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1、精選優質文檔-傾情為你奉上§7.4簡單無理函數的不定積分與三角函數的不定積分一、簡單無理函數的不定積分對被積函數帶有根號的不定積分，它的計算是比較麻煩的。但對某些特殊情況，我們可通過作變量替換，將其轉化為有理函數的不定積分，這樣就可以用上述的方法計算。下面總假設表示關于變量的有理函數。1型函數的不定積分。其中解法：作變量替換，即,于是，轉化為有理函數的不定積分。例1求分析：要把被積函數中的幾個根式化為同次根式。，作變量替換，即，就可以把原不定積分化為有理函數的不定積分。解：作變量替換，即，則例2求解：設 則，所以2型函數的不定積分，其中（即方程無重根）分兩種情況討論：（1）時，方程有

2、兩個不等的實數根、這時，設，即，從而有 于是，這就將無理函數的不定積分化為有理函數的不定積分。例3求解：方程有兩個根：，設，則，即，于是，（2）時，方程沒有有實數根。此時，、同號（否則），且（否則時，沒有意義），從而設，則，或，此時，從而這就把無理函數的不定積分化為有理函數的不定積分。例4求解：設，或，即有，（3）當被積函數是最簡形式時，可用特殊的簡單方法計算。例5求例6求例7求二、三角函數的不定積分三角函數有理式的積分，即型的積分，其計算方法的總思路就是把它轉化為有理函數的不定積分。計算方法多種多樣，有一種通用的計算方法萬能代換。令，就有，且 ， 于是 化為了有理函數的不定積分。講解課本例8

3、、例9。補充例子：求解：( 用萬能代換 ) 還可以用其它的解法。解法2：( 用初等化簡 ) .解法3：( 用初等化簡, 并湊微 ) 可以看到，三角函數的不定積分的計算方法是比較靈活的，只要我們注意觀察被積函數的特征，就能找到一些簡便的計算方法。下面介紹一些特殊的有理三角函數的不定積分的簡便計算方法。1如果，那么可設即可例10求解：可見，在解題時不一定要“設”，懂得“湊”就行了。2如果，那么設即可例11求解：3如果，那么設即可例12求解： 4被積函數是形如的三角函數，分兩種情況：（1）如果n與m至少有一個是奇數，那么n是奇數時設；m是奇數時設。例13求解：（2）如果n與m都是偶數，則通過三角公式， ， 將被積函數降冪、化簡。例14求解：5如果被積函數是形如、的函數，那么就用積化和差公式將被積函數化簡。例15求上面介紹的積分都是能積出來的，但并不是所有的積分都能積出來的。如，這些不定積分按道理應該有結果，但他們都是“積不出來

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