1、三、對質心的動能定理：質點組相對質心平動參考系的動能變化定理就稱為對質心的動能定理。質心平動參考系一般來說不是慣性系，但是可以證明相對質心的動能定理在形式上和上次課講到的慣性系中的動能定理一樣。現在我們先來找出質點組對質心的動能和相對定點的動能之間的關系，這兩者之間的關系就是柯尼希定理。1、 柯尼希定理：如圖所示：0-x、y、z是固定坐標系即慣性系，是質心平動坐標系它不一定是慣性系，若作加速運動就是非慣性系質點組內任一質點相對兩個不同坐標系的位矢的關系是： 將此關系式兩邊對t求一次導數，然后代入質點組對定點O的動能表達式中去，則有： 我們在討論對質心的動量矩定理時已經推導過： 左式右邊中的第一

2、項是質點組隨質心一起平動時的動能，也就是質點組全部質量集中在質心而運動時的動能，所以就稱它為質心動能。第二項是質點組中各個質點相對于質心運動時的動能，對剛體來說只能是相對質心的轉動動能。這個等式表明，質點組對慣性系的動能T就等于它的質心的動能加上相對于質心的動能，這個關系就是著名的柯尼希定理。2、質心動能定理：有了柯尼希定理，也就可以著手推出質點組對質心的動能定理。上一次課我們已經推出了質點組對定點也就是慣性系的動能定理：和柯尼希定理：質點組對定點o的動能。并考慮到質點相對固定點的位矢與相對相對質心的位矢之間的關系：，我們將這兩個關系式代到（1）式中去就可以得到： 這等式右邊的第一項應等于零。

3、又根據質心運動定理知 等式右邊的第三項和等式左邊的第一項就可抵消掉，于是上面的等式就可寫成： 就是質點組相對質心的動能，如果令它為T的話： 則上式又可簡單地寫成：，此等式表明了質點相對質心的動能的微分就等于質點組相對質心位移時內力和外力所作的元功之和。因此它就是質點組對質心的動能定理，在形式上它與相對固定點的動能定理完全相同。但是我們要注意：只有在質心這個特殊的非慣性系中，質點組的動能與功的關系在形式上才和慣性系中一樣，對于其他一般的非慣性系是不會有這樣的結論。不管對哪一個物理定理應用時必須要注意到它的前提是什么，條件是什么，適用范圍是什么，不能隨意外推。對質心動能定理它的適用范圍就是質心平動

4、參考系，對一般的動點是不適用的。到這里為止，我們總共花了兩次課多一點的時間，把質點組的三個基本定理講完了。最后就三個基本定理作個小結，然后再舉些具體例子來應用它的求解。三定理小結：質點組的三個定理與質點的三個基本定理有什么區別？1、質點組的三個定理具有一個共同的特點，這個共同的特點是揭示了質點組的整體動力學性質。我們由前面對三個定理的推導過程可以看出，三個定理都是從質點運動微分方程 出發，然后按質點組的這一普通概念推出的。在推導過程中，并沒有什么新的假定加入，又加上質點組本身沒有什么特殊的限定，所以它們具有普通性意義，它們不僅適用于剛體，也適用于連續介質等各種不同的質點組。另一方面要注意，它們

5、是不足以解決每一個質點的運動，這因為質點組的三個定理只說明了對質點組的運動與力的總體特征。動量定理只能給出三個標量方程。動量矩定理的標量方程也只有三個，動能定理是個標量關系式，所以動能定理的方程只有一個，加起來總共只有七個方程。然而，我們知道描寫一個質點的運動需要3個獨立坐標，也就是說一個質點有三個自由度。那么，2個質點的自由度就是6個，3個質點的自由度是9個，4個質點的自由度是12個，質點組內質點越多自由度也就越多。要想解出每個質點的運動，就需要建立與自由度數相等的獨立方程，即3個定理只有7個方程獨立的只有6個，當質點組內只有兩個質點時，才可以用三個定理解出每個質點的運動。除此之外光靠三個定

6、理是解不出來的，還得結合運用其它關系。說三個定理是不足以解決每一個質點的運動的。正是這種原因，好多書上都不講它的具體應用，只是給出三個定理，其目的是為了講剛體服務的，把它們只是作為研究剛體力學的基礎。2、是剛體力學的基礎。雖然有些書上不講三個定理的具體應用，但是我想在課堂上還是有必要講一下它的具體應用，也就是說：如何應用這三個定理來解題。3、如何解題：對比較簡單的質點組動力學問題，我們可以直接應用質點組的三個定理來求解。直接應用三定理。但是大部分質點組問題并不是這么簡單的，不可能只利用這三個定理就可直接求出，除了要用這三個定理之外，還得加上質點組內各質點間的約束關系和配合其他定理的應用才能得到

7、解決。加約束關系，應用其他定理：找約束關系是有技巧的，這種技巧是沒有統一的章法可循，只有通過多解題，多練習，才能熟能生巧。至于如何找約束關系下面會舉例說明。三個定理除了直接分別應用之外，根據問題的需要也可聯合起來使用。三定理聯合使用：這種題目就屬綜合性題目，有時還得對個別的質點應用F=ma來幫助求解。不管哪類問題在列方程的時候，方程的個數不能少于未知量的個數，少于未知量的個數，將解不出結果。這個道理我想大家都是知道的，在這里我只不過是提醒一下而已。舉例： 例1在光滑的水平面上，放有一個圓環，它的半徑為a，質量為M。有一小蟲，質量為m，在環上爬行，問小蟲和圓環中心的運動軌跡如何？解：由題意我們可

8、以知道：由圓環和小蟲組成的系統 是有相對運動的系統。在開始的時候，即t=0刻， 小蟲開始爬行。在小蟲沒有開始爬行的時候，系統是靜 止不動的，小蟲和圓環組成的系統在t=0時刻，它的質心是靜止不動的，即質心速度等于零：Vc=0。題目告訴我們水平面是光滑的，這就等于告訴我們，圓環在水平面上不受摩擦作用。那么對圓環和小蟲組成的系統來說在水平方向還有沒有受到其他外力的作用呢？沒有。垂直水平面方向的力是一對平衡力，其合力為零，另外它與我們所研究的問題無關，我們也可以不考慮它在垂直方向上的受力情況。既然系統所受的外力之和等于零，那么由質心運動定理直接可以知道系統的質心加速度是等于零的：。所以系統的質心在空間

9、是固定不動的。由于質心是固定的，我們只要把質心作為固定坐標原點，那么我們就比較容易找出小蟲和圓環中心的運動軌跡。而這個運動系統的質心位置是很容易求得。根據質心的定義可以知道，我們所研究的系統它的質心必定在圓環中心與小蟲的連線上，假設系統的質心c離圓環中心的距離為MC，根據質心的定義可得：就等于：求環心到系統質心c的距離時可以把圓環中心看作計算質心的坐標原點O，分子中M應乘以0。m應乘以圓環的半徑。由此結果可馬上得到小蟲離質心c的距離 。所得到的兩個結果表明和都是常數，這就說明了小蟲和圓環在運動過程中，小蟲和環心相對質心c的距離始終保持不變。所以小蟲的運動軌跡是如圖所示的以質心c為圓心的一個圓形

10、軌道，其半徑就等于 。圓環中心的軌道也是以質心c為圓心的一條圓形軌道。這個例子的求解說明了兩點：1.對有相對運動的系統，應該先求出質心的運動，然后就比較容易求出各部分的運動情況。通過此題解得的結果還說明了：小蟲和圓環中心的運動軌跡的形狀，與小蟲相對圓環的運動速度無關。在上面的求解過程中根本沒有用到小蟲的相對速度這個條件，因此，不管小蟲相對圓環的運動是勻速的還是不勻速的，甚至也可以是爬爬停停的，它們的運動軌跡是一樣的，不會因為小蟲的相對運動情況的不同而發生變化。到這里我們對討論課中提出的一個問題，即：人從船的一端走到另一端，不管他走的方式怎么樣，人和船相對地面走過的距離好不好計算？這里仍然假設船

11、與水之間摩擦可以略去。這個問題與我們上面所舉的例子相似，現在我們自然很容易求解，不必像普通力學那樣一定要先假設人相對船作勻速運動。然后再應用動量守恒定律來求解。解：例2： 一條質量比較小但具有彈性的繩子（質量比較小就意味著繩子的質量可以忽略不計），其兩端系有兩物體P和，質量分別為m和，放在一光滑的水平面上，物體之間的距離等于繩子的固有長度，物體P沿著長度增加的方向受到打擊，給m一個沖量I，見左圖。求出繩子恢復其固有長度后兩個物體的速度。還問p能否追上？ 解：能夠追得上m。怎么知道的？通過求解可以得知。在這個例子中我們應該取什么為研究對象？研究對象的選取，應該要根據題意的要求，為使解題方便起見來

12、選取的。在這個例子中，題目要我們求的是m受到沖量I的作用以后，繩子恢復其原來的固有長度后兩物體m和的速度，而繩子沒有伸長時的長度就叫固有長度。只要m、的速度求出了，也就可以知道能否追上m。雖然題目要我們求的是m和的運動速度，但是，如果我們分別取m和為研究對象，應用質點力學來求解的話，必須要知道作用在m和上的所有力，而現在題意并沒有告訴我們彈性繩子對m和的作用力，這條路顯然是走不通的。如果我們取m、和彈性繩子組成的系統作為研究對象，此研究對象就是一個質點組，那么對此質點組來說，它所受的外力都是已知了。彈性力就屬系統的內力，在應用質點組動量定理或動量守恒時就不必考慮這些內力，而根據題意告訴我們的條

13、件很明顯是要用到動量定理和動量守恒定律的。因此在這個例子中，我們應取 +m+彈性繩子 作為研究系統。研究對象確定了，接下去第二步就是對研究對象進行受力分析和運動分析。根據題意給我們的條件，可知我們所研究的系統，除了m受到打擊的這一瞬間要受到一沖量I作用之外，在水平方向再也沒有受到其它外力的作用，而沖量是已知的、受力情況明確了。系統的運動過程又是怎樣的呢？系統從受到一沖量作用到達繩子又重新恢復到原來固有長度時的整個過程中要經歷兩個不同的階段。第一個階段就是：m受到沖量作用的階段，第二個階段是在m受打擊的過程結束后，繩子的長度要發生變化第二個階段指的是繩子從原來的固有長度又變化到固有長度的階段。因

14、為在第一階段打擊所經歷的時間是很短的，可以認為在短暫的打擊過程中m保持不動，打擊過程一結束，m獲得的速度我們就令它為V，此時認為m仍然是靜止不動的，這樣假設可以嗎？當然是可以的。所以第一階段繩子的長度并沒有變化。在第二階段里，由于m受打擊的過程結束后，m就以初速度V向前運動，繩子就要被拉長，由于彈性繩子的拉長，m和都要受到彈性力的作用。其結果就會使得的速度由零逐漸增加，而m的速度卻是逐漸減少的，當的速度增加到大于m的速度是，繩子就開始往回縮向恢復到原來的固有長度方向進行。第二個階段就是系統所經歷的從彈性繩子的固有長度再變化到固有長度的階段。對研究系統的受力情況和所經歷的過程都清楚了。那末我們根

15、據每個階段的特點就可列出它們的相應方程，對第一階段我們根據質點組的動量原理可列出它的一條運動方程為：m·0 + m·V 0 = I m·V = I （1），在這里我們是取水平向右的方向為x軸的正方向，I和v都是正的。由于在第二個階段系統在水平方向上沒有受到外力作用，其實在垂直于平面的方向上受到外力之和也是等于零的，所以對第二個階段完全可以應用動量守恒定律列出它的一條運動方程，為此我們令彈性繩子恢復到固有長度時，m的速度為V1, 的速度為v2，于是根據動量守恒定律，則有繩子恢復到固有長度時系統的總動量：（2）由此可見第一階段和第二階段并不是絕然無關的，而是由打擊結束

16、后的速度V聯系起來的，方程中的速度V、V1和V2都是未知量，三個未知量只有兩條方程，顯然是無法求解的，還得找出一條獨立方程，方可求解。由前面的分析我們已知第二個階段動量是守恒的。那么，第二階段的機械能是否守恒呢？系統的動量守恒并不等于它的機械能就一定守恒，這一點我們在前面講課的時候已經強調過的。在實際問題中，機械能是否守恒，必須根據守恒條件來判斷。我們所研究的系統在受打擊后的過程中沒有受到外力作功，而內力是彈性力，系統的機械能是守恒的。雖然題意沒有告訴我們與繩子彈性力相關的勢能，但是由于繩子在m受打擊后，繩子拉長又再恢復固有長度的這個過程中，彈性力所作的功等于零。所以在第二階段的初末狀態不存在

17、彈性勢能之差，所以對系統我們可以寫出它的機械能守恒關系式為：（3）三個方程三個未知，當然就可以解出它們的結果： 能夠追上m，由上面的討論可見例2是一個定理和二個守恒定律綜合應用的例子，下面再舉一個要連合用到約束關系和F=ma的例子。例3、如圖所示，有一質量為m1的質點，沿傾角為a的光滑鍥子滑下，鍥子本身又可在光滑水平面上自由滑動。 求m1和鍥子它們各自在水平方向上的加速度a1=?,a2=? 解：這個例子要我們求的是質點m1在水平方向的加速度，由于m1受到斜面的約束這個加速度與鍥子的運動情況顯然是有關的，而所要求的鍥子在 水平方向的加速度a2其實就是鍥子的平動加速度，既然質點與鍥子之間彼此有相對運動，且它們之間的相互作用力也是未知的。這樣我們根據上面例1的解題經驗。可以取質點m1和鍥子m2組成的系統作為研究對象，可以先考慮用質心運動定理，求出質心運動微分方程，然后再由質心的運動去找出系統各組成部分的運動。至于質心的運動與