1、電動力學答案第一章電磁現象的普遍規律1.根據算符 的微分性與向量性，推導下列公式：(A B) B ( A) (B )A A ( B) (A )B A ( A) 2 A2 (A )A2.設u是空間坐標x,y,z的函數，證明:f(u)A(u)證明：dfu dudAduA(u)dA u du3.設 r . (x x')2 (y y')2 (z Z)2 為源點 x'到場點 x 的距離，r的方向規定為從源點指向場點。(Stokes)定理證明 sdS； dl(1) 證明下列結果，并體會對源變量求微商與對場變量求微 商的關系：r'r r/r ；(1/r)'(1/r)r

2、/r(r/r3)0 ；(r / r3)'(r/r3)0，(r 0)。(2)求r ，r ， (a)r ，(a r)Eosin(k r)及Eosin(k r)，其中a、k及E。均為常向量。5.已知一個電荷系統的偶極矩定義為p(t) V (x',t)x'dV'，4.應用高斯定理證明vdVsdS，應用斯托克斯利用電荷守恒定律J 0證明p的變化率為:tdpdtJ(x',t)dV36.若m是常向量，證明除R 0點以外，向量A （m R）/R 的旋度等于標量 m R/ R3的梯度的負值，即A，其中R為坐標原點到場點的距離，方向由原點指向場點。7.有一外半徑分別為r1和

3、r2的空心介質球，介質的電容率為 使介質球均勻帶靜止自由電荷f，求：（1）空間各點的電場;（2）極化體電荷和極化面電荷分布。9.證明均勻介質部的體極化電荷密度p總是等于體自由電荷密度f的(1 o/ )倍。10.證明兩個閉合的恒定電流圈之間的相互作用力大小相等方向 相反(但兩個電流元之間的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律)8.外半徑分別為ri和°的無窮長中空導體圓柱，沿軸向流有恒定 均勻自由電流Jf，導體的磁導率為，求磁感應強度和磁化電流。的結果如何？）11.平行板電容器有兩層介質，它們的厚度分別為li和12 ,電容率為1和2，今在兩板接上電動勢為 E的電池，求：（1 ）電容 器兩極

4、板上的自由電荷面密度f1和f2 ；（2）介質分界面上的自由電荷面密度f3。（若介質是漏電的，電導率分別為1和2當電流達到恒定時，上述兩物體12.證明：（1）當兩種絕緣介質的分界面上不帶面自由電荷時， 曲折滿足tan 22tan 11其中1和2分別為兩種介質的介電常數，電場線的1和2分別為界面兩側電場線與法線的夾角。分界面上電場線的曲折（2）當兩種導電介質流有恒定電流時， 滿足tan 2tan i i其中1和2分別為兩種介質的電導率。13.試用邊值關系證明：在絕緣介質與導體的分界面上，在靜電情 況下，導體外的電場線總是垂直于導體表面；在恒定電流情況 下，導體電場線總是平行于導體表面。14外半徑分

5、別為a和b的無限長圓柱形電容器，單位長度荷電為 f，板間填充電導率為的非磁性物質。（1） 證明在介質中任何一點傳導電流與位移電流嚴格抵消，因 此部無磁場。（2）求f隨時間的衰減規律。（3）求與軸相距為r的地方的能量耗散功率密度。（4）求長度I的一段介質總的能量耗散功率，并證明它等于這實用段的靜電能減少率第二章靜電場1. 一個半徑為 R的電介質球，極化強度為 P Kr/，電容率 為。（1）計算束縛電荷的體密度和面密度：（2 ）計算自由電荷體密度；（3 ）計算球外和球的電勢；（4 ）求該帶電介質球產生的靜電場總能量。2. 在均勻外電場中置入半徑為Ro的導體球，試用分離變量法求下列兩種情況的電勢：（

6、1）導體球上接有電池，使球與地保 持電勢差 0；（2）導體球上帶總電荷 Q4.均勻介質球（電容率為1）的中心置一自由電偶極子Pf，球外充滿了另一種介質（電容率為2），求空間各點的電勢和極化電荷分布。5.空心導體球殼的外半徑為Ri和R2，球中心置一偶極子 p球殼上帶電Q,求空間各點的電勢和電荷分布。3. 均勻介質球的中心置一點電荷 Qf，球的電容率為，球外為真空，試用分離變量法求空間電勢，把結果與使用高斯定理 所得結果比較。提示：空間各點的電勢是點電荷 Qf的電勢Qf/4 R與球面 上的極化電荷所產生的電勢的迭加，后者滿足拉普拉斯方程。6. 在均勻外電場Eo中置入一帶均勻自由電荷 f的絕緣介質球

7、（電容率為 ），求空間各點的電勢。7. 在一很大的電解槽中充滿電導率為2的液體，使其中流著均勻的電流Jf0。今在液體中置入一個電導率為1的小球，求穩恒時電流分布和面電荷分布，討論12及21兩種情況的電流分布的特點。8. 半徑為Ro的導體球外充滿均勻絕緣介質，導體球接地，離球心為a處（a >Ro）置一點電荷Qf，試用分離變量法求空 間各點電勢，證明所得結果與電象法結果相同。（R Ro）9.接地的空心導體球的外半徑為R和R2，在球離球心為 a處(a < R1)置一點電荷Q。用鏡像法求電勢。導體球上的感應電荷有多少？ 分布在表面還是外表面？10. 上題的導體球殼不接地，而是帶總電荷Qo，

8、或使具有確定電勢°，試求這兩種情況的電勢。 又問°與Qo是何種關系時, 兩情況的解是相等的？11. 在接地的導體平面上有一半徑為 a的半球凸部（如圖），半球 的球心在導體平面上， 點電荷Q位于系統的對稱軸上，并與平面相距為b（ b>a），試用電象法求空間電勢。12. 有一點電何Q位于兩個互相垂直的接地導體平面所 圍成的直角空間，它到兩個平面的距離為a和b,求空間電勢。(xo, a,bQ(x°,a,b)IIIIQ(xo, a, b)-Q(xo,a, b)13.設有兩平面圍成的直角形無窮容器， 其充 滿電導率為廳的液體。取該兩平面為xz面和yz面在(Xo, yo

9、, Zo)和(Xo,yo, Zo)兩點分別置正負電極并通以 電流I，求導電液體中的電勢。14.畫出函數d (x)/dx的圖，說明于原點的偶極子的電荷密度。(p ) (x)是一個位15.證明：(1) (ax) (x)/a (a 0)，(若 a 0，結果 如何？)(2) x (x)016. 一塊極化介質的極化矢量為P(x')，根據偶極子靜電勢的公式，極化介質所產生的靜電勢為P(x')3 dV'，另外V 4 or3根據極化電荷公式p ' P(x')及p n P，極化介質所產生的電勢又可表為'P(x')P(x') dS'dV

10、9;，試證明以上兩表達V 40rS 40r式是等同的。17.證明下述結果，并熟悉面電荷和面偶極層兩側電勢和電場的 變化。（1）在面電荷兩側，電勢法向微商有躍變，而電勢是連續的。（2）在面偶極層兩側，電勢有躍變1 n P/ 0，而電勢的法向微商是連續的。（各帶等量正負面電荷密度± c而靠的很近的兩個面,形成面EA偶極層，而偶極矩密度P lim I ）I 018. 一個半徑為Ro的球面，在球坐標 0/2的半球面上電勢為°在/2的半球面上電勢為0 ,求空間各點電勢。1提示：Fn（x）dxPn 1(X)Pn 1 (X)1Pnd)12n 1000,（n奇數）Pn (°)(小

11、 n/2 1 3 5 (n1),(n偶數）1)2 4 6 n第三章靜磁場1.試用A表示一個沿z方向的均勻恒定磁場 B。,寫出A的兩種 不同表示式，證明二者之差為無旋場。3. 設有無限長的線電流I沿z軸流動，在z<0空間充滿磁導率為 的均勻介質，z>0區域為真空，試用唯一性定理求磁感應 強度B，然后求出磁化電流分布。n電流2.均勻無窮長直圓柱形螺線管，每單位長度線圈匝數為 強度I，試用唯一性定理求管外磁感應強度B。4. 設x<0半空間充滿磁導率為的均勻介質，x> 0空間為真空,今有線電流I沿z軸流動，求磁感應強度和磁化電流分布。5. 某空間區域有軸對稱磁場。在柱坐標原點附

12、近已知 Bz Bo C（z22/2），其中B。為常量。試求該處的B 。提示：用B 0，并驗證所得結果滿足H 0。6. 兩個半徑為a的同軸圓形線圈，位于 zL面上。每個線圈上載有同方向的電流I。（1）求軸線上的磁感應強度。（2） 求在中心區域產生最接近于均勻常常時的L和a的關系。提示：用條件 2Bz/ z207. 半徑為a的無限長圓柱導體上有恒定電流J均勻分布于截面上，試解矢勢 A的微分方程。設導體的磁導率為0，導體外的磁導率為 。8. 假設存在磁單極子，其磁荷為Qm，它的磁場強度為3H Qm/4 or。給出它的矢勢的一個可能的表示式，并討論它的奇異性。9. 將一磁導率為，半徑為Ro的球體，放入

13、均勻磁場H。，求總磁感應強度 B和誘導磁矩 m。（對比P49靜電場的例子。）10. 有一個外半徑為 Ri和R2的空心球，位于均勻外磁場H° ,球的磁導率為，求空腔的場B，討論0時的磁屏蔽作11.設理想鐵磁體的磁化規律為 B H oMo ,其中M °是恒定的與H無關的量。今將一個理想鐵磁體做成的均勻磁化球（M°為常值）浸入磁導率為'的無限介質中，求磁感應強度和磁化電流分布。12.將上題的永磁球置入均勻外磁場Ho中，結果如何?用。13. 有一個均勻帶電的薄導體殼其半徑為Ro，總電荷為Q，今使球殼繞自身某一直徑以角速度轉動，求球外的磁場 B。提示：本題通過解 A

14、或m的方程都可以解決，也可以比較 本題與§ 5例2的電流分布得到結果。14. 電荷按體均勻分布的剛性小球，其總電荷為Q，半徑為Rq，它以角速度繞自身某一直徑轉動，求（1）它的磁矩；（2）它的磁矩與自轉角動量之比（設質量Mq是均勻分布的）。15. 有一塊磁矩為 m的小永磁體，位于一塊磁導率非常大的實物 的平坦界面附近的真空中，求作用在小永磁體上的力F。第四章電磁波的傳播1.考慮兩列振幅相同、偏振方向相同、頻率分別為d 的線偏振平面波，它們都沿 z軸方向傳播。 (1 )求合成波，證明波的振幅不是常數，而是一個波。 (2 )求合成波的相位傳播速度和振幅傳播速度。3. 有一可見平面光波由水入

15、射到空氣，入射角為60 °，證明這時將會發生全反射，并求折射波沿表面傳播的相速度和透入 空氣的深度。設該波在空氣中的波長為06.28 10 5cm，水的折射率為n=1.33。2. 一平面電磁波以45。從真空入射到r 2的介質，電場強度垂直于入射面，求反射系數和折射系數。4. 頻率為的電磁波在各向異性介質中傳播時，若E,D,B,H仍按ei(kx t)變化，但D不再與E平行(即DE不成立)。(1 )證明 k B k D B D B E 0，但一般k E 0。(2) 證明 D k2E (k E)k/2。(3) 證明能流S與波矢k一般不在同一方向上。6.平面電磁波垂直射到金屬表面上，試證明透

16、入金屬部的電磁波能量全部變為焦耳熱。7.已知海水的 r 1，1S m-1，試計算頻率為50，106和109Hz的三種電磁波在海水中的透入深度。5. 有兩個頻率和振幅都相等的單色平面波沿z軸傳播，一個波沿x方向偏振，另一個沿 y方向偏振，但相位比前者超前2，求合成撥的偏振。反之，一個圓偏振可以分解為怎樣的兩個 線偏振？8. 平面電磁波由真空傾斜入射到導電介質表面上，入射角為1。求導電介質中電磁波的相速度和衰減長度。若導電介質為金屬， 結果如何？提示：導電介質中的波矢量 k B i a, a只有z分量。(為 什么？)9. 無限長的矩形波導管，在z=0處被一塊垂直插入的理想導體平 板完全封閉，求在 z 到z=0這段管可能存在的波模。10.電磁波E(x,y, z,t) E(x,y)ei(kzz °在波導管中沿z方向傳 播，試使用 E i oH及 H i oE證明電磁場 所有分量都可用