1、第一節(jié)：相似形與相似三角形基本概念：1.相似形： 對應角相等， 對應邊成比例的兩個多邊形，我們稱它們互為相似形。2.相似三角形：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形，叫做相似三角形。1幾個重要概念與性質(zhì)（平行線分線段成比例定理）（1）平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例.已知 a b c,ADaBEbCFcABDE或 ABDE或 BCEF或BCEF或 ABBC可得 BCEF ACDF ABDFACDF DEEF 等.（ 2）推論 :平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線) 所得的對應線段成比例 .ADEBCADAE或BDEC或 ADAE由 DE BC 可

2、得： DBECADEAABAC .此推論較原定理應用更加廣泛 ,條件是平行 .（ 3）推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線 )所得的對應線段成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊.此定理給出了一種證明兩直線平行方法,即：利用比例式證平行線.（ 4）定理 :平行于三角形的一邊 ,并且和其它兩邊相交的直線 ,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例 .（ 5）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。比例線段：四條線段a， b，c， d 中，如果a 與 b 的比等于c 與 d 的比，即a c ，bd那么這四條線段a， b， c， d 叫做成比例線段

3、，簡稱比例線段。2比例的有關性質(zhì)比例的基本性質(zhì)：如果ac0），b，那么 ad=bc。如果 ad=bc（a， b， c，d 都不等于那么 ac 。dbda c ，那么 a b c d 。合比性質(zhì)：如果bdbdacmacma等比性質(zhì)：如果= (b+d+n 0) ，那么dnbbdnbb 是線段 a、 d 的比例中項，則b2 ad.典例剖析例 1： 在比例尺是1：38000 的南京交通游覽圖上，玄武湖隧道長約7cm，則它的實際長度約為 _Km. 若 a = 2則 ab =_.b3b 若 a2b= 9則 a： b=_.2ab53相似三角形的判定（1）如果兩個三角形的兩角分別于另一個三角形的兩角對應相等，

4、那么這兩個三角形相似。（ 2）兩邊對應成比例并且它們的夾角也相等的兩個三角形相似。（ 3）三邊對應成比例的兩個三角形相似。補充：相似三角形的識別方法(1) 定義法：三角對應相等，三邊對應成比例的兩個三角形相似。(2) 平行線法： 平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線 )相交， 所構成的三角形與原三角形相似。注意：適用此方法的基本圖形，(簡記為 A 型， X 型)ADE(3) 三邊對應成比例的兩個三角形相似。EDA(4) 兩邊對應成比例并且它們的夾角也相等的兩個三角形相似。(5) 兩角對應相等的兩個三角形相似。BBCC(6) 一條直角邊和斜邊長對應成比例的兩個直角三角形相似。(7)

5、被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似。【基礎練習】（1）如圖 1，當時， ABC ADE（2）如圖 2，當時， ABC AED 。（3）如圖 3，當時， ABC ACD 。AAADEDDEBCBBCC圖 1圖2圖3小結(jié)：以上三類歸為基本圖形：母子型或A 型（3）如圖 4，如圖 1，當 AB ED 時，則。（4）如圖 5，當時，則。BA'AB'CC'EDE'D'小結(jié)：此類圖開為基本圖開：兄弟型或X 型典例剖析例 1：判斷所有的等腰三角形都相似（）所有的直角三角形都相似（）所有的等邊三角形都相似（）所有的等腰直角三角形都相似（）例 2：如圖，

6、ABC 中， AD 是 BAC 的平分線， AD 的垂直平分線交AD 于 E,交 BC 的延長線于 F求證： ABF CAF.AEBDCF例 3：如圖：在 Rt ABC 中， ABC=90 °， BD AC 于 D ，若 AB=6A；AD=2 ；則 AC=； BD=；BC=；DBC例 3：如圖：在 Rt ABC 中， ABC=90 °， BD AC 于 D ，若 E 是 BC 中點，ED 的延長線交BA 的延長線于F，求證： AB : AC=DF : BFFADBEC第二節(jié)：相似三角形的判定(一 )相似三角形：定義1、對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形，叫做相似三角形溫馨

7、提示：當且僅當一個三角形的三個角與另一個(或幾個 )三角形的三個角對應相等，且三條對應邊的比相等時， 這兩個 (或幾個 )三角形叫做相似三角形，即定義中的兩個條件，缺一不可；相似三角形的特征：形狀一樣，但大小不一定相等；對應中線之比、對應高之比、對應角平線之比等于相似比。兩個鈍角三角形是否相似，首先要滿足兩個鈍角相等的條件。2、相似三角形對應邊的比叫做相似比溫馨提示：全等三角形一定是相似三角形，其相似比 k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其區(qū)別在于全等要求對應邊相等，而相似要求對應邊成比例相似比具有順序性例如 ABC AB的C對應邊的比， 即相似比為k，則 ABC ABC 的相似比，當且僅

8、當它們?nèi)葧r，才有k=k=1相似比是一個重要概念， 后繼學習時出現(xiàn)的頻率較高， 其實質(zhì)它是將一個圖形放大或縮小的倍數(shù)，這一點借助相似三角形可觀察得出3、如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形4、相似三角形的預備定理：如果一條直線平行于三角形的一條邊，且這條直線與原三角形的兩條邊 (或其延長線 )分別相交，那么所構成的三角形與原三角形相似溫馨提示：定理的基本圖形有三種情況，如圖其符號語言： DE BC ， ABC ADE ；這個定理是用相似三角形定義推導出來的三角形相似的判定定理它不但本身有著廣泛的應用，同時也是證明下節(jié)相似三角形三個判定定理的基礎，故

9、把它稱為“預備定理 ”；有了預備定理后，在解題時不但要想到上一節(jié)“見平行，想比例 ”，還要想到 “見平行，想相似 ”(二 )相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理 (1) ：兩角對應相等，兩三角形相似判定定理 (2) ：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似判定定理 (3) ：三邊對應成比例，兩三角形相似溫馨提示：有平行線時，用上節(jié)學習的預備定理；已有一對對應角相等 (包括隱含的公共角或?qū)斀?)時，可考慮利用判定定理 1 或判定定理 2；已有兩邊對應成比例時，可考慮利用判定定理2 或判定定理3但是，在選擇利用判定定理 2 時，一對對應角相等必須是成比例兩邊的夾角對應相等例 1.如圖三

10、角形 ABC 中，點 E 為 BC 的中點，過點 E 作一條直線交 AB 于 D 點 ， 與 AC 的延長線將于 F 點，且 FD=3ED ，求證： AF=3CF2、直角三角形相似的判定：斜邊和一條直角邊對應成比例，兩直角三角形相似溫馨提示：由于直角三角形有一個角為直角，因此，在判定兩個直角三角形相似時，只需再找一對對應角相等，用判定定理1，或兩條直角邊對應成比例，用判定定理2，一般不用判定定理 3 判定兩個直角三角形相似；如圖是一個十分重要的相似三角形的基本圖形，圖中的三角形，可稱為“母子相似三角形 ”，其應用較為廣泛如圖，可簡單記為：在Rt ABC 中， CDAB ，則 ABC CBD A

11、CD 直角三角形的身射影定理：222AC =AD*ABCD =AD*BDBC =BD*AB總結(jié)：尋找相似三角形對應元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對應元素是分析與解決相似三角形問題的一項基本功 通常有以下幾種方法：(1)相似三角形有公共角或?qū)斀菚r，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對應角；相似三角形中最大的角 (或最小的角 ) 一定是對應角；相似三角形中，一對相等的角是對應角，對應角所對的邊是對應邊，對應角的夾邊是對應邊；(2) 相似三角形中， 一對最長的邊 (或最短的邊 )一定是對應邊； 對應邊所對的角是對應角；對應邊所夾的角是對應角2、常見的相似三角形的基本圖形：學習三角形相似的判定， 要與三

12、角形全等的判定相比較， 把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來； 對一些出現(xiàn)頻率較高的圖形， 要善于歸納和記憶； 對相似三角形的判定思路要善于總結(jié)，形成一整套完整的判定方法如：(1)“平行線型 ”相似三角形， 基本圖形見上節(jié)圖 “見平行， 想相似 ”是解這類題的基本思路；(2)“相交線型 ”相似三角形，如上圖其中各圖中都有一個公共角或?qū)斀恰耙娨粚Φ冉牵伊硪粚Φ冉腔驃A等角的兩邊成比例”是解這類題的基本思路；(3) “旋轉(zhuǎn)型 ”相似三角形，如圖若圖中1= 2， B= D( 或 C= E)，則 ADE ABC ，該圖可看成把第一個圖中的ADE 繞點 A 旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的第三節(jié)相似三角

13、形中的輔助線一、作平行線例 1. 如圖，ABC 的 AB 邊和 AC 邊上各取一點D 和 E，且使 AD AE ，DE 延長線與BC延長線相交于F，求證：BFBDCFCEBDACEF例 2. 如圖， ABC 中， AB<AC ，在 AB 、AC 上分別截取 BD=CE ，DE ，BC 的延長線相交于點 F，證明： AB ·DF=AC · EF。二、作垂線例 3. 如圖從ABCD頂點C 向AB和AD的延長線引垂線CE和CF，垂足分別為E、 F，求證： ABAEADAFAC 2。FDCABE三、作延長線例 4. 如圖，在梯形 ABCD 中， AD BC，若 BCD 的平分

14、線 CH AB 于點 H， BH=3AH ，且四邊形 AHCD 的面積為 21，求 HBC 的面積。例 5. 如圖， RtABC 中， CD 為斜邊 AB 上的高， E 為 CD 的中點， AE 的延長線交BC于 F， FGAB 于 G，求證： FG 2 =CFBF四、作中線例 6 如圖，ABC 中，AB AC ，AE BC 于 E，D 在 AC 邊上， 若 BD=DC=EC=1 ，求 AC 。五、過渡法（或叫代換法）有些習題無論如何也構造不出相似三角形，這就要考慮靈活地運用“過渡 ”，其主要類型有三種，下面分情況說明1、 等量過渡法（等線段代換法）遇到三點定形法無法解決欲證的問題時， 即如果

15、線段比例式中的四條線段都在圖形中的同一條直線上， 不能組成三角形， 或四條線段雖然組成兩個三角形， 但這兩個三角形并不相似，那就需要根據(jù)已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來代替這條線段，如果沒有， 可考慮添加簡單的輔助線。然后再應用三點定形法確定相似三角形。只要代換得當，問題往往可以得到解決。當然，還要注意最后將代換的線段再代換回來。例 1：如圖 3，ABC 中，AD 平分 BAC ， AD 的垂直平分線 FE 交 BC 的延長線于 E求證： DE2 BE·CE2、 等比過渡法（等比代換法）當用三點定形法不能確定三角形，同時也無等線段代換時，可以考慮用等比代換法，即考慮利用

16、第三組線段的比為比例式搭橋，也就是通過對已知條件或圖形的深入分析，找到與求證的結(jié)論中某個比相等的比，并進行代換，然后再用三點定形法來確定三角形。例 2：如圖 4，在 ABC 中， BAC=90° ， AD BC ， E 是 AC 的中點， ED 交 AB 的延長線于點 F求證： AB DF ACAF3、等積過渡法（等積代換法）思考問題的基本途徑是： 用三點定形法確定兩個三角形， 然后通過三角形相似推出線段成比例；若三點定形法不能確定兩個相似三角形，則考慮用等量（線段）代換，或用等比代換， 然后再用三點定形法確定相似三角形， 若以上三種方法行不通時， 則考慮用等積代換法。例 3：如圖

17、5，在 ABC 中， ACB=90° ，CD 是斜邊 AB 上的高， G 是 DC 延長線上一點，過 B 作 BE AG ，垂足為 E，交 CD 于點 F求證： CD 2DF·DG 六、證比例式和等積式的方法：對線段比例式或等積式的證明：常用 “三點定形法 ”、等線段替換法、中間比過渡法、面積法等若比例式或等積式所涉及的線段在同一直線上時，應將線段比“轉(zhuǎn)移 ”(必要時需添輔助線) ，使其分別構成兩個相似三角形來證明例 1如圖 5 在 ABC 中， AD、 BE 分別是 BC、 AC 邊上的高， DF AB 于 F，交 AC 的延長線于 H ，交 BE 于 G，求證：(1)F

18、G / FAFB / FH(2)FD 是 FG 與 FH 的比例中項A例 2如圖在 ABC 中， AD 是 BC 邊上的中線， M 是 AD 的中點， CM 的延長線E交 AB于 N求： AN： AB 的值；F GB圖 5DCEHANMBDC例 3如圖過 ABC 的頂點 C 任作一直線與邊AB 及中線 AD 分別交于點F 和 E過點D 作 DM FC 交 AB 于點 M (1)若 SAEF ： S 四邊形 MDEF 2： 3，求 AE： ED ；(2) 求證： AE×FB 2AF×EDCDE第四節(jié)相似三角形難題集一、分類討論：例 1 如圖在正方形 ABCD 的邊長為 1，P

19、 是 CD 邊的中點， Q 在線段 BC 上，當 BQ 為何值時， ADP 與 QCP 相似？ADP0B圖QC例 2如圖在梯形ABCD 中， AD BC， A 90，AB 7，AD 2，BC 3試在邊 AB 上確定點 P 的位置，使得以 P、A、D 為頂點的三角形與以 P、 B、 C 為頂點的三角形相似AP1P2P3B二：相似三角形中的動點問題：1.如圖，在 Rt ABC 中， ACB=90°，AC=3 ，BC=4，過點 B 作射線 BB1 AC 動點點 A 出發(fā)沿射線 AC 方向以每秒 5 個單位的速度運動，同時動點 E 從點 C 沿射線 AC 以每秒 3 個單位的速度運動 過點

20、D 作 DH AB 于 H，過點 E 作 EF AC 交射線 BB1 G 是 EF 中點，連接 DG設點 D 運動的時間為 t 秒（ 1）當 t 為何值時， AD=AB ，并求出此時 DE 的長度；（ 2）當 DEG 與 ACB 相似時，求 t 的值D圖 12CD 從方向于 F，2.如圖，在 ABC 中， ABC 90°，AB=6m ，BC=8m ，動點 P 以 2m/s 的速度從 A 點出發(fā)，沿 AC 向點 C 移動同時，動點 Q 以 1m/s 的速度從 C 點出發(fā)，沿 CB向點 B 移動當其中有一點到達終點時，它們都停止移動設移動的時間為 t 秒（1）當 t=2.5s 時，求 C

21、PQ 的面積；求 CPQ 的面積 S（平方米）關于時間t （秒）的函數(shù)解析式；（2）在 P， Q 移動的過程中，當CPQ 為等腰三角形時，求出t 的值3.如圖 1，在 Rt ABC 中，ACB 90°，AC 6， BC 8，點 D 在邊 AB 上運動， DE 平分 CDB 交邊 BC 于點 E， EM BD ，垂足為 M ， EN CD，垂足為 N（1）當 AD CD 時，求證： DE AC ；（2）探究： AD 為何值時， BME 與 CNE 相似？4.如圖所示，在 ABC 中， BA BC 20cm， AC 30cm，點 P 從 A 點出發(fā)，沿著 AB 以每秒 4cm 的速度向

22、B 點運動；同時點 Q 從 C 點出發(fā)，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 點運動，當 P 點到達 B 點時， Q 點隨之停止運動設運動的時間為x（ 1）當 x 為何值時， PQ BC？（ 2） APQ 與 CQB 能否相似？若能， 求出 AP 的長；若不能說明理由5.如圖，在矩形 ABCD 中， AB=12cm ，BC=6cm ，點 P 沿 AB 邊從 A 開始向點 B 以 2cm/s 的速度移動；點 Q 沿 DA 邊從點 D 開始向點 A 以 1cm/s 的速度移動如果 P、Q 同時出發(fā)，用 t（ s）表示移動的時間（ 0 t 6）。（ 1）當 t 為何值時， QAP 為等腰直角三角形？（ 2）當 t 為何值時，以點 Q、A 、P 為頂點的三角形與 ABC 相似？三、構造相似輔助線雙垂直模型6.在平面直角坐標系xOy 中，點 A 的坐標為 (2，1)，正比例函數(shù)y=kx 的圖象與線段OA 的夾角是 45°，求這個正比例函數(shù)的表達式7.在 ABC 中， AB=， AC=4 ， BC=2 ，以 AB 為邊在C 點的異側(cè)作 ABD ，使 ABD為等腰直角三角形，求線段CD 的長8.