1、 第2章 離散時間信號及離散時間系統2.1 概述概述 2.2 離散時間信號離散時間信號 序列序列2.3 離散時間系統離散時間系統2.4 頻域描畫頻域描畫2.5 信號的取樣信號的取樣2.6 Z變換變換2.7 系統函數系統函數2.1 概 述 n本書研討的對象是數字信號的分析和本書研討的對象是數字信號的分析和處置。處置。n系統的作用是把信號變換成某種更符系統的作用是把信號變換成某種更符合要求的方式。合要求的方式。n學習數字信號處置課程時，要留意數學習數字信號處置課程時，要留意數字信號處置與模擬信號處置的聯絡和字信號處置與模擬信號處置的聯絡和區別。區別。2.2 離散時間信號數字序列1、數學表達式、數學

2、表達式 1集合集合 2公式：閉式、解公式：閉式、解析式析式 2、 圖示法圖示法 ( )1,3, 1,1,2,4, 1x n ( )2 ,0nx nn( )( ) ,x nx nn n為整數為整數零和沒有定零和沒有定義是兩回事義是兩回事2.2 序列的根本運算n1.加法和乘法加法和乘法n2.移位移位1( )1( )2( )ynxnxn2( )1( )2( )ynxnxn( )()y nx nm2.2 序列的根本運算n3、翻轉、翻轉n4、標乘、標乘 ( )()( )(3)( )( 3)y nxny nxny nxn ( )( ),0y nax na2.2 序列的根本運算n5、尺度變換、尺度變換n1抽

3、取抽取n2插值插值( / ),0, 1, 2,.( )0,x n qnql ly nn 為其他( )()y nx qnq，為正整數2.2 序列的根本運算n6、累加、累加 留意上、留意上、下項下項 n7、差分、差分22( )(1)( )( )(1)( )(2)2 (1)( )( )( )(1)( )( )(1)( )2 (1)(2)x nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx nx n 一階前向差分： 二階前向差分： 一階后向差分： 二階后向差分： ( )()nmy nx m2.2 序列的根本運算n8、序列的能量、序列的能量n序列的加權和表序

4、列的加權和表示示:2( )nEx n( )( ) ()( )2 (2)(1)2 ( )(1)kx nx knkx nnnnn 2-2n1( )x n2.2 常用序列n1、單位取樣序列、單位取樣序列n2、單位階躍序列、單位階躍序列1,01,( )()0,00,nnmnnmnnm1,01,( )()0,00,nnmu nu nmnnm( ) t( )u t2.2 常用序列n(n)=u(n)-u(n-1)n3、單位矩形序列0( )()( )nimu nnim101,01( )0,( )()( )( )()NNNiNnNRnnRnniRnu nu nN其他2.2 常用序列n4、實指數序列、實指數序列n

5、a為實數為實數n當當a1時時n當當-1a0時時n當當a -1時時,0( )0,0( )( )nnanx nnx na u n0a12.2 常用序列n5、正弦序列、正弦序列n6、復指數序列、復指數序列( )sin()( )( )sin()/2/,/at nTssx nAnx nx tAnTTfffradrad s 單位單位()arg ( )( )( )cos()sin()( ), ( ),arg ( )jnnnjx nnj nnx nex nenjenx n ee ex nex nn數字頻率又叫歸一化頻率數字頻率又叫歸一化頻率2.2 常用序列n7、周期序列、周期序列n正弦、余弦、復指數序列正弦、

6、余弦、復指數序列( =0)的周期性的周期性n 1) 為整數時為整數時 (2) 為有理數時為有理數時n(3) 為無理數時為無理數時( )(),( )表示整數域滿足上式的最小正整數N稱為的周期x nx nNNZZx n222()sin ()sin()2,2/x nNAnNAnNNkNk 2.3 離散時間系統 2.3 離散時間系統n線性非移變系統線性非移變系統n1、線性系統、線性系統n2、非移變系統、非移變系統1212( )( ) ( )( )T ax nbx naT x nbT x n00( ) ( )() ()y nT x ny nnT x nn2.3 離散時間系統n舉例舉例:( )5 ( )3

7、( )( )( )( )( )()( )( )nky nx ny nnx ny nc x ny nx Mny nx k 2.3 離散時間系統n舉例舉例:( )5 ( )3( )( )( )( )( )()( )( )nky nx ny nnx ny nc x ny nx Mny nx k非線性非線性,非移變非移變線性線性, 移變移變非線性非線性,非移變非移變線性線性,移變移變線性線性,非移變非移變 單位取樣呼應及系統的輸入輸出的關系 假設初始形狀為零( ) ( )( )( ) () ( )( ) ()( ) ()kkkh nTnx nx knkT x nTx knkx k h nk 單位脈沖呼

8、應及系統的輸入輸出的關系n零形狀呼應零形狀呼應:n用線性卷積計算用線性卷積計算( )( )* ( )( ) ()ky nx nh nx k h nk卷積和n卷積和的定義卷積和的定義n1. 交換律交換律n2. 結合律結合律n3. 分配率分配率( )( ) ()( )( )ky nx k h nkx nh n122112( ) ( )( )*( ) ( )( )*( )( ) ( )*( )y nx nh nh nx nh nh nx nh nh n1212( )( ) ( )( )( )*( )( )*( )y nx nh nh nx nh nx nh n卷積和圖解法圖解法(1)x(n)和和h(

9、n)進展變量代換，進展變量代換，x(k)和和h(k)(2)h(k)翻轉翻轉h(-k)(3)h(-k)移位構成移位構成h(n-k)(4) x(k)和和h(n-k)相乘，逐位相加得該點的相乘，逐位相加得該點的y(n) 卷積和計算舉例例一例一:( )( )(1)(2)(3)1,04( )0,x nnnnnnh n其它 級數求和公式: 100111,11nnrrrraaaaaa卷積和計算舉例例二例二:1,04( )0,06( )0,nnx nanh n其它其它留意求和區間留意求和區間: 5個個 卷積和計算舉例例三例三:,0( )0,0( )( )()nanx nnh nu nu nNX(n)為無限長序

10、列為無限長序列,將將X(n)反轉反轉 2.3.2系統的因果穩定性 n1. 穩定性定義穩定性定義 輸入有界，輸出也有界。輸入有界，輸出也有界。n線性非移變系統穩定的充要條件是滿足絕對可線性非移變系統穩定的充要條件是滿足絕對可和的條件和的條件:( )nSh n ( )()( ),x nM My n 如果為正常數 ，有則該系統被稱為穩定系統.證明:(1)充分性( )( )( ) ()( )()( )kkkx nMy nh k x nkh kx nkMh k 當得得證 (2)必要性*2(),( )0()( )( )0,( )0( )(0)( ) (0)( )( )( )nkkknhnh nhnSh n

11、x nh nh kyh k xkh kh kSh n 利用反證法，假設不滿足絕對可和的條件則定義這表明是穩定的必要條件. 2、因果性定義、因果性定義: 有輸入才有輸出，輸出只決議有輸入才有輸出，輸出只決議于當前時辰和過去時辰的輸入。于當前時辰和過去時辰的輸入。因果系統的充要條件是因果系統的充要條件是:實際上非因果系統是存在的實際上非因果系統是存在的,理想低通濾波器是理想低通濾波器是非因果的非因果的. 實踐上實踐上,有延時器有延時器,可以用因果系統可以用因果系統逼近非因果系統逼近非因果系統.( )0,0h nn( ) ( )( )2 (1)3 (3)( ) ( )( )2 (1)( ) ( )(

12、 )2 (1)(2)y nT x nx nx nx ny nT x nx nx ny nT x nx nx nx n是因果系統和是非因果系統。 必需指出必需指出:系統的線性系統的線性, 非移變性非移變性, 穩定性穩定性, 因果性是相互獨立的因果性是相互獨立的.但這類系統最重要但這類系統最重要.舉例:( )(1)nh na un 已知：討論系統的因果性和穩定性。 必需指出必需指出:系統的線性系統的線性, 非移變性非移變性, 穩定性穩定性, 因果性是相互獨立的。但這類系統最重要。因果性是相互獨立的。但這類系統最重要。舉例:是非因果的, 另外,( )(1)nh na un 已知：討論系統的因果性和穩

13、定性。11aa當時，該系統穩定；當時，該系統不穩定。 2.3.3 線性常系數差分方程線性常系數差分方程 線性非移變系統可以用線性常系數差線性非移變系統可以用線性常系數差分方程描畫分方程描畫.222( )( )(1)( )( )(1)( )2 (1)(2)( )(1)( )( )( )(1) ( )1( )( )(1)(1) ( )(1)( )(1)( )ny ny ny ny ny ny ny ny nDy ny nny nDy nD y nDy ny ny nD y nD Dy nDy n 一階后向差分： y二階后向差分： 用延時算子：y 22( )(1)( )( )( )20(1)( )(

14、1)( )2031( )(1)(2) 10()22kky nDy ny ny nDy nDy ny ny ny n 展開后：二階001000()()( )()()NMkrkrNMkrkra y nkb x nraby ny nkx nraa 完全解=零輸入響應+零狀態響應線性常系數差分方程的普通方式為 001201212012111221()00.0.0,1,2,.,( ).NkknNn kkkNNNNNNiNnnnnNNiiia y nkca caaaaaaaaiNy ncccc代入得：化為：假如有相異的特征根：齊次解： 1121111121111112211( ).mnmnnnmmnnN

15、mN my nc nc ncnccc如果有一個m階重根，則齊次解為：用初始條件代入求得一切系數C得到:零輸入呼應.舉例:2121212( )5 (1)6 (2)0(0)0, (1)156023( )2311( )230nnnny ny ny nyyy nccccy nn 已知差分方程：解： 特征方程為：，代入初始條件求得：， 00002001220120( )( )( )( )() ( ).().NMkrkrMrrNkkMrMrMNNkNkD y nb D x nb Dy nx nH D x nDb Dbb Db Db DH Daa Da Da DDkrrkrka現在求零狀態響應：aa 1212121212212.()111( )( )( )( )( ).( )111( )( )( )(1.) ( )1( )( )( ),( )( )* ( ),NNNNNiiiiiiiiniiNniiiniiAAAMNDDDx nnAAAh nnnnDDDh nAh nnADDnDAu nh nAu ny nh nx nAu設令零狀態響