1、絕密啟封并使用完畢前2015年普通高等學校招生全國統一考試數學（理）（北京卷）本試卷共5頁，150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1復數ABCD2若，滿足則的最大值為A0B1CD23執行如圖所示的程序框圖，輸出的結果為ABCD4設，是兩個不同的平面，是直線且“”是“”的A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件5某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是A B C D56

2、設是等差數列. 下列結論中正確的是A若，則B若，則C若，則D若，則7如圖，函數的圖象為折線，則不等式的解集是A BC D8汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是A消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D某城市機動車最高限速80千米/小時. 相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分9在的展開式中，的系數為（用數字作答）10已知雙曲線的一條漸

3、近線為，則11在極坐標系中，點到直線的距離為12在中，則13在中，點，滿足，若，則；14設函數若，則的最小值為；若恰有2個零點，則實數的取值范圍是三、解答題（共6小題，共80分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程）15（本小題13分）已知函數() 求的最小正周期；() 求在區間上的最小值16（本小題13分），兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復時間（單位：天）記錄如下：組：10，11，12，13，14，15，16組：12，13，15，16，17，14，假設所有病人的康復時間互相獨立，從，兩組隨機各選1人，組選出的人記為甲，組選出的人記為乙() 求甲的康復時間不少于14天的概率；() 如

4、果，求甲的康復時間比乙的康復時間長的概率；() 當為何值時，兩組病人康復時間的方差相等？（結論不要求證明）17（本小題14分）如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，為的中點() 求證：；() 求二面角的余弦值；() 若平面，求的值18（本小題13分）已知函數（）求曲線在點處的切線方程；（）求證：當時，；（）設實數使得對恒成立，求的最大值19（本小題14分）已知橢圓：的離心率為，點和點都在橢圓上，直線交軸于點（）求橢圓的方程，并求點的坐標（用，表示）；（）設為原點，點與點關于軸對稱，直線交軸于點問：軸上是否存在點，使得？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由20（本小題13分）已知數列滿足：

5、，且記集合（）若，寫出集合的所有元素；（）若集合存在一個元素是3的倍數，證明：的所有元素都是3的倍數；（）求集合的元素個數的最大值2015年普通高等學校招生全國統一考試數學（理）（北京卷）參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）（1）A （2）D （3）B （4）B （5）C （6）C （7）C （8）D二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9）40 （10） （11）1 （12）1 （13） （14） 三、解答題（共6小題，共80分）15. 解：() 所以的最小正周期() ， 當，即時，取得極小值。 ， 所以在的最小值16. 解：() 設甲的康復時間不少于14天記為事件A

6、 所以甲的康復時間不少于14天的概率為() 因為，假設乙康復的時間為12天，則符合題意的甲有13天、14天、15天、16天，共4人。若乙的康復時間為13天，則符合題意的甲有14天、15天、16天，共3人。若乙的康復時間為14天，則符合題意的甲有15天、16天，共2人。若乙的康復時間為15天，則符合題意的甲有16天，共1人。當乙的康復時間為其它值時，由于甲的康復時間為16天，均不符合題意。所以符合題意的甲、乙選擇法師共計4+3+2+1=10種 而所有甲、乙組合情況共種因為所有情況都是等可能的，所以甲的康復時間比乙的康復時間長的概率 () 或17. () 證明：是等邊三角形，為的中點。 又平面平面

7、, 平面平面 平面 平面 又平面 () 取得中點，連接 如圖分別以為軸建立空間直角坐標系 易見平面的法向量為 設平面的法向量為 所以 因為二面角為鈍角，所以它的余弦值為.() 由()知 平面 若平面 ， 僅需 由()得 ， ， ， 解得（舍）或.18解：（） 所以切線方程為.（）原命題 設 當時， 函數在上單調遞增。 ， 因此 （） 所以當 函數在上單調遞增， 當時，令 解得x0減極小值增 顯然不成立。 綜上可知：的最大值為2.19解：（）由題知： 解得 所求的橢圓的方程為. 直線的方程為 直線與軸交于 令 ，則 （） 直線的方程為， 直線與軸交于 令 ， 則， 設 ， ， ， 又在橢圓上， 在軸存在點 使。20. 解：（） （）因為集合存在一個元素是3的倍數，所以不妨設是3的倍數。 由 當時，都是3的倍數。 如果，則集合的所有元素都是3的倍數。 如果，因為或， 所以是3的倍數， 于是是3的倍數。 類似可得，都是3的倍數。綜上，若集合存在一個元素是3的倍數，則的所有元素都是3的倍數。（）若，由，可歸納證明， 因為是正整數，由， 所以是2的倍數。 從而當時，時4的倍數。 如果