1、圓的方程 B一、目標與策略 明確學習目標及主要的學習方法是提高學習效率的首要條件,要做到心中有數!學習目標:1. 掌握圓的標準方程的特點,能根據所給有關圓心、半徑的具體條件準確地寫出圓的標準方程,能運用圓的標準方程正確 地求出其圓心和半徑,解決一些簡單的實際問題,并會推導圓的標準方程 .2. 掌握圓的一般方程的特點,能將圓的一般方程化為圓的標準方程從而求出圓心的坐標和半徑;能用待定系數法,由已知 條件導出圓的方程.學習策略:學習圓的方程,仍需加強對點的軌跡的理解,先回顧怎樣用動點的軌跡來定義圓.求圓的圓的方程,關鍵是確定圓的圓心和半徑長,可以采用直接代入法或待定系數法來求解.二、學習與應用 1

2、. 已知兩點 (111222, , P x y P x y 、 ,則 12|PP = . 2. 圓的定義: . “凡事預則立,不預則廢” .科學地預習才能使我們上課聽講更有目的性和針對 性.我們要在預習的基礎上,認真聽講,做到眼睛看、耳朵聽、心里想、手上記.要點梳理預習和課堂學習 認真閱讀、理解教材,嘗試把下列知識要點內容補充完整,帶著自己預習的疑惑認真聽課學習.課堂筆記或者其它補充填在右欄.預習和課堂學習更多知識點解析請學習網校資源 ID :#40521#402664知識回顧復習學習新知識之前,看看你的知識貯備過關了嗎? 要點一、圓的標準方程,其中 (a b, 為圓心, r 為半徑.要點詮釋

3、:(1如果圓心在坐標原點,這時 00a b=, ,圓的方程就是 .有關圖 形特征與方程的轉化, 如:圓心在 x 軸上 b=0; 圓與 y 軸相切時 |a r=; 圓與 x 軸相切時 |b r =; 與坐標軸相切時, |a b r=;過原點 222a b r+=.(2圓的標準方程 222( (x a y b r-+-=圓心為 ,半徑為 ,它顯 現了圓的幾何特點.(3標準方程的優點在于明確指出了圓心和半徑.由圓的標準方程可知,確定一個圓的 方程,只需要 a 、 b 、 r 這三個獨立參數,因此,求圓的標準方程常用定義法和待定系數法. 要點二、點和圓的位置關系如果圓的標準方程為 222( (x a

4、y b r-+-=,圓心為 (C a b, ,半徑為 r ,則有.(1若點 (00M x y, 在圓上(222. 00.|CM r x a y b r-+-.(2若點 (00M x y, 在圓外(222. 00.|CM r x a y b r-+-.(3若點 (00M x y, 在圓內(222. 00.|CM r x a y b r-+-.要點三、圓的一般方程當.>時, 方程 220x y Dx Ey F+=為 圓心, 為半徑.要點詮釋:由方程 220x y Dx Ey F+=得22224224D E D E Fx y+-+= (1 當 2240D E F+-=時 , 方 程 只 有 實

5、 數 解 ,22D Ex y=-=-. 它 表 示 一 個 點 .(2當 2240D E F+-<時,方程(3當 2240D E F+->時,可以看出方程表示以 為圓心,為半徑的圓. 要點四、幾種特殊位置的圓的方程 要點五、用待定系數法求圓的方程的步驟求圓的方程常用 “ 待定系數法 ”. 用 “ 待定系數法 ” 求圓的方程的大致步驟是:(1根據題意,選擇標準方程或一般方程 .(2根據已知條件,建立關于 a b r、 、 或 D E F、 、 的方程組 .(3解方程組, 求出 a b r、 、 或 D E F、 、 的值, 并把它們代入所設的方程中去, 就得到所 求圓的方程 .要點六

6、、軌跡方程求 符 合 某 種 條 件 的 動 點 的 軌 跡 方 程 , 實 質 上 就 是 利 用 題 設 中 的 幾 何 條 件 , 通 過 “ ” 將其轉化為關于變量 , x y 之間的方程。1.當動點滿足的幾何條件易于 “ 坐標化 ” 時,常采用符合某一基本曲線的定義(如圓時,常采用 ;當動點隨著另一個在已知曲 線上的動點運動時,可采用 (或稱 。2.求軌跡方程時,一要區分 “ 軌跡 ” 與 “ 軌跡方程 ” ;二要注意檢驗,去掉不合題設條件的 點或線等。3.求軌跡方程的步驟:(1建立適當的直角坐標系,用 (, x y 表示軌跡(曲線上任一點 M 的坐標;(2列出關于 , x y 的方

7、程;(3把方程化為最簡形式;(4除去方程中的瑕點(即不符合題意的點 ;(5作答。 類型一:圓的標準方程 例1.求滿足下列條件的各圓的方程:(1圓心在原點,半徑是 3;(2已知圓 C 經過 (5,1,(1,3A B 兩點,圓心在 x 軸上,則 C 的方程是(3經過點 (5,1P ,圓心在點 (8, 3C -【思路點撥】一般情況下,如果已知圓心或易于求出圓心,可用圓的標準方程來求解,用 待定系數法,求出圓心坐標和半徑 .【答案】【解析】【總結升華】舉一反三:【變式 1】圓心是(4, 1 ,且過點(5, 2的圓的標準方程是( A . (x4 2+(y+12=10 B . (x+42+(y1 2=10

8、C . (x4 2+(y+12=100 D . 22(4 (1 x y -+典型例題自主學習認真分析、解答下列例題,嘗試總結提升各類型題目的規律和技巧,然后完 成舉一反三. 課堂筆記或者其它補充填在右欄. 更多精彩內容請學習網校資源 ID : #40528#402664 【答案】例 2.求圓心在直線 2xy3=0上,且過點(5, 2和(3, 2的圓的方程。【答案】 【解析】 解法一:【總結升華】舉一反三:【變式 1】 (1 過點 (2,3, (2, 5 A B -且圓心在直線 230x y -=上; (2 與 x 圓心在直線 30x y -=上,且被直線 0x y -=截得的弦長為 。【答案】

9、 【解析】 類型二:圓的一般方程例 3.已知直線 x 2+y22(t+3x+2(14t 2y+16t4+9=0表示一個圓。(1求 t 的取值范圍;(2求這個圓的圓心和半徑;(3求該圓半徑 r 的最大值及此時圓的標準方程。【思路點撥】若一個圓可用一般方程表示,則它具備隱含條件 D 2+E2 4F >0,解題時, 應充分利用這一隱含條件.【答案】【解析】 【總結升華】 舉一反三:【變式 1】 (1求過 (2,2, (5,3,(3,1 A B C -的圓的方程,及圓心坐標和半徑;(2求經過點 (2, 4 A -且與直線 3260x y +-=相切于點(8, 6的圓的方程。【答案】【解析】(1法

10、一:法二:(2法一: 法二:【變式 2】判斷方程 ax 2+ay24(a1x+4y=0(a0是否表示圓,若表示圓,寫出圓心 和半徑長。【答案】【變式 3】方程 2222210x y ax ay a a +-=表示圓,則 a 的取值范圍是A . 2a <-或 23a > B . 203a -<< C . 20a -<< D . 223a -<<【思路點撥】在(1中,由于所求的圓過三個點,因而選用一般式,從而只要確定系數D 、 E 、 F 即可;注意到三角形外接圓的圓心為各邊的垂直平分線的交點,所以也可先求圓心, 再求半徑,從而求出圓的方程.在(2中

11、,可用圓的一般方程,但這樣做計算量較大,因此 我們可以通過作圖,利用圖形的直觀性來進行分析,從而得到圓心或半徑所滿足的條件.【答案】【解析】例 4. (1 ABC 的三個頂點分別為 A (1, 5 , B (2, 2 , C (5, 5 ,求其外 接圓的方程;(2圓 C 過點 P (1, 2和 Q (2, 3 ,且圓 C 在兩坐標軸上截得的弦長相等,求圓 C 的方程。【答案】【解析】 (1解法一:解法二:(2解法一: 解法二: 【總結升華】舉一反三:【變式 1】如圖,等邊 ABC 的邊長為 2,求這個三角形的外接圓的方程,并寫出圓心 坐和半徑長。【答案】類型三:點與圓的位置關系例 5.判斷點

12、M (6, 9 , N (3, 3 , Q (5, 3與圓 (x5 2+(y6 2=10的位置關系。 【答案】【解析】 【總結升華】舉一反三:【變式 1】已知圓的方程為 (225610x y-+-=,試判斷點 M(6, 9 、 N(3, 3 、 Q(5, 3 是在圓上、圓內還是圓外?【答案】【解析】類型四:軌跡問題例 6.等腰 ABC 的底邊一個端點 B(1, -3 ,頂點 A(0, 6 ,求另一個端點 C 的軌跡方程, 并說明軌跡的形狀.【思路點撥】可以判斷出 C 的軌跡以 A 為圓心,半徑為 |AB|的圓 . 利用直接法求出方程 . 【答案】【解析】 【總結升華】例 7.已知定點 A (4

13、, 0 , P 點是圓 x 2+y2=4上一動點, Q 點是 AP 的中點,求 Q 點的 軌跡方程。【答案】【解析】【總結升華】舉一反三:【變式 1】已知定點 A (2, 0 ,點 Q 是圓 x 2+y2=1上的動點, AOQ 的平分線交 AQ 于 M ,當 Q 點在圓上移動時,求動點 M 的軌跡方程。【答案】 【變式 2】平面內到兩定點距離的比值是一個不等于 1的常數的動點的軌跡是一個圓。 注:本表格為建議樣式,請同學們單獨建立錯題本,或者使用四中網校錯題本進行記錄. 網 校 重 要 資 源知識導學:圓的方程(提高 (#402664若想知道北京四中的同學們在學什么,請去 “ 四中同步 ” 看看吧!和四中的學生同步學習,同步提