1、 對所研究的隨機變量進行重復獨立的觀察，對所研究的隨機變量進行重復獨立的觀察，利用觀察值對隨機變量的分布作出推斷。利用觀察值對隨機變量的分布作出推斷。u總體分布類型的判斷；總體分布類型的判斷；u總體分布中未知參數的推斷總體分布中未知參數的推斷 假定某市成年男性的身高服從正態分布，假定某市成年男性的身高服從正態分布，希望得到平均身高希望得到平均身高m m： m m的大小如何的大小如何； m m大概落在什么范圍內；大概落在什么范圍內； 能否認為能否認為某一說法成立某一說法成立（如（如 m m 1.68）。）。 第一節 點估計第三節 估計量的評選標準第四節 區間估計第五節 正態總體均值與方差的區間估

2、計第六節 （0-1）分布參數的區間估計第七節 單側置信區間第一節第一節 點估計點估計 假定某市成年男性的身高服從正態分假定某市成年男性的身高服從正態分布，希望得到平均身高布，希望得到平均身高m m，如何估計？，如何估計？點估計問題的一般提法點估計問題的一般提法.,.,);(2121為相應的一個樣本值為相應的一個樣本值本本的一個樣的一個樣是是是待估參數是待估參數知知的形式為已的形式為已的分布函數的分布函數設總體設總體nnxxxXXXXxFX .),(),(2121 來估計未知參數來估計未知參數用它的觀察值用它的觀察值一個適當的統計量一個適當的統計量點估計問題就是要構造點估計問題就是要構造nnxx

3、xXXX.),(21的估計量的估計量稱為稱為 nXXX.),(21的估計值的估計值稱為稱為 nxxx., 簡記為簡記為通稱估計通稱估計 其一其一 是如何給出估計，即估計的是如何給出估計，即估計的方法問題方法問題； 其二其二 是如何對不同的估計進行評價，即估計是如何對不同的估計進行評價，即估計的的好壞判斷標準。好壞判斷標準。點估計涉及的兩個問題點估計涉及的兩個問題一、一、 矩估計矩估計法法 用樣本矩去用樣本矩去替換替換相應的總體矩相應的總體矩 通常采用原點矩通常采用原點矩1例0, ,X設總體 服從上的均勻分布 即密度函數1,0,0,xf x其他12,nXXX其中 未知是一個樣本 求的矩估計量8樣

4、本矩依概率收斂于相應的總體矩樣本矩依概率收斂于相應的總體矩 llpnililXEXnAm m 11樣本矩的連續函數依概率收斂于相應的樣本矩的連續函數依概率收斂于相應的總體矩的連續函數總體矩的連續函數. . kpkgAAgm mm m,11., 0,221222的的矩矩估估計計量量和和求求是是一一個個樣樣本本又又設設均均為為未未知知和和但但且且有有都都存存在在和和方方差差的的均均值值設設總總體體 m m m m m mnXXXX ,1XA m m2122AA niiXXn1221.)(112 niiXXn例例3 3 總體均值與方差的矩估計量的表達式總體均值與方差的矩估計量的表達式不因不同的總體分

5、布而異不因不同的總體分布而異. .矩估計法的優缺點矩估計法的優缺點n矩估計法的優點：簡單易行，不需要矩估計法的優點：簡單易行，不需要知道總體的分布形式，只需要知道總知道總體的分布形式，只需要知道總體若干階矩的形式；體若干階矩的形式；n矩估計法的缺點：總體分布形式已知矩估計法的缺點：總體分布形式已知的情形下，矩估計法不能夠充分利用的情形下，矩估計法不能夠充分利用總體分布提供的信息。總體分布提供的信息。 A同學和一位獵人一起外出打獵。同學和一位獵人一起外出打獵。 一只野兔從前方竄出，只聽一聲槍響，一只野兔從前方竄出，只聽一聲槍響，野兔應聲倒地。請推斷：是誰開槍？野兔應聲倒地。請推斷：是誰開槍？獵人

6、射擊獵人射擊最有可能最有可能一槍命中野兔。一槍命中野兔。觀察結果觀察結果 A同學和一位獵人一起外出打獵。同學和一位獵人一起外出打獵。 一只野兔從前方竄出，只聽一聲槍響，一只野兔從前方竄出，只聽一聲槍響，野兔倉皇逃走。請推斷：是誰開槍？野兔倉皇逃走。請推斷：是誰開槍？A同學射擊同學射擊最有可能最有可能一槍命不中野兔。一槍命不中野兔。 看誰看誰最有可能最有可能產生觀察結果；產生觀察結果； 或者說，看誰使得觀察結果出現的或者說，看誰使得觀察結果出現的概率最大。概率最大。 觀察結果觀察結果2. 2. 最大似然估計法最大似然估計法屬離散型屬離散型設總體設總體 X)1( ; ),P Xxp x設分布律為待

7、估參數,21的樣本的樣本是來自總體是來自總體 XXXXn,2121的概率的概率取到觀察值取到觀察值則樣本則樣本nnxxxXXX發生的概率為發生的概率為即事件即事件nnxXxXxX ,2211 );,()(21 nxxxLL設設x1,x2,.,xn是相應的一個樣本值是相應的一個樣本值. 觀察觀察結果結果),;(1 niixp, 樣本的似然函數樣本的似然函數.,), 1(21的最大似然估計量的最大似然估計量求求個樣本個樣本的一的一是來自是來自設設pXXXXpBXn例例4 4求最大似然估計量的步驟求最大似然估計量的步驟:121() ( )(,; )( ; )nniiLL x xxp x一寫出似然函數

8、1() ln ( )ln( ; )niiLp x二取對數.,0d)(lnd,d)(lnd )( 的的最最大大似似然然估估計計值值解解方方程程即即得得未未知知參參數數并并令令求求導導對對三三 LL屬連續型屬連續型設總體設總體 X)2(,),;( 為待估參數為待估參數設概率密度為設概率密度為xf,21的樣本的樣本是來自總體是來自總體 XXXXn );,()(21 nxxxLL1( ; ),niif x, 樣本的似然函數樣本的似然函數例X設某電子元件的壽命 服從參數為 的指數分布12,nnx xx測得 個元件的失效時間為試求 的極大似然估計.,),(22122的最大似然估計量的最大似然估計量和和求求

9、的一個樣本值的一個樣本值是來自是來自為未知參數為未知參數設總體設總體 m m m m m mXxxxNXn解解的概率密度為的概率密度為X,e21),;(222)(2 m m m m xxf似然函數為似然函數為,e21),(222)(12 m m m m ixniL例例5,)(21ln2)2ln(2),(ln12222 niixnnLm m m m,)(21ln2)2ln(2),(ln12222 niixnnLm m m m , 0),(ln, 0),(ln222 m m m mm mLL令令,xm m 2211() .niixxn 最大似然估計值最大似然估計值,Xm m 2211() .nii

10、XXn 最大似然估計量最大似然估計量 最大似然估計法也適用于分布中含有最大似然估計法也適用于分布中含有多個未知參數的情況多個未知參數的情況. . 此時只需令此時只需令., 2 , 1, 0lnkiLi .), 2 , 1( ,iikik 的最大似然估計值的最大似然估計值數數即可得各未知參即可得各未知參個方程組成的方程組個方程組成的方程組解出由解出由 對數似然對數似然方程組方程組最大似然估計的性質最大似然估計的性質:不變性不變性 是是 的極大似然估計的極大似然估計 u 是是 u 的極大似然估計的極大似然估計ln ln (1)對于同一個參數究竟采用哪一個估計量好對于同一個參數究竟采用哪一個估計量好

11、?(2)評價估計量的標準是什么評價估計量的標準是什么?第三節第三節 估計量的評選標準估計量的評選標準 假定某市成年男性的身高服從正態分假定某市成年男性的身高服從正態分布，希望得到平均身高布，希望得到平均身高m m，如何估計？，如何估計？. ,)( ,)(),(21的無偏估計量的無偏估計量是是則稱則稱有有且對于任意且對于任意存在存在的數學期望的數學期望若估計量若估計量 EEXXXn無偏估計的實際意義無偏估計的實際意義: : 無系統誤差無系統誤差. .（一）無偏性（一）無偏性.1 , ,)1()(121的無偏估計的無偏估計階總體矩階總體矩是是階樣本矩階樣本矩總體服從什么分布總體服從什么分布論論的一

12、個樣本，試證明不的一個樣本，試證明不是是又設又設存在存在階矩階矩的的設總體設總體knikiknkkkXnAkXXXXkXEkXm mm m 例例1設總體設總體 X 的均值為的均值為m m, ,方差為方差為 2 2, , X1 1, ,X2 2, , ,Xn n 為來自總體為來自總體 X 的隨機樣本，記的隨機樣本，記 與與 分別為樣本均值與樣本方差，即分別為樣本均值與樣本方差，即.)(11 ,12121XXnSXnXniinii.)( , )( 22mSEXE則則X2S思考：總體均值思考：總體均值m m還有沒有其他的無偏估計量？還有沒有其他的無偏估計量？例例(二二) )有效性有效性.),()(

13、,),(),(212121222111有效有效較較則稱則稱若有若有的無偏估計量的無偏估計量都是都是與與設設 DDXXXXXXnn （三）相合性（三）相合性. ,),(, ,),(2121的相合估計量的相合估計量為為則稱則稱依概率收斂于依概率收斂于時時當當若對于任意若對于任意的估計量的估計量為參數為參數若若 nnXXXnXXX 作業：作業：nP173 2P173 2（1 1）（）（3 3）n 3 (1) (3)3 (1) (3)nP175 12P175 12假定某市成年男性的身高服從正態分布，假定某市成年男性的身高服從正態分布，希望得到平均身高希望得到平均身高m m： m m的大小如何的大小如何

14、； m m大概落在什么范圍內；大概落在什么范圍內； 能否認為能否認為某一說法成立某一說法成立（如（如 m m 1.68）。）。 1 1、導彈直接命中敵機將其擊毀、導彈直接命中敵機將其擊毀2 2、導彈接近敵機時引爆，依靠高速飛行的彈、導彈接近敵機時引爆，依靠高速飛行的彈片將其擊毀片將其擊毀第四節第四節 區間估計區間估計用空空導彈擊落敵機的兩種模式用空空導彈擊落敵機的兩種模式解解2122,( ,) , , , .nXXXNm mm設是來自正態總體的樣本 其中為已知為未知 求的矩估計量 ,)1 , 0(/數的數的是不依賴于任何未知參是不依賴于任何未知參NnX m m 例例1 ,1/2/ m m zn

15、XP,1 2/2/ m m znXznXP即即 分位點的定義知分位點的定義知由標準正態分布的上由標準正態分布的上 0/2z/2/2z/2., 1 2/2/ m mznXznX的置信區間的置信區間的一個置信水平為的一個置信水平為于是得于是得這樣的置信區間常寫成這樣的置信區間常寫成.2/ znX,1 2/2/ m m znXznXP即即統計量統計量統計量統計量1. 置信區間的定義置信區間的定義.1 ,1 ,1) ,(為置信度為置信度的置信下限和置信上限的置信下限和置信上限的雙側置信區間的雙側置信區間分別稱為置信度為分別稱為置信度為和和間間的置信區的置信區的置信度為的置信度為是是則稱隨機區間則稱隨機

16、區間 ,1),(),( ),(),(, 1),(0 ,);(2121212121 nnnnnXXXXXXPXXXXXXXXXxFX滿足滿足和和確定的兩個統計量確定的兩個統計量若由樣本若由樣本對于給定值對于給定值數數含有一個未知參含有一個未知參的分布函數的分布函數設總體設總體16, 1, 0.05,n取取/20.025 1.96,zz .1.961610.95 X的置信區間的置信區間得一個置信水平為得一個置信水平為由一個樣本值算得樣本均值的觀察值由一個樣本值算得樣本均值的觀察值,20. 5 x則置信區間為則置信區間為),49. 020. 5( ).69. 5,71. 4(即即.2/ znX不是隨

17、機區間不是隨機區間查表查表若反復抽樣多次若反復抽樣多次(各次得到的樣本容量相等各次得到的樣本容量相等,都是都是n)每次可確定一個區間按按頻率穩定于概率頻率穩定于概率, 在這樣多的區間中在這樣多的區間中,(1), . mm包含 真值的約占不包含 的約占 ,mm每個這樣的區間要么包含的真值，要么不包含的真值,1 2/2/ m m znXznXP即即例如例如 , 1000 0.01, 次次反復抽樣反復抽樣若若 1000 10.m則得到的個區間中不包含真值的約為個,05. 0 給定給定 ,95. 0/ 01. 004. 0 znXzP m m則又有則又有 .0.95, 04. 001. 0的置信區間的

18、置信區間為為的置信水平的置信水平也是也是故故m m znXznX00.01Z Z0.010.010.04z0.04比較兩個置信區間的長度比較兩個置信區間的長度, 4.08)(01. 004. 02nzznL ,3.922025. 01nznL . 21LL 顯然顯然置信區間短表示估計的精度高置信區間短表示估計的精度高.0.010.04 ,XzXznn0.0250.025 ,XzXznn象象N(0,1)分布那樣其概率密度的圖形是分布那樣其概率密度的圖形是單峰且對稱的情況單峰且對稱的情況, 當當n固定時固定時, 以形如以形如(4.5)那樣那樣的區間其長度為最短的區間其長度為最短.查表查表求置信區間

19、的一般步驟求置信區間的一般步驟. )(,);,(:, )1(2121 包括包括數數且不依賴于任何未知參且不依賴于任何未知參的分布已知的分布已知并且并且其中僅包含待估參數其中僅包含待估參數的函數的函數尋求一個樣本尋求一個樣本ZXXXZZXXXnn 12(3) (,; ) , naZ XXXb若能從得到等價的不等式.1);,( ,1 )2(21 bXXXZaPban使使出兩個常數出兩個常數定定對于給定的置信度對于給定的置信度第五節 正態總體均值與方差的區間估計一、單個總體的情況一、單個總體的情況二、兩個總體的情況二、兩個總體的情況.,),( , ,12221本方差本方差分別是樣本均值和樣分別是樣本

20、均值和樣的樣本的樣本總體總體為為并設并設設給定置信水平為設給定置信水平為SXNXXXn m m 一、單個總體一、單個總體 的情況的情況),(2 m mN ,)1(2為已知為已知 1 的置信區間的置信區間的一個置信水平為的一個置信水平為 m m .2/ znX 的置信區間的置信區間均值均值m m1. ,)2(2為未知為未知 , , 2/直接使用此區間直接使用此區間不能不能中含有未知參數中含有未知參數由于區間由于區間 znX,1)1()1( 2/2/ m m ntnSXntnSXP即即 1 的置信區間的置信區間的置信度為的置信度為于是得于是得 m m .)1(2/ ntnSX ),1(/ ntnS

21、Xm m又根據第六章定理三知又根據第六章定理三知 ,1)1(/)1( 2/2/ m m ntnSXntP則則0/2ta/2(n-1)/2- - ta/2(n-1)解解 有一大批糖果有一大批糖果,現從中隨機地取現從中隨機地取16袋袋, 稱得重稱得重量量(克克)如下如下: 496509502506496493505514512497510504503499508506設袋裝糖果的重量服從正態分布設袋裝糖果的重量服從正態分布, 試求總體均值試求總體均值,151 0.05, n : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt )15(025. 0t,2022. 6,75.503 sx計算得計算得 . 0.

22、95 的置信區間的置信區間的置信度為的置信度為m m,1315. 2例例2查表查表 5%9 的置信區間的置信區間的置信度為的置信度為得得m m 1315. 2162022. 675.503).1 .507, 4 .500(即即就是說估計袋裝糖果重量的均值在就是說估計袋裝糖果重量的均值在500.4克與克與507.1克之間克之間, 這個估計的可信程度為這個估計的可信程度為95%. , 22的無偏估計的無偏估計是是因為因為 S),1()1(222 nSn 根據第六章第二節定理二知根據第六章第二節定理二知 . ,未知的情況未知的情況只介紹只介紹根據實際需要根據實際需要m m 2的置信區間的置信區間方差

23、方差 2. ,1)1()1()1( 22/2222/1 nSnnP則則 1 2的置信區間的置信區間的置信度為的置信度為于是得方差于是得方差 ,1)1()1()1( 22/2222/1 nSnnP則則 ,1)1()1()1()1( 22/12222/2 nSnnSnP即即 .)1()1(,)1()1(22/1222/2 nSnnSn 1 的置信區間的置信區間的一個置信度為的一個置信度為標準差標準差 .)1(1,)1(122/122/ nSnnSn (續例續例1) 求例求例1 1中總體標準差中總體標準差 的置信度為的置信度為0.950.95的置信區間的置信區間. .解解,151 0.975,21

24、0.025,2 n : )1( 2分布表可知分布表可知查查 n )15(2025. 0 ,2022. 6 s計算得計算得 )15(2975. 0 代入公式得標準差的置信區間代入公式得標準差的置信區間).60. 9,58. 4( ,488.27,262. 6例例2查表查表二、兩個總體 的情況),(),(222211 m m m mNN設產品的某質量指標設產品的某質量指標 ),(211mNX 由于原材料的改變、或設備條件發生變化、或由于原材料的改變、或設備條件發生變化、或技術革新等因素的影響，使得產品質量指標可能技術革新等因素的影響，使得產品質量指標可能發生變化，此時產品的質量指標為發生變化，此時

25、產品的質量指標為),(222mNY 為了了解產品質量指標有多大的變化，需為了了解產品質量指標有多大的變化，需要考慮要考慮222121/ ,mm的統計推斷問題的統計推斷問題二、兩個總體 的情況),(),(222211 m m m mNN., , ,),(,),( , ,122212222121121的樣本方差的樣本方差分別是第一、二個總體分別是第一、二個總體總體的樣本均值總體的樣本均值分別是第一、二個分別是第一、二個的樣本的樣本個總體個總體為第二為第二的樣本的樣本第一個總體第一個總體為為并設并設設給定置信度為設給定置信度為SSYXNYYYNXXXnn m m m m , 的獨立性及的獨立性及由由

26、YX,1211 nNX m m,2222 nNY m m, 22212121 nnNYX m mm m可知可知 ,1, 0 22212121NnnYX m mm m 或或 1 21的置信區間的置信區間的一個置信度為的一個置信度為于是得于是得 m mm m .2221212/ nnzYX 21的置信區間的置信區間兩個總體均值差兩個總體均值差m mm m ( (方差已知）方差已知）222212, , 但為未知 1 21的置信區間的置信區間的一個置信度為的一個置信度為 m mm m .11)2(21212/ nnSnntYXw .,2)1()1( 2212222112wwwSSnnSnSnS 其中其

27、中 ),2(11 212121 nntnnSYXwm mm m( (方差未知但相等）方差未知但相等）例例7為比較為比較, 兩種型號步槍子彈的槍口速度兩種型號步槍子彈的槍口速度,隨機地取隨機地取型子彈型子彈10發發, 得到槍口速度的平均值為得到槍口速度的平均值為),s/m(5001 x),s/m(10. 1 1 s標準差標準差隨機地取隨機地取型子彈型子彈20發發, 得槍口速度平均值為得槍口速度平均值為),s/m(4962 x),s/m(20. 1 2 s標準差標準差假設兩總體都可認為近似假設兩總體都可認為近似地服從正態分布地服從正態分布,且由生產過程可認為它們的方差且由生產過程可認為它們的方差相

28、等相等, 求兩總體均值差求兩總體均值差 .950 21的置的置的置信度為的置信度為m mm m 信區間信區間. 2221的置信區間的置信區間兩個總體方差比兩個總體方差比 2.22222121 SS ),1, 1(21 nnF . , 21為未知的情況為未知的情況僅討論總體均值僅討論總體均值m mm m22111/212/2122222(1,1)(1,1) =1- SP FnnFnnS 1 2221的置信區間的置信區間的一個置信度為的一個置信度為于是得于是得 .)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS 例例9 研究由機器研究由機器 A 和機器和機器

29、B 生產的鋼管內徑生產的鋼管內徑, 隨隨機抽取機器機抽取機器 A 生產的管子生產的管子 18 只只, 測得樣本方差為測得樣本方差為均未知均未知, 求方差比求方差比 .900 的置的置的置信度為的置信度為區間區間.設兩樣本相互獨設兩樣本相互獨);mm(34. 0 221 s).mm(29. 0 222 s抽取機器抽取機器B生產的管子生產的管子 13 只只, 測測得樣本方差為得樣本方差為立立,且設由機器且設由機器 A 和機器和機器 B 生產的鋼管內徑分別服生產的鋼管內徑分別服從正態分布從正態分布),(),(222211 m m m mNN)2 , 1(,2 iii m m2221 信信標準正態分布

30、表標準正態分布表z01234567890.01.00.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.

31、66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.

32、63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.

33、61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645z0123456781.92.03.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930

34、.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770

35、.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.99980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930

36、.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98580.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96附表2-2標準正態分布表標準正態分布表z0123456781.92.0

37、3.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.9993

38、0.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.99980.95150.96080.96860.97500.9803

39、0.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98580.98900.99160.99360.9952

40、0.99640.99740.99810.99861.00002.326附表2-2標準正態分布表標準正態分布表 =50.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649