/廣東省佛山市2024_2025學(xué)年高二下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若物體的運(yùn)動(dòng)方程是，時(shí)物體的瞬時(shí)速度是（

）A．33 B．31 C．39 D．272．設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是（）A．6 B．2 C．3 D．3．已知函數(shù)，則（）A．1 B． C．2 D．4．函數(shù)在上的圖象大致為（）A． B．C． D．5．在上既有極大值也有極小值，實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．下列四個(gè)不等式①，②，③，④中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．28．2160的不同正因數(shù)個(gè)數(shù)為（

）A．42 B．40 C．36 D．30二、多選題（本大題共3小題）9．下列求導(dǎo)正確的是（

）A． B．C． D．10．現(xiàn)分配甲、乙、丙三名臨床醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)專(zhuān)家到A，B，C，D，E五家醫(yī)院進(jìn)行核酸檢測(cè)指導(dǎo)，每名專(zhuān)家只能選擇一家醫(yī)院，且允許多人選擇同一家醫(yī)院，則（

）A．所有可能的安排方法有125種B．若A醫(yī)院必須有專(zhuān)家去，則不同的安排方法有61種C．若專(zhuān)家甲必須去A醫(yī)院，則不同的安排方法有16種D．若三名專(zhuān)家所選醫(yī)院各不相同，則不同的安排方法有10種11．設(shè)函數(shù)，則（）A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，三、填空題（本大題共3小題）12．書(shū)架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書(shū)，第2層放有3本不同的文藝書(shū)，第3層放有2本不同的體育書(shū).從書(shū)架上任取1本書(shū)，不同的取法有種.13．已知定義在上的函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是．14．函數(shù)上的點(diǎn)到直線的最短距離是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)．(1)寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)在上的最大值、最小值．16．已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.(1)求證：是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.17．如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．18．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知函數(shù)在處取得極值(1)求實(shí)數(shù)的值(2)求證：(3)證明：對(duì)于任意的正整數(shù)，不等式都成立.

答案1．【正確答案】A【詳解】由已知可得，所以，所以時(shí)物體的瞬時(shí)速度是.故選.2．【正確答案】A【詳解】由題意，，即，故，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是6.故選A.3．【正確答案】A【詳解】由于函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)為：，代入，可得：，解得.故選A．4．【正確答案】A【詳解】因?yàn)椋裕院瘮?shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故排除答案CD，又，，設(shè)，，則，.所以在上為增函數(shù)，又，所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，故排除B.故選A.5．【正確答案】A【詳解】由求導(dǎo)得，因函數(shù)在上既有極大值也有極小值，故必有兩個(gè)相異實(shí)根，即，解得.不妨設(shè)方程的兩根為且則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即在時(shí)取得極大值，在時(shí)取得極小值，符合題意.故選A.6．【正確答案】C【分析】首先證明、，利用判斷①②③，令，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可說(shuō)明④.【詳解】令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；令，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；對(duì)于①：當(dāng)時(shí)，所以，故①正確；對(duì)于②：因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故②正確；對(duì)于③：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：令，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故④正確；綜上可得①②④正確．故選C.【思路導(dǎo)引】結(jié)合題中的4個(gè)不等式，分別構(gòu)造函數(shù)，，并求導(dǎo)，計(jì)算出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值，從而判斷不等式的正誤.7．【正確答案】D【詳解】解法一：令，即，可得，令，原題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，注意到均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在y軸上，可得，即，解得，若，令，可得因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則方程有且僅有一個(gè)實(shí)根0，即曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，所以符合題意；綜上所述.解法二：令，原題意等價(jià)于有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知的零點(diǎn)只能為0，即，解得，若，則，又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0，所以符合題意；故選D.8．【正確答案】B【詳解】，所以2160的不同正因數(shù)個(gè)數(shù)為：.共40個(gè).故選B.9．【正確答案】AC【詳解】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式有：，A正確；根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：，B錯(cuò)誤；根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則有：，C正確；根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式有：，D錯(cuò)誤.故選AC.10．【正確答案】AB【詳解】對(duì)于A，每名專(zhuān)家有5種選擇方法，則所有可能的安排方法有種，A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，所有可能的方法有種，A醫(yī)院沒(méi)有專(zhuān)家去的方法有種，所以A醫(yī)院必須有專(zhuān)家去的不同的安排方法有種，B正確；對(duì)于C，專(zhuān)家甲必須去A醫(yī)院，則專(zhuān)家乙、丙的安排方法有種，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，三名專(zhuān)家所選醫(yī)院各不相同的安排方法有種，D錯(cuò)誤．故選AB.11．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A，由于，故.所以，從而對(duì)有，所以是的極大值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由于，故，且由，，可得.故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，由于，故由，可知，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，有，故，所以，故D正確.故選BCD.12．【正確答案】9【詳解】解：由題意，若從第一層取書(shū)，則有4種不同的取法，若從第二層取書(shū)，則有3種不同的取法，若從第三次取書(shū)，則有2種不同的取法，所以不同的取法有種.13．【正確答案】【詳解】令，得．對(duì)求導(dǎo)，得，所以，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為．14．【正確答案】【詳解】要使上的點(diǎn)到直線的最短，則該點(diǎn)切線平行于，由且，令，∴，解得（舍）或，∴切點(diǎn)為，故最短距離為.15．【正確答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)最大值為，最小值為.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋没颍?dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知，，，的變化情況如下表：極大值極小值所以函數(shù)的極大值為，極小值為，又，所以函數(shù)在上的最大值為，最小值為.16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）由題意，數(shù)列滿足，即，則，又由，可得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）知，得到，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）（1）因?yàn)槠矫妫矫妫裕郑矫妫云矫妫矫妫?因?yàn)椋裕鶕?jù)平面知識(shí)可知，又平面，平面，所以平面．（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作于，再過(guò)點(diǎn)作于，連接，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫矫嫫矫妫云矫妫郑云矫妫鶕?jù)二面角的定義可知，即為二面角的平面角，即，即．因?yàn)椋O(shè)，則，由等面積法可得，，又，而為等腰直角三角形，所以，故，解得，即．18．【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【詳解】（1）且，∴時(shí)，即單調(diào)遞增；時(shí)，有，即在上單調(diào)遞增；有，即在上單調(diào)遞減；綜上，時(shí)在上單調(diào)遞增；時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由題設(shè)，，即恒成立，令，則，∴由（1）知：時(shí)有極小值也是最小值，故只需即可.若，則，即在上遞減，又，∴時(shí)，，即恒成立.∴正實(shí)數(shù)的范圍為.19．【正確答案】(1)1(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】(1)利用建立方程求解