1、第五章定積分(A 層次)1 2 sin x cos3xdx；2x 2 a 2x2 dx；33dx；a001x21x241xdx；54dx；1dx；116 354xx141x1 e2dx；8 0dx；91cos2xdx ；71 x 1 ln x2 x22x 2010x 4 sin xdx ；11 24 cos4 xdx ；123sin2x dx ；5x25 x 42x 21 3x；144ln x；1513dxdx1xarctgxdx ；4 sin2x10x 2e2x cosxdx ；17xsinx 2 dx ；esin ln x dx；160018123；4sin x； 21x sin xdx；

2、19cos xcos xdx20dx1 cos2401sin x0x11 x1 x2 2dx ；dx； 242ln sin xdx ；220x ln231x401 x25dxdx0 。01x21 x(B 層次)1求由yet dtxcostdt0所決定的隱函數 y 對 x 的導數 dy 。00dx2當 x 為何值時，函數 Ixx te t 2dt 有極值？03 dcos xcost 2dt 。dx sin x4設 f xx1,x12f x dx 。1 2,x1，求 02xx2 dtarctgt5 lim0。2xx16設 f x1 sin x,0x，求xx2f t dt 。0,其它01,當 x0時

3、27設 f x1x，求f x 1 dx 。1x ,當 x0時01e8 lim1n2nn2。n2nknen9求 lim。2 knk 1ne nn10設 fx是連續函數，且 fx x21f t dt ，求 f x 。011若2 ln 2dt，求 x 。xet161112證明：2e 212 e x2dx2 。213已知 lim xaxa4x 2 e 2x dx ，求常數 a 。xxa14設 f x2x 0 ，求f x 2 dx 。1 x ,3ex,x0115設 f x 有一個原函數為 1 sin 2 x ，求2 xf 2x dx 。016設 f x ax b ln x ，在 1,3 上 f x0 ，

4、求出常數 a ，b 使3f x dx 最1小。17已知 f xe x 2，求1f x fx dx 。018設 f xx221x f x dx 2 f x dx ，求 f x 。0019f cosx cosx fcosx sin 2x dx 。020設 x 0 時， F xx2t 2 f t dt 的導數與 x2 是等價無窮小，試求x0f0 。(C 層次)1 設 fx是 任意 的二 次多 項 式 ， g x是某個二次多項式，已知f x dx1f 0 4 f 1f 1 ，求g x dx 。1b062a2設函數 f x 在閉區間 a, b 上具有連續的二階導數，則在a,b 內存在 ，使得f x dx

5、b a f a b1 b a 3 f。ba2243 f x 在 a, b上 二 次 可 微 ， 且 fx 0 ， f x0。試證b a f abf x dx b a f bf a。a24設函數 fx在 a,b 上連續， f x在 a,b 上存在且可積， fafb0 ，試證 f x1bf x dx ( a x b )。2a5設 fx1x dx 0 ，11 ，求證存在一點 x ，在 0,1 上連續， fxf x dx000 x 1 ，使 fx4 。6設 fx可微， f00 ， f01， Fxx2t 2dt ，求 lim F x 。tf x0x 0x47 設fx在a,b上 連 續 可 微 ， 若 f

6、afb0， 則4bx dxmax fx。2fbaa x ba8 設 fx在 A,B上連續， Aa bB ，求證 limb fxkfxkdxk0 afbf a。9設 fx為奇函數，在,內連續且單調增加， Fxx3tft dt ，x0證明： (1) F x 為奇函數； (2) F x 在 0,上單調減少。10設 fx可微且積分1xxfxt dt 的結果與 x 無關，試求 f x 。f011若 fx在 0,連續， f02， f1 ，證明：0f xfxsin xdx3 。12求曲線 yx1 t2 dt 在點 (0,0)處的切線方程。t013 設 f x為連 續函 數， 對 任意 實數 a 有asin

7、xf x dx 0 ， 求 證af 2x fx 。x y214設方程 2x tg x y2y 。0sec2 tdt ，求 ddx15設 f x在 a, b上連續，求證：1xhf tdtfxf a( a xb )limf th0 ha16當 x0時， fx 連續，且滿足x 2 1xt dtx，求 f 2 。0f17設 f x 在 0,1 連續且遞減，證明1fx dxfx dx ，其中0,1 。0018設 fx連續， F xxt f2a t dt ， f 00 ， f a1 ，試證：f0F 2a 2F a1 。19設 g x是 a,bf xxa,b 內方程上的連續函數，g t dt ，試證在af

8、b0至少有一個根。g xb a20設 fx在 a, b連續，且 fx0，又 Fxx1xf t dtdt ，證明：ab f t(1) Fx2 (2)Fx 0 在 a,b內有且僅有一個根。21設 fx在 0,2a2afx dxaf 2a xdx 。上連續，則0f x022設 f x 是以為周期的連續函數，證明：2sin xx f x dx2xf x dx 。0023設 f x 在 a, b 上正值，連續，則在a,b 內至少存在一點，使f x dxb1bf x dxf x dx 。a2a24證明1t dtxu11ln f u du 。ln f xln fdu00fu025設 fx 在 a,b 上連續

9、且嚴格單調增加， 則 a bbf x dxa26設 fx 在 a,b 上可導，且 fxM ，fa 0 ，則bf x dxab2xf x dx 。aM b a 2 。227設 f x 處處二階可導，且fx0 ，又 u t為任一連續函數，則1a1a0 。af u t dt fau t dt ， a0028設 f x在 a,b 上二階可導，且 fxbb a fa b 。0 ，則 f x dxa229設 f x在 a, b上連續，且 f xb0 ，證明在 a, b 上必有0 ， f x dxafx 0 。30 f x 在 a, b上連續，且對任何區間 ,a, b 有 不 等 式f x dx M1( M

10、 ， 為正常數 )，試證在 a,b上 f x0 。第五章定積分(A)12 sin x cos3 xdx02 cos3 xdx1 cos421解：原式x0404aa 2x 2 dx2 x20解：令 xa sin t ，則 dxa costdt當 x0時 t 0 ，當 xa 時 t2原式2 a2 sin 2 t a cost a costdt0a42a41 c o s4t dt42 s i n 2tdt8200a4a42a 421 sin 4t8840163dx3x 2x 211解：令 xtg，則 dxsec2d當 x1 ，3時 分別為4，3原式3sec2d4 tg 2sec3s i n2 d s

11、 i n422331xdx4154x解：令54xu ，則 x51 u2 ， dx1 udu442當 x1， 1 時， u3,1原式1 15u2du13 86451dxx1解：令 xt ， dx2tdt當 x1 時， t1 ；當 x4 時， t 2原式2 2tdt22dt1 1 t2 dt1 t11222 t 1ln 1t 11 dx6 32 2 ln 2341x1解：令 1xu ，則x1u 2 ， dx2udu當 x3,1 時 u1,042原式12u du21u1 1 du1 2 ln 2202 u10u17e2dx1x 1ln xe2解：原式11d ln x1ln xe 211d 1ln x

12、1ln xe22 1ln x23 2dx10822x22 x0dx0解：原式arctg x 1 22 1x21a r c t1g a r c t g144291cos2xdx0解：原式2 cos2 xdx20cosx dx02 2 c o sxdx2c o sx dx022 s i nx 2s i nx2 20210x 4 sin xdx解： x 4 sin x 為奇函數x4 sin xdx011 2 4cos4xdx2解：原式4 2 2 cos4 xdx2 22 cos22x dx0022 1cos2x 2 dx22 12 cos 2xcos2 2x dx002x 222 cos 2xdx2

13、1cos 4x dx0002sin 2x 212 cos 4xd 4x02403123sin 4x22405x 3sin 2x1242x2dx5 x13x sin22x為奇函數15x3sin2x dx 05 x 42x 2113 3xdx4 sin 2x解：原式3 xdctgx4x c t g3x3 c t g x d x4413ln s i nx 349413ln32492ln2131 ln 34922144 ln x1dxx4解：原式2ln xdx1442x ln xxd ln x114 12 4ln 2xdx1 x148 ln 22x 2 dx18 ln 24115xarctgxdx01

14、12解：原式arctgxdx12arctgx11x2dxx0 1x2201111dx82dx20 1x201 x1181 a r c t g x2020142162 e2x cosxdx0解：原式2 e2 x d sin x0e2 x s i nx 22 s i nx 2e2 xdx00e2 2 e2x d c o xs0e 2e2 x c o xs 22 2 c o xs 2e2 xd x00e 2 4 2 e2x c o xs d x0故 2 e2 x cosxdx1 e20517x sin x2dx0解：原式0x sin x 2 dxx 2 1cos2x dx0211x 2dxx2 c

15、o 2sx d x20201x31x 2 d s i n2x604031x 2 s i n2xs i n2x 2 x d x640031xd c o s2x64031 x c o s2x 03c o s2x d x64064e18 sin ln x dx1解：原式eex cos ln x1 dxxsin ln x 11xesin1ecos ln x dx1esin 1x cos ln xeex sin ln x1 dx11xesin1ecos11esin ln x dx1esin ln x dxecos11故sin 11219 2cos xcos3xdx422解：原式cos x 1 cosx

16、dx40c o sx s i nx d x2c o xs s i nx d x40202323c o sx2c o sx 234304423320 4sin xdx0 1sin x解：原式4 sin x 1sin xdx01sin2x4s i nxtg2x dx02c o sxd c o sx21 dx424s e c x0c o s x014tgxx0422c o sx 0421x sin xdx0 1cos2x解：令 x2t ，則2tsint原式22dt221tcos2c o tst c o ts22dt222 1 s i n t 1 s i n tc o ts22dta r c t sg

17、i nt 02012s i n t41x dx22 2 x ln 101x1x dx2解：原式2 ln 101x2x2112 x2 1 x 1 x 1 x 11 x 2dx2lnx 02 1x2101 x11x 22lndxln 3028x11 ln 311dx2dx21800x 211 ln 311 ln x1822 x12013 ln 3282231x4dx1x1x 211解：原式x 201x 4 dx2012dxxx2212dx101xx2x2x1x2arctg220242 ln sin xdx0解：原式2 ln 2 sin xcos xdx 令 x 2t 2 4 ln 2 ln sin

18、 t ln cost dt02202ln 224 ln sin tdt4 ln c o tdts00tu24 ln sin tdt2ln s i nudu2ln 22042ln 222 ln s i ntdt0故 2 ln sin xdxln 20225dx0201x 1 x解：令11xt ，則 dxt 2dt012 dttdt原式t1t21t01t21 tt 2t 2dxdxx dx01 x21 x01 x21 x01 x21 x1dxa r c t g x1x 2200故dx01x21x4(B)yet dtx0 所決定的隱函數 y 對 x 的導數 dy 。1求由costdt00dx解：將兩邊對 x 求導得ey dyc o xs0dx dycosxdxe y2當 x 為何值時，函數 I xx te t 2dt 有極值？0解： I xxe x2，令 I x0 得 x 0