5 ,sin ZBAC= = - cos /BAC=-= -，所以 BD=.cos /ABD=cos (/BDC- /BA

4、C)=cos -cos ZBAC+sin -sin /BAC=.答案: 三、解答題5 .(2019 全國卷 I 理科 T17)AABC 的內角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c.設(sin B-sin C)2=sin 2A-sin Bsin C.(1)求 A.若a+b=2c,求 sin C.【命題意圖】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，涉及兩角和差正弦公式、同角三角函數關系的應用，解題關鍵 是能夠利用正弦定理對邊角關系式進行化簡，得到余弦定理的形式或角之間的關系.【解題指南】(1)利用正弦定理化簡已知邊角關系式可得：b2+c2-a2=bc,從而可求出cos A,根據A e (0

5、,無)可求得結果；(2)利用正弦定理可得sin A+sin B=2sin C,利用sin B=sin (A+C)、兩角和差正弦公式可得關于sin C和cos C的方程，結合同角三角函數關系解方程可求得結果.【解析】(1)由已知得sin2B+sin 2C-sin 2A=sin Bsin C,故由正弦定理得 b2+c2-a2=bc.由余弦定理得 cos A=-.因為 0° 6<180° ,所以 A=60° .(2)方法一：由(1)知 B=120° -C,由題設及正弦定理得-sin A+sin (120° -C)=2sin C,即一+cos C

6、+ -sin C=2sin C,可得 cos (C+60 °)=-.由于 0° <C<120° ,所以 sin(C+60° )=一,故 sin C=sin (C+60 ° -60 )=sin (C+60 )cos 60 -cos (C+60 )sin 60 ° .方法二：因為 a+b=2 c,由正弦定理得：sin A+sin B=2sin C,又 sin B=sin (A+ C)=sin Acos C+cos Asin C,A =-，所以x+ cos C+ -sin C=2sin C,整理可得:3sin C-= cos C

7、,所以 sin - =一，所以 C=一或一,因為A= -且A+ C<無，所以C=-,所以 sin C=sin =sin - - =sin -cos -+cos -sin -=.6 .（2019全國卷 田理科T18同2019全國卷 出文科T18）MBC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asin=bsin A.求B.（2）若以BC為銳角三角形，且c=1，求必BC面積的取值范圍.【命題意圖】本題考查三角恒等變換、正弦定理、面積公式，意在考查考生綜合應用三角知識運算求解能力.【解析】（1）由題設及正弦定理得 sin Asin=sin Bsin A.因為 sin A，0,所以 sin=s

8、in B.由 A+ B+C=180° ,可彳導 sin =cos -，故 cos -=2sin -cos -.因為 cos-M,故 sin-=-,因此 B=60° .（2）由題設及（1）知 8BC的面積Smbc= a.,一（0-） 一由正弦定理得 a=+-.由于 MBC 為銳角三角形，故 0° <A<90° ,0° £<90° ,由（1）知 A+C=120° ,所以 30° <C<90° ,故-< a<2，從而一<Szabc<.因此，紈BC面

9、積的取值范圍是一，一.7 .（2019 北京高考理科 T15）在 MBC 中,a=3,b-c=2,cos B=-.求b,c的值.求sin （B-C）的值.【命題意圖】考查運用正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換，意在考查靈活運用公式與基本運算能力，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，體現了邏輯推理、數學運算的數學素養(yǎng).【解析】（1）由已知及余弦定理，cos B=-=L-,即 9-2 b + c=0，又 b-c=2 ,所以 b=7 ,c=5 .（2）由（1）及余弦定理，cos C=,所以 sin C=，同理 sin B=一,所以 sin (B-C)=sin Bcos C-sin Ccos B=一 x

10、x - =.【方法技巧】 解三角形的問題，已知邊角和所求邊角放一起，兩邊兩角用正弦定理，三邊一角用余弦定理，常用結論：sin (A+ B) =sin (無-C) =sin C,sin (A+ B) =sin Acos B+sin Bcos A,cos (A + B) =cos ( %- C) =-cos C, cos (A+ B) =cos Acos B-sin Asin B.8 .(2019 北京高考文科 T15)在 MBC 中,a=3 ,b-c=2 ,cos B=-.(1)求b,c的值.求sin (B+ C)的值.【命題意圖】考查運用正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換，意在考查靈

11、活運用公式與基本運算能力，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，體現了邏輯推理、數學運算的數學素養(yǎng).【解析】(1)由已知及余弦定理，cos B=-=-=- -，即 9-2 b + c=0 ,又 b-c=2 ,所以 b=7 ,c=5 .(2)由(1)及余弦定理，cos C=,又 sin 2C+cos 2C=1 ,0< C< 無，所以 sin C=，同理 sin B=,所以 sin (B+ C)=sin Bcos C+sin Ccos B=x+x - =.【方法技巧】 解三角形的問題，已知邊角和所求邊角放一起，兩邊兩角用正弦定理，三邊一角用余弦定理，常用結論：sin (A+ B) =sin (無-C

12、) =sin C,sin (A+ B) =sin Acos B+sin Bcos A,cos (A + B) =cos ( %- C) =-cos C, cos (A+ B) =cos Acos B-sin Asin B.9 .(2019天津高考理科T15同2019天津高考文科T16)在MBC中，內角A,B,C所對的邊分別為 a,b,c.已知b + c=2 a,3csin B=4 asin C.(1)求cos B的值.求sin 一的值.【解析】(1)在ZABC中，由正弦定理=，得bsin C= csin B,又由3csin B=4 asin C,得3bsin C=4 asin C,因為sin

13、C總，所以3b=4 a.又因為 b+c=2a,得至U b=-a,c=-a.由余弦定理可得 cos B=-.(2)由(1)可得 sin B=-=,sin 2 B=2sin Bcos B=-,cos 2 B=cos 2B-sin 2B=-，故sin _ =sin 2 Bcos-+cos 2 Bsin-=-x- x-=-.10 .(2019江蘇高考T15)在MBC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.(1)若 a=3 c,b= 一,cos B=-,求 c 的值.(2)若=，求 sin - 的值.【命題意圖】 本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數關系、誘導公式等基礎知識，考查運算求解能力【解題指南】(1)由題意結合余弦定理得到關于c的方程，解方程可得邊長c的值.(2)由題意結合正弦定理和同角三角函數基本關系首先求得cos B的值，然后由誘導公