1、容斥原理在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算。求兩個集合并集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重復計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成： ABABAB (其中符號“”讀作“并”，相當于中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當于中文“且”的意思。)，則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理。 圖示如下:A表示小圓部分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AB，即陰影面積。1先包含AB重疊部分AB計算了2次，多加了1次；2再排除ABAB把多加了1次的重疊部分AB減去。A類、B類與C類元素個數的總和A

2、類元素的個數B類元素個數C類元素個數既是A類又是B類的元素個數既是B類又是C類的元素個數既是A類又是C類的元素個數同時是A類、B類、C類的元素個數。用符號表示為：ABCABCABBCACABC圖示如下：圖中小圓表示A的元素的個數，中圓表示B的元素的個數，大圓表示C的元素的個數。1先包含ABCAB、BC、CA重疊了2次，多加了1次。2再排除ABCABBCAC重疊部分ABC重疊了3次，但是在進行ABCABBCAC計算時都被減掉了。 3再包含ABCABBCACABC例1一個長方形長12厘米，寬8厘米，另一個長方形長10厘米，寬6厘米，它們中間重疊的部分是一個邊長4厘米的正方形，求這個組合圖形的面積。

3、 例250名同學面向老師站成一行。老師先讓大家從左至右按1、2、3、49、50依次報數；再讓報數是4的倍數的同學向后轉，接著又讓報數是6的倍數的同學向后轉。問：現在面向老師的同學還有多少名？ 求12009這2009個自然數既不能被7整除又不能被41整除的自然數有多少個？ 例3在1到2004所有自然數中，既不是2的倍數又不是3和5的倍數的數有多少個？ 例4如圖，已知甲乙丙三個圓的面積都是30，甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為6，8，5，三個圓覆蓋的總面積為73，求空白部分的面積。 例5(第六屆“中環杯”五年級初賽)甲、乙、丙三人澆花，甲澆了68盆，乙澆了62盆，丙澆了56盆。已知共有花

4、90盆，則三人都澆了的花至少有多少盆？ 例6五年級3班有46名學生參加三項課外活動，其中24人參加了繪畫小組，20人參加了合唱小組，參加朗誦小組的人數是既參加繪畫小組又參加朗誦小組人數的3.5倍，又是三項活動都參加人數的7倍，既參加朗誦小組又參加合唱小組的人數相當于三項都參加人數的2倍，既參加繪畫小組又參加合唱小組的有10人，求參加朗誦小組的人數。 測試題1把長厘米和厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條。已知焊接部分長厘米，焊接后這根鐵條有多長？2有種食品，其中含鈣的有種，含鐵的有種，那么同時含鈣和鐵的食品種類的最大值和最小值分別是多少？3學而思組織棋類比賽，分成圍棋、中國象棋和國際象棋三個組進行，參

5、加圍棋比賽的有人，參加中國象棋比賽的有人，參加國際象棋比賽的有人，同時參加了圍棋和中國象棋比賽的有人，同時參加了圍棋和國際象棋比賽的有人，同時參加了中國象棋和國際象棋比賽的有人，其中三種棋賽都參加的有人，問參加棋類比賽的共有多少人？4在前個非零自然數中，能被或整除的數有多少個？5有三個面積各為平方厘米的圓，兩兩重疊的面積分別為平方厘米、平方厘米、平方厘米，三個圓共同重疊的面積為平方厘米 （如圖）。三個圓共蓋住多大面積？6甲、乙、丙三人同時在讀同樣的故事書，書中有個故事，每個人都從某一個故事開始，按順序往后讀，已知甲讀了個故事，乙讀了個故事，丙讀了個故事，那么甲、乙、丙人共同讀過的故事最少有多少

6、個？答案1答案：因為焊接部分為兩根鐵條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長（厘米）。2答案：最小值種，最大值就是含鐵的種數種。3答案：根據包含排除法，先把參加圍棋比賽的人，參加中國象棋比賽的人與參加國際象棋比賽的人加起來，共是人。把重復加一遍同時參加圍棋和中國象棋的人，同時參加圍棋和國際象棋的人與同時參加中國象棋和國際象棋的人減去，但是，同時參加了三種棋賽的人被加了次，又被減了次，其實并未計算在內，應當補上，實際上參加棋類比賽的共有：（人）。或者根據公式：，參加棋類比賽的總人數為：（人）。4答案：如圖所示，圓內是前個自然數中所有能被整除的數，圓內是前個自然數中所有能被整除的數，為前個自然數中既能被整除也能被整除的數。前個自然數中能被整除的數有：(個)。由知，前個自然數中能被整除的數有：個。由知，前個自然數中既能被整除也能被整除的數有個。所以中有個數，中有個數，中有個數。因為，都包含，根據包含排除法得到，能被或整除的數有：(個)。5答案：三個圓共蓋住面積：平方厘米6答案