1、微積分試題集一季一、計算下列極限：（每題5分，共10分）4若時,是等價無窮小,求常數的值.5. 設在處連續，求的值.二、導數與微分：（每題5分，共25分）1. 設求 2求由方程所確定的曲線在處的切線方程. 3利用微分近似計算,求 的近似值. 4設 求 5. 求曲線的拐點.三、計算下列各題：（每小題8分，共16分）1. 設某商品的價格與需求量的關系為,(1) 求時的需求彈性,并說明其經濟意義.（2）求當價格為何值時,總收益最大？并求出此時的需求價格彈性. 2. 設為的原函數,且,已知求四、證明題：（每小題5分，共10分）1. 當時, 證明：.2. 設連續且，試證明是的極小值點。二季一、填空題（每

2、小題4分，本題共20分）函數的定義域是若函數,在處連續，則 曲線在點處的切線方程是微分方程的階數為 二、單項選擇題（每小題4分，本題共20分）設，則（ ）A B C D若函數f (x)在點x0處可導，則( )是錯誤的 A函數f (x)在點x0處有定義 B，但 C函數f (x)在點x0處連續 D函數f (x)在點x0處可微 函數在區間是（ ）A單調增加 B單調減少C先增后減 D先減后增（ ）A. B. C. D. 下列微分方程中為可分離變量方程的是（）A. ； B. ； C. ； D. 三、計算題（本題共44分，每小題11分）計算極限設，求. 計算不定積分計算定積分四、應用題（本題16分） 欲做

3、一個底為正方形，容積為32立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省？微積分初步期末試題選（一）1填空題（1）函數的定義域是 （2）函數的定義域是（3）函數，則 （4）若函數在處連續，則 （5）函數，則 （6）函數的間斷點是 （7）（8）若，則2單項選擇題、（1）設函數，則該函數是（）A奇函數 B偶函數C非奇非偶函數 D既奇又偶函數（2）下列函數中為奇函數是（）A B C D（3）函數的定義域為（）A B C且 D且（4）設，則（ ）A B C D（5）當（ ）時，函數在處連續.A0 B1 C D （6）當（ ）時，函數，在處連續.A0 B1 C D （7）函數的間斷點是（ ）A B C D無間

4、斷點3計算題 （1） （2） （3）微積分初步期末試題選（二）1填空題（1）曲線在點的切斜率是（2）曲線在點的切線方程是 （3）已知，則=（4）已知，則=（5）若，則 2.單項選擇題（1）若，則=（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2（2）設，則（ ） A B C D（3）設是可微函數，則（ ） A B C D（4）若，其中是常數，則（ ） A B C D3計算題 （1）設，求 （2）設，求.（3）設，求. （4）設，求.微積分初步期末試題選（三）1填空題（1）函數的單調增加區間是 （2）函數在區間內單調增加，則應滿足 2單項選擇題（1）函數在區間是（ ）A單調增加 B單調減少C先

5、增后減 D先減后增（2）滿足方程的點一定是函數的（ ）.A極值點B最值點 C駐點D 間斷點（3）下列結論中（ ）不正確 A在處連續，則一定在處可微. B在處不連續，則一定在處不可導. C可導函數的極值點一定發生在其駐點上.D函數的極值點一定發生在不可導點上.（4）下列函數在指定區間上單調增加的是（ ） A B C D3應用題（1）欲做一個底為正方形，容積為108立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省？（2）用鋼板焊接一個容積為4的正方形的開口水箱，已知鋼板每平方米10元，焊接費40元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費最低？最低總費是多少？ 微積分初步期末試題選（四）1填空題（1）若的一個原函數

6、為，則 .（2）若，則（3）若（4）（5） （6）若，則（7）若，則（8） （9） .（10）= 2單項選擇題（1）下列等式成立的是（）A BC D（2）以下等式成立的是（ ）A B C D （3）（ ）A. B. C. D. （4）下列定積分中積分值為0的是（ ） A B C D （5）設是連續的奇函數，則定積分（ ）A0B CD （6）下列無窮積分收斂的是（）A B C D3計算題（1） （2）（3） (4)(5) (6) (7)微積分初步期末試題選（五）1填空題(1)已知曲線在任意點處切線的斜率為，且曲線過，則該曲線的方程是 . (2)由定積分的幾何意義知，= .(3)微分方程的特解為

7、. (4)微分方程的通解為 . (5)微分方程的階數為 2.單項選擇題(1)在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點（1, 4）的曲線為（ ）Ay = x2 + 3 By = x2 + 4 C D (2)下列微分方程中，（ ）是線性微分方程 A B C D (3)微分方程的通解為（ ） A B C D (4)下列微分方程中為可分離變量方程的是（）A. ； B. ； C. ； D. 三季一、 選擇題 (選出每小題的正確選項，每小題分，共計10分)1_。（A ） - （B ） + （C） 0 （D） 不存在2當時，的極限為 _。 （A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D） 不存在 下列極限存在，

8、則成立的是_。 設f（x）有二階連續導數，且 （A ） 極小值 （B ）極大值（C ）拐點 （D） 不是極值點也不是拐點5若則下列各式 成立。二、 填空題（每小題3分，共18分）1. 設，那么曲線在原點處的切線方程是_。函數在區間0，3上滿足羅爾定理，則定理中的x=。3設 。4設那么2階導函數 5設某商品的需求量是價格的函數，那么在的水平上，若價格下降1，需求量將。6若且 。三、計算題（每小題6分，共42分）：1、 求 3、設4、5、6、7、設函數f(x)具有二階導數，且f（0）=0, 又 ，求。四、應用題（8分）1，假設某種商品的需求量Q是單價P（單位元）的函數：Q=1200-8P；商品的總

9、成本C是需求量Q的函數：C=2500+5Q。（1） 求邊際收益函數和邊際成本函數；（2） 求使銷售利潤最大的商品單價。五、（12分）作函數的圖形六、證明題（每題5分，共計10分） 1、 設函數在上連續，且在內是常數，證明在上的表達式為，2、設函數在上可導，且證明在內僅有一個零點。四季一、填空題（每小題4分，本題共20分）函數的定義域是 已知，則=若，則微分方程的階數是 二、單項選擇題（每小題4分，本題共20分）設函數，則該函數是（）A奇函數 B偶函數C非奇非偶函數 D既奇又偶函數函數的間斷點是（ ）A B C D無間斷點下列結論中（ ）正確 A在處連續，則一定在處可微. B函數的極值點一定發生

10、在其駐點上. C在處不連續，則一定在處不可導. D函數的極值點一定發生在不可導點上.如果等式，則（ ）A. B. C. D. 下列微分方程中，（ ）是線性微分方程 A B C D三、計算題（本題共44分，每小題11分）計算極限 設，求. 計算不定積分 計算定積分四、應用題（本題16分） 用鋼板焊接一個容積為4的底為正方形的無蓋水箱，已知鋼板每平方米10元，焊接費40元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費最低？最低總費是多少？五季一、填空題（每小題4分，本題共20分）函數的定義域是若，則已知，則=若微分方程的階數是 二、單項選擇題（每小題4分，本題共20分）設函數，則該函數是（）A奇函數 B偶函數C

11、非奇非偶函數 D既奇又偶函數當=（ ）時，函數，在處連續.A1 B2 CD0 滿足方程的點一定是函數的（ ）。A極值點B最值點 C駐點D 間斷點設是連續的奇函數，則定積分（ ）AB CD 0微分方程的通解是（）A. ；B. ；C. ； D. 三、計算題（本題共44分，每小題11分）計算極限設，求. 計算不定積分計算定積分四、應用題（本題16分） 欲用圍墻圍成面積為216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 微積分習題集答案一季一、計算下列極限：（每題5分，共25分）1。2。3. 。4若時,是等價無窮小,求常數的值.解：由

12、于時有與，故。5. 設在處連續，求的值.解：由左連續與右連續分別得，所以得及。二、導數與微分：（每題5分，共25分）1. 設求 解：兩邊去對數得 ，再求導得，整理后得 。當時有 ，所以。2求由方程所確定的曲線在處的切線方程. 解：易知時有。求導得 ，將代入則有，所以切線方程為 。3利用微分近似計算,求 的近似值. 解：令，則。取，則有，所以 。4設 求 解：， ，所以，即。5. 求曲線的拐點.解：求導得 與 。顯然，當時不存在；當時，所以與是潛在拐點。下面考察函數凹凸性的變化，不難看出所以，與均為曲線的拐點。三、計算不定積分：（每題6分，共24分）1。2。3：令，則。4 。四、計算下列各題：（

13、每小題8分，共16分）1. 設某商品的價格與需求量的關系為,(1) 求時的需求彈性,并說明其經濟意義.（2）求當價格為何值時,總收益最大？并求出此時的需求價格彈性. 解：（1），故，這說明當價格時，若價格上漲（下跌），則需求量近似減少（增加）。（2）我們知道時，總收益最大。由解得，所以當價格時總收益最大。2. 設為的原函數,且,已知求解：因為，所以給定條件等價于，兩邊關于求積分，則，從而（）。將代入可得，所以 ，從而 。五、證明題：（每小題5分，共10分）2. 當時, 證明：.證明：令 ，則 ，當時顯然有 ，并且只有在時才有，所以在時為增函數。故當時有，也就是說當時, 。2. 設連續且，試證明

14、是的極小值點。證明：由知。又連續，所以。根據定義有，由第二充分條件即可知是的極小值點。二季一、填空題（每小題4分，本題共20分） 1 二、單項選擇題（每小題4分，本題共20分）CBDAB 三、（本題共44分，每小題11分）解：原式 11分解： 9分 11分 解：= 11分4解： 11分 四、應用題（本題16分）解：設底邊的邊長為，高為，用材料為，由已知令，解得是惟一駐點，易知是函數的極小值點，此時有，所以當，時用料最省 微積分初步期末試題選（一）1填空題（1） 答案：且.（2）答案：（3）答案：（4）答案：（5）答案：（6）答案：（7）答案：1（8）答案：2單項選擇題（1）答案：B （2）答案

15、：C （3）答案：D （4）答案：C （5） 答案：D （6） 答案：B （7）答案：A3計算題 （1） 解：（2） 解： （3）解： 微積分初步期末試題選（二）1填空題（1）答案： （2）答案： （3）答案： ，=27（4）答案：，=（5）答案：，2.單項選擇題（1）答案：C （2）答案：B （3）答案：D （4）答案：C3計算題 （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 微積分初步期末試題選（三）1填空題（1）答案：（2）答案：2單項選擇題（1）答案：D （2）答案：C （3）答案： B （4）答案：B3應用題解：設底邊的邊長為，高為，用材料為，由已知令，解得是唯一駐點， 且，說明是

16、函數的極小值點，所以當，用料最省.解：設水箱的底邊長為，高為，表面積為，且有所以 令，得， 因為本問題存在最小值，且函數的駐點唯一，所以，當時水箱的面積最小. 此時的費用為 （元） 微積分初步期末試題選（四）1填空題（1）答案： （2）答案： （3）答案： （4）答案：（5）答案： （6）答案：（7）答案： （8） 答案：（9）答案：0 （10）答案：2單項選擇題（1）答案：C （2）答案：D （3）答案：A （4）答案：A（5） 答案：A （6）答案：D3計算題（1）解：（2）解：（3）(4)解：= (5);(6)解：(7) 解： 微積分初步期末試題選（五）1填空題(1)答案： (2)答案：

17、 (3) 答案： (4)答案： (5)答案：42.單項選擇題(1) 答案：A (2) 答案：D (3) 答案：C (4) 答案：B三季一、 選擇題 (選出每小題的正確選項，每小題分，共計10分)1C； 2 D； 3.B C; 4.A; 5.B C.二、 填空題（每小題3分，共18分）1. 2 3 4X=2,極小值 5上升2% 6三、計算題（每小題6分，共42分）：1、求 解：令，則解：原式= 3、設 解：由 3分得a=0，b=-2，c取任意實數。 3分4解： 3分 3分5、解 2分 2分 2分6、解： 2分 2分 2分7、設函數f(x)具有二階連續導數，且f（0）=0, 又 ，求 解：，這時連

18、續 2分 3分所以 1分四、（8分）假設某種商品的需求量Q是單價P（單位元）的函數：Q=1200-8P；商品的總成本C是需求量Q的函數：C=2500+5Q。（3） 求邊際收益函數MR和邊際成本函數MC；（4） 求使銷售利潤最大的商品單價。解：（1） 3分 （2）利潤函數 1分 2分P=155/2時利潤最大。 2分五、（12分）作函數的圖形答案： （1）定義域是是間斷點 1分 （2）漸近線因故y=0為水平漸近線因故x=1為垂直漸近線 2分 (3)單調性、極值、凹凸及拐點 令得x=0 令得拐點間斷點再列表是極小值；拐點是. 6分(4)選點當 時，y=0;當時,y=8;當x=2時,y=3；當x=3時， 1分(5)描點作圖 略 2分六、證明題（每題5分，共計10分） 1、設函數在上連續，且在內是常數，證明在上的表達式為證明：設在（a，b）內任取一點x，在區間a，x上由拉格朗日中值定理有： 2分 則 2分 當x=a時，上式也成立。 1分2、設函數在上可導，且證明在內僅有一個零點。證明：在內任取一點x，則 3分令，由f（x）的單調性和零值定理知原命題成立。 2分四季一、填空題（每小題4分，本題共20分） 1 3二、單項選擇題（每小題4分，本題共20分）BACDD三、計算題（本題共44分，每小題11分）解：原式 11分解： 9分 11分 解：= 11分解： 1