1、文章編號:167121742(20100120022204一種基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的改進(jìn)圖像加密算法崔得龍,肖明,左敬龍(茂名學(xué)院計(jì)算機(jī)與電子信息學(xué)院,廣東茂名525000摘要:針對目前基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的圖像加密算法中存在的不足,設(shè)計(jì)了一種基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換和混沌系統(tǒng)的圖像加密新算法。圖像加密過程分兩個步驟:首先將原始圖像的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換系數(shù)經(jīng)過雙隨機(jī)相位加密,然后利用混沌系統(tǒng)生成的置亂矩陣對圖像進(jìn)行置亂加密后得到最終的加密圖像。方案的安全性依賴于隨機(jī)相位掩膜、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換階數(shù)以及混沌系統(tǒng)的初始參數(shù)。理論分析和模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方案具有良好的圖像加密效果。關(guān)鍵詞:信息安全;圖像加密

2、;分?jǐn)?shù)階傅里葉變換;雙隨機(jī)相位;混沌系統(tǒng);置亂矩陣中圖分類號:TP391文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A收稿日期:2009209207;修訂日期:2009210210分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(FRF T ,Fractional Fourier Transform 作為傳統(tǒng)傅里葉變換的廣義形式,其實(shí)質(zhì)是一種統(tǒng)一的時頻變換,與常用二次型時頻分布不同的是它沒有交叉項(xiàng)困擾,且可以理解為chirp 基分解,因此,FRF T 成為近十多年來信號處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。目前,FRF T 作為一種嶄新的時頻分析工具和旋轉(zhuǎn)算子為信號處理領(lǐng)域的研究人員所廣泛接受,在目標(biāo)檢測、信息安全和信號處理1-3等領(lǐng)域已得到了初步應(yīng)用。針對目前基于分?jǐn)?shù)

3、階傅里葉變換圖像加密算法的不足,設(shè)計(jì)了一種基于FRF T 的改進(jìn)圖像加密新算法。算法重新設(shè)計(jì)了基于FRF T 圖像加密算法的流程圖,將經(jīng)過FRF T 加密后的圖像再進(jìn)行置亂加密。理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該算法在不增加算法復(fù)雜性的同時,提高了其安全性。1分?jǐn)?shù)階傅里葉變換理論信號x (t 的FRF T 定義為4:x p (u =F p (x (u =+-x (t K p(t ,u d t 式中:p 為FRF T 的階,可以為任意實(shí)數(shù);=p/2為FRF T 的算子符號;K p (t ,u 為FRF T 的變換核:K p (t ,u =(1-j cot exp j (t 2cot -2ut csc +u

4、 2cot n(t -u =2n (t +u =(2n +1FRF T 的逆變換為:x (t =F -p x p (t =+-X p (u K -p (t ,u d uFRF T 域也稱為u 域,而時域和頻域則可視為FRF T 域的特例。離散形式的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(DFRF T ,Discrete Fractional Fourier Transform 需通過限定輸入輸出采樣間隔來保持DFRF T 變換核的正交性,從而使經(jīng)過正反兩次變換后得到的序列和原序列完全一致5。即對FRF T 的輸入輸出分別以間隔t 和u 進(jìn)行取樣,當(dāng)FRF T 域的輸出采樣點(diǎn)數(shù)M 時域采樣點(diǎn)數(shù),并且采樣間隔滿足:u

5、t =|S |2sin /M 時,DFRF T 可以表示為:X (m =A exp (j/2cot m 2u 2N -1m =0exp (j/2cot n 2t 2exp (-j sgn (sin 2nm Mx (n D x (m =2D x (-m =(2D +1第25卷第1期2010年2月成都信息工程學(xué)院學(xué)報JOURNAL OF CHEN G DU UNIV ERSITY OF INFORMATION TECHNOLO GY Vol.25No.1Feb.2010其中|S|是與M互質(zhì)的整數(shù)(常取為1,A=sgn (sin(sin-cosM,D為整數(shù)。為了簡化計(jì)算,通常取M=N,這樣,當(dāng)D時,

6、上式可以寫成如下矩陣形式:X=Fx其中X=(X(0,X(1,X(N-1T,x=(x(0,x(1,x(N-1T,F為N×N矩陣,其元素為:F(m,n=Aexp(j/2cotm2u2exp(j/2cotn2t2exp(-jsgn (sin2nmM同樣,逆變換可以寫為:x=F-X其中F-=F H,H為共軛轉(zhuǎn)置。2目前算法存在的不足文獻(xiàn)6提出一種基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的圖像加密算法,算法將原始圖像乘以隨機(jī)相位掩膜后進(jìn)行2DFRF T變換得到加密圖像。文獻(xiàn)7提出一種基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的指紋圖像加密算法,算法中使用4次隨機(jī)相位掩膜和5次FRF T變換得到加密圖像。目前此類算法的安全性只取決于FR

7、F T階數(shù)和用戶密鑰生成的隨機(jī)相位掩膜,所存在的不足主要有:(1密鑰空間小。分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的階數(shù)以44為周期,其密鑰空間為103,抵抗窮舉攻擊的能力較差;(2加密圖像對密鑰的敏感性較差。以圖1為例進(jìn)行說明,圖1(a為FRF T的加密圖像,圖1(b為錯誤隨機(jī)密鑰下恢復(fù)的解密圖像,可見即使在錯誤的隨機(jī)相位掩膜下,仍可恢復(fù)原始圖像的部分信息。(3加密圖像的系數(shù)分布均勻性差。根據(jù)Walsh圖像置亂程度評價函數(shù),加密圖像的系數(shù)分布越均勻,即加密圖像的Walsh變換能量越集中左上角一點(diǎn)處,圖像加密的效果越好。圖1(c為利用FRF T加密圖像中心區(qū)域1/4系數(shù)恢復(fù)的原始圖像,圖1(d 為利用FRF T加密

8、圖像中心區(qū)域1/16系數(shù)恢復(fù)的原始圖像 。從圖中可見,只利用加密圖像中很少一部分系數(shù)即可恢復(fù)出原始圖像的大部分內(nèi)容,即加密圖像的系數(shù)分布均勻性差 。(aFRFT變換加密圖像 (b錯誤隨機(jī)相位恢復(fù)的圖像(c1/4系數(shù)恢復(fù)的圖像(d1/16系數(shù)恢復(fù)的圖像圖1FRFT 圖像加密算法安全性分析3改進(jìn)的圖像加密算法針對目前算法存在的不足,設(shè)計(jì)了一種基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的改進(jìn)圖像加密新方案。方案的加密/解密流程圖如圖2所示。(a圖像加密過程(b圖像解密過程圖2圖像加密/解密流程圖加密過程描述如下:(1將原始圖像I如圖3(a所示進(jìn)行FRF T域雙隨機(jī)相位加密,即首先將I與隨機(jī)相位掩膜M A S K1=exp

9、32第1期崔得龍等:一種基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的改進(jìn)圖像加密算法i2n(x,y相乘后經(jīng)過階為(1,1的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換,得到圖像I,然后將再I與隨機(jī)相位掩膜M A S K2 =expi2h(x,y相乘后經(jīng)過階為(2,2的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換,其中n(x,y和h(x,y為用戶密鑰k1,k2生成的0,1范圍內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù),得到圖像I;(2設(shè)定初始值x0和參數(shù),利用Logistic混沌映射生成置亂矩陣T(x,y,x=0,1,M-1;y=0,1, N-1,將圖像I代入下式生成最終加密圖像C,其實(shí)部和虛部分別如圖3(b,(c所示。x=round(t(x,y/My=t(x,y-M×round(t(

10、x,y/M其中t(x,y為置亂矩陣T在(x,y處的元素值。與其它置亂算法相比較,混沌映射具有對參數(shù)敏感以及密鑰空間大等優(yōu)點(diǎn),其在較少置亂次數(shù)下就能達(dá)到很好的置亂效果,與其它置亂算法的比較如表1所示7。解密過程為加密過程的逆過程,為了得到原始圖像I,加密圖像C首先利用置亂矩陣T進(jìn)行反置亂得到圖像I,然后經(jīng)過階為(-2,-2的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換后乘以隨機(jī)相位掩膜M A S K3=exp-i2h(x,y得到圖像I,然后再經(jīng)過(-1,-1的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換后乘以隨機(jī)相位掩膜M A S K 4=exp-in(x,y后得到原始圖像I,如圖4(a所示,其中n(x,y和h(x,y的生成與加密過程相同。(a原始圖

11、像(b加密圖像實(shí)部(c加密圖像虛部圖3加密圖像示例表1各種置亂變換的比較1次置亂下的Walsh值密鑰空間Aronld變換0.3881010標(biāo)準(zhǔn)映射0.228105魔方變換0.426取決與混沌系統(tǒng),對正弦映射為1028M序列變換0.529取決于圖像大小,M×N-1混沌變換0.533取決于混沌系統(tǒng),對正弦映射為10284算法分析圖像加密算法的安全性取決于密鑰空間的大小、加密圖像對密鑰的敏感性及算法的復(fù)雜性,下面逐一進(jìn)行分析。(1密鑰空間根據(jù)改進(jìn)的圖像加密方案,加密過程采用的密鑰包括:生成隨機(jī)相位掩膜中的參數(shù)k1和k2(設(shè)參數(shù)由10位數(shù)字組成,則密鑰空間數(shù)量級為1010;FRF T的階1,

12、2和1,2(密鑰空間數(shù)量級為103;混沌映射中的x0(密鑰空間數(shù)量級為1015和(密鑰空間數(shù)量級為1013。因此總密鑰空間達(dá)到1060,可見該算法密鑰空間巨大,能夠抵抗非授權(quán)用戶在規(guī)定時間內(nèi)的窮舉攻擊。(2加密圖像對密鑰的敏感性設(shè)定不同的混沌映射初始條件x0和,其它所有參數(shù)都相同的條件下恢復(fù)的原始圖像如圖4(b所示;設(shè)定用戶加密密鑰k1=1234567890,解密密鑰k1=1234567891,其它所有參數(shù)都相同的條件下的解密圖像如圖4(c所示;設(shè)定加密階(1=114149,1=11751,解密階(1=114149,1=11761,其它所有參數(shù)都相同的條件下的解密圖像如圖4(d所示。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果

13、可以看出,密鑰的細(xì)微改變都會對解密圖像產(chǎn)生很大影響,即該算法對密鑰是敏感的。42成都信息工程學(xué)院學(xué)報第25卷 (a 正確解密圖像 (b 錯誤置亂下的解密圖像 (c 錯誤變換階數(shù)下的解密圖像 (d 錯誤密鑰下的解密圖像圖4解密圖像示例5結(jié)束語針對目前基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的圖像加密算法中存在的不足,設(shè)計(jì)了一種圖像加密改進(jìn)算法。算法重新設(shè)計(jì)了基于FRF T 圖像加密算法的流程圖,將原始圖像經(jīng)過雙隨機(jī)相位加密后再進(jìn)行混沌置亂映射。理論分析和模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方案不僅解決了之前算法存在的不足,而且具有密鑰空間巨大、加密圖像對密鑰敏感等特性,是一種安全、有效的圖像加密方案。參考文獻(xiàn):1Sun Hongbo

14、 ,Liu Guosui ,Gu Hong.Application of fractional fourier trans form to moving target detection inairborne SAR J .IEEE Transaction Onaero space and Electronic Systems ,2002,38(3:1416-1424.2Igor Djurovic.Srdjan Stankovic Bannis Pitas.Digital watermarking in the fractional Fourier transformationdomain J

15、 .Journal of Network and Computer Applications ,2001,24:167-173.3SooChang Pei ,JianJiun Ding.Relations between fractional operations and time 2frequency distributions andtheir application J .IEEE Trans ,2001,49(8:1638-1655.4陶然,齊林,王越.分?jǐn)?shù)階Fourier 變換的原理與應(yīng)用M .北京:清華大學(xué)出版社,2004.5Soo 2Chang Pei ,Jian 2Jiun D

16、ing.Closed 2form discrete fraction and affine Fourier transforms J ,IEEE Trans onSignal Processing ,2000,48(5:1338-1353.6張兆祥,田沛.基于分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的圖像加密研究J ,儀器儀表用戶,2007,14(5:87-88.7劉家勝.基于混沌的圖像加密技術(shù)研究D .合肥:安徽大學(xué),2007.A Modif ied Image Encryption AlgorithmB ased on Fractional Fourier T ransformCU I De 2long ,XIA

17、O Ming ,ZUO Jing 2long(College of Computer and Electronic Information ,Maoming University ,Maoming 525000,China Abstract:In order to cope with the shortage of present image encryption algorithm ,a novel image encryption algorithm based on chaotic system and fractional Fourier transform is proposed i

18、n this paper.The image encryption process includes two steps :first the image is encrypted by employing fractional Fourier through double random phase ,then the confusion image is encrypted by using confusion matrix which is generated by chaotic system ,and finally the cipher image is obtained.The security of the proposed algorithm depends on the sensitivit y to the randomness of phase mask ,the orders of FRF T and the initial conditions o