1、重大&西華大學測試技術與信號分析習題與題解適用專業:機械類、自動化課程代碼:學 時:42-48編寫單位:機械工程與自動化學院編寫人:余愚審核人:審批人:第二章習題解答2-1 什么是信號？信號處理的目的是什么?2-2 信號分類的方法有哪些?2-3 解：求正弦信號x t = As int的均方值X。T2 a2AT2 1 T 2 2x t dt 二A sin tdtTr2-02 2 2sin tdt ATA2T22 1 - cos2-1 dtT sin T44 也可先求概率密度函數：p(t)二-則:22x p(x)dxA222-4.求正弦信號xt二Asint )的概率密度函數p(x)。1x解：t =

2、 arcs in ,A代入概率密度函數公式得：乞_ 1 dx 1.無也t丨1p(x) = lim lim=T _ dx竺 2TT、A2_x2、A2x2co2-5 求如下圖所示周期性方波的復指數形式的幅值譜和相位譜解 在x(t)的一個周期中可表示為/|t 蘭 T1x(t).0T1 ct T/2該信號基本周期為T,基頻-.0=2二/T，對信號進行傅里葉復指數展開。 們可以方便地選取-T/2Wt Xfo證明：因為Fe i2f0t二 f。)又因為xtej2他 ft , x f0*Fefxte j2嘰 FT X fo *、(f 二 f) = X f 二 f。證畢!2-12 .設x(f)為周期信號即：若則

3、式中x*(t)為x(t)的共軛。證明：x(t)的頻譜，證明傅里葉變換的共軛和共軛對稱特性x r FT x fx* r ftx* - fxt A JX(f)ejftdf由于X (f )=|Jx(t)e(t)ej2_ftdt上式兩端用-f替代f得(t)ej2ftdt* -:X(- f A Jx上式右端即為x (t)的傅里葉變換，證畢！特別地，當x(t)為實信號時，代入x*(t)= x(t),可得X(f)共軛對稱，即X(-f )=X*(f )2-13.設X(f)為周期信號x(t)的頻譜，證明傅里葉變換的互易性 即：若x tX f則X t ； j xA f證明：由于x(t)二，；X(f)ej2_ftd

4、f以-t替換t得x-t =X(f )ftdf上式t與f互換即可得x_fXedtJ -J30X t， x -f證畢。特殊情況，當x t為偶函數時,2-14.用傅里葉變換的互易特性求信號g(t)的傅里葉變換G(f), g(t)定義如下:且已知2a a2 +(2兀f )解：當a=2二不難看出g(t)與X(f)非常相似。代入a=2二，根據傅里葉變逆換有e啦df = J巴厶e陀df2 兀 + f 2FT X(f)=等式兩端同時乘以-be- 2 2(2 兀)+(2tf )2二，并用-t替代變量t得2ee2fldt交換變量t和f得-2二 f|- 21 t2e2_ftdt上式正是g(t)的傅立葉變換式，所以g

5、(t)二1 t22-15 所示信號的頻譜1 x(t)x1(t -2.5) x2(t -2.5)2式中X1(t), X2(t)是如圖2-31b),圖2-31c)所示矩形脈沖。解：根據前面例2-15求得X1(t), x2(t)的頻譜分別為X1(f )和 X2(f)二si n3 二f f根據傅里葉變換的線性性質和時移性質可得:X(f) =e如丿舟 sin 兀f +sin3兀nfx(t)1,51L h ,、012345MH圖 2-312-16.求信號x(t)的傅里葉變換x(t) =a 01解：由例 2-16 已知eJtu(t )-FT- a + j 2rf注意到x(t)為實偶函數， t 0時x(t)二

6、etu(t) , t1a - j2 二f最后得在實際應用中,X(f)-a j2fa-j2：f2aa2 +(2兀f f般 a為0的實數x(2t)的傅里葉變換2-17 .已知信號x(t)試求信號x(0.5t)，x(t)-0,解：由例可知x(t)的傅里葉變換為X(f) = 2飛 sinc2rfT1根據傅里葉變換的比例特性可得如圖2-32所示，由圖可看出，時間尺度展寬(a1.0)會導致其頻譜頻帶變寬，且向高頻端擴展，這種情況為我們提高信號分析速度提 供了可能。a=0.5a=1.0x(t/2)1-T/4T/411-1/2T2T11/2Ti ”-1/T.1T1/T1-2/T1I1T/2 2/T1a=2.0

7、題圖2-17時間尺度展縮特性示意圖2-18求同周期的方波和正弦波的互相關函數 解：因方波和正弦波同周期，故可用一個周期內的計算值表示整個時間歷程的計算值, 又根據互相關函數定義，將方波前移T秒后計算：3Tt-1 sin，tdt 亠 it 41 sin，tdt 亠 i3T-1 sin，tdt/ 4 Yr 4 YRxy(.UT 1丄cos tT04 _ - cos t3T _TT44_COSt 3T4_01-cos5、一一饑 I1COS-OTi + cos+1 cos 色12兀2丿2)2丿124sin -2 二2 .sin，ji2-19.求信號x(t)二eu(t)的自相關函數。解：由定義Rx( H

8、 二x(t)x(t )dt(t )u(t)dt二 _ etu(t)e二e _：eatu(t)u(t)dt其中積分的被積函數的非零區間為t _0與t 一0的交集，即t _max(0, - .)。因此，當._0時，上式為Rx()十一 eatdt 二 et J-2a-2at、e )：1-at0 一 2ae0當.：0時，則有eatdt = eF (丄 eat)y-2a弋(0-丄e2a “丄ea-2a2a0綜合有Rx( 7e02-20.下面的信號是周期的嗎？若是,請指明其周期。(1)f(t)Ji x in x二 a sin t 亠 bcos t53(30)(2)f(t)=a sin -t bcos t6

9、3（12 二）(3)f(t)3= asi n(-t)4 3(冬)3(4)f(t)JIH=a cos(t )45(8)2-21 .如圖所示，有 N = 2n 1個脈寬為.的單位矩形脈沖等間隔（間隔為T .）地分布在原點兩側，設這個信號為X（t），求其FT。解：由題意，nx（t）二 Xo（t - mT）m - _n其中xt) =G (t)，其FT為X0C 0 = sinc()。根據FT的時移特性，可以求得 ” 2-nX( ) =X( ) eT.m 二_n= X( )= Xo()jm Tj(n -1)- Te e= Xo() &Tej T/2(ejN 丁/2 _ ejN T/2) ejT/2 T/2

10、 _e-j 丁/2) (ejN T/2 _ejN T/2) (ej T/2dT/2).N Tsin(丁)Tsin (牙)F面分析一下所求的結果。2m 二N T前（2）時，由羅彼塔法則可以求得 =N，因此X （；：） = NX0（；：），前（號）是單個矩形脈沖頻譜2m Xo（）的N倍，這是N個矩形脈沖的譜相互疊加的結果；而當 NT(m不N Tsin（丁）是N的倍數）時,b )。20，這是N個譜相互抵消的結果。見圖（Tsi n（5）可以看出，如果N不斷增大，這些等間隔分布的矩形脈沖的頻譜能量逐漸向離散點2m 二處集中，而且幅度也越來越大。特別地，當N：時，時域信號變成了周期矩形脈T沖信號，而頻域則

11、變成了只在離散點= 2 處有值的離散譜，在這些點處的頻譜幅度變成T了沖激信號（因為能量趨于無窮大）。這也應驗了：借助于沖激信號，周期信號也存在FT。2-22. “時域相關性定理”可描述如下FRxy(J =X(f) 丫(f)試證明。下面給出兩種證明方法。證明1:FRxyC)*(t _ )ej2f d dtj2衛qQ二X(t)x* (t)dtdf dtJ；X*(f)jftdf di.；X*(f).(“一“水 df(IFT定義)x(t).(交換積分次序)廣x(t)，y* (t -i)dt。2噸叼1qo r co=x(t)Jy*(t7)e2W)dGt)oOjof_ cO *x(t)egt |y(-(T

12、)e= X(f)Y*(f)這里利用式：Fy*(-t)二Y*(f)，是FT的“反褶共軛”性質。證明2：根據相關運算與卷積運算之間的關系RxyG) =x(-t)* y(t)利用FT的“反褶共軛”性質，可以直接得到結論。 在式中，令X = y，則可得 自相關的傅里葉變換FRx(i) =X(f) X*(f)= X(f)式中說明，“函數相關的FT是其幅度譜的平方”，換句話說，“函數的自相關函數與其幅度譜的 平方是一對傅里葉變換對”。利用FT的奇偶虛實性，若 y(t)是實偶函數，那么 Y(f)也是實偶函數。這樣我們就得到了 一個特例結論，FRxyG)=X(f) Y*(f)=X(f) 丫(f)即當y(t)是

13、實偶函數時，相關性定理與卷積定理是一致的。2-24 帕斯瓦爾定理2 2._.x(t) dt=j二X(f) df證明：- 2二 f(t) dt 二(FT定義),；X*(f)X(f)dfx(f) df第三章習題及題解1 試說明二階裝置的阻尼比Z多采用Z=( 0.60.7)的原因二階系統的幅頻特性曲線和相頻特性答：二階系統的阻尼比 Z多采用Z=( 0.60.7)的原 因，可以從兩個主要方面來分析，首先，根據系統不 失真傳遞信號的條件，系統應具有平直的幅頻特性和 具有負斜率的線性的相頻特性，右圖所示為二階系統 的幅頻特性和相頻特性曲線，嚴格說來，二階系統不 滿足上述條件，但在一定的范圍內，近似有以上關

14、系。 在特性曲線中可以看出，當3 (2.53.0) 3 n范圍內$ ( 3 )接近180?且 差值甚小，如在實際測量或數據處理中用減去固定相 位差的方法，則可以接近不失真地恢復被測輸入信號波形。若輸入信號的頻率范圍在上述兩者之間，由于系統的頻率特性受Z的影響較大，因而需作具體分析。分析表明，當匸=0.60.7時，在3 = (00.58) 3 n的頻率范圍中，幅頻特性A( 3 ) 的變化不超過5%,此時的相頻特性曲線也接近于直線，所產生的相位失真很小。其次其他工作性能綜合考慮，單位階躍信號輸入二階系統時，其穩態輸出的理論誤差為零。阻尼比將影響超調量和振蕩周期。Z 1，其階躍輸出將不會產生振蕩，但

15、需要經過較長時間才能達到穩態輸出。Z越大，輸出接近穩態輸出的時間越長。Z T試求其頻譜解：設xs(t)=cos2f0t w(t)其中w(t)二1t ：T0t T1 1Fcos2“：f0t = 2、(f f。)2 (f - f。):_-T _Fw(t) = . . w(t)eH2 #dt = -e ”dt =2Tsinc2 ：fT11FXs(t) =2Tsinc2f 、(f f。)(f -f。)22二 Ts in c2：(ff0 )T T si n c2：( f - f。)T2、已知余弦信號x(t)二C0S2二ft，載波z(t)二C0S2二fzt，求調幅信號Xm(t) 譜。解：11Fx(t) =

16、2 .(f -f。) 2(f fo)11Fz(t) =2 .(f -fz) 2(f fz)1111Xm(f) “2 (f - fo) 2(ff。)2、(f 一 fz) 2 (f fz)1 (ffz fo) (ffz - fo) (f - fz - fo) (fx(t) z(t)的頻fzfo)3、求余弦偏置調制信號 xm(t) =(1 cos2二fot)cos2二fzt的頻譜。解:Xm(f)二 Fcos2fzt Fcos2fot cos2fzt1 1(f fz) 、(f 一 fz) fl (f fzfo) 、(f fz (f 一 fz - fo) (f - fz fo)4、已知理想低通濾波器fo

17、)入ef2fc （要考慮抗頻混濾波器的截止特性）將 x t采樣為離散序列xnA ,這樣的時間軸上離散而幅值模擬的信號 通常稱為采樣信號。而后，量化裝置將每一個采樣信號的電壓幅值轉換為數字碼，最終把電壓信號x t變為數字序列Xn。3）運算分析單元接收數字序列 Xn,將其分為點數固定的一系列數據塊，實現信號的時域截 斷和加窗，進而完成各種分析運算，顯示、輸出分析結果。5-2 模數轉換器的輸入電壓為010V。為了能識別2mV的微小信號，量化器的位數應當是多少？若要能識別1mV的信號，量化器的位數又應當是多少？解：設量化裝置的位數為 m。若要識別2mV的信號，則10O0 10，得 m 狂 132若要識

18、別1mV的信號，則10-3IIIII:fN=750Hzf HzI一 |ILL；0200 3007005-6.已知某信號的截頻fc= 125Hz ,現要對其作數字頻譜分析，頻率分辨間隔計=1Hz。問：1）采樣間隔和采樣頻率應滿足什么條件？2）數據塊點數 N應滿足什么條件？ 3）原模擬信號的記錄長度T = ?解：1）信號的帶寬為125Hz，采樣頻率應該大于等于它的兩倍，所以fs _ 250 Hz , A 二 1 f 4 ms。2）頻率分辨間隔 f = 1Hz，所以 N =1 s。如果取掄=4ms，貝UN =250若N值取基2數，則N = 256。3）模擬信號記錄長度T - N理論上至少應在1.02

19、4秒以上。.第八章題解8-1擬用固有頻率fn=100Hz，阻尼比E = 0.7的慣性式測振裝置（如圖）測頻率為f = 45Hz的加速度時，其振幅誤差為多少？又，若用此裝置所記錄頻率為5Hz之振動位移的振幅范圍為 0.1m m,則可測試的最大加速度為多少？題圖 8-1Xm=0.9747所以振幅誤差為2xog-1 ： (0.9747-1)% = -2.543%由上式（1）可得:i 50 22 2 2250 ； 22 2100 2 二丿1(GT) +57聾而莎)對 xom = 0.1mm-252丨2522Xog =0.1 (100 220). 1-( 一)4 0.7() =39.5(m/s2)-IL

20、 100100”1 2xm 一 -0.1mm,Xog =39.5 (m/s )答：振幅誤差約為2.543%可測試的最大加速度為39.5 m/s2 .=0.5;應當8-2如果有兩只慣性式測振傳感器，其固有角頻率和阻尼率分別為3 n1 =250弧度/秒, z 13 n2 = 100弧度/秒, Z 2 = 0.6,現在要測量轉速為 n = 3500轉/分電機的簡諧振動位移， 選用哪只傳感器，為什么？8-2 解:n=3500 轉/分鐘=366.5 弧度/秒 = 366.5- 366.5=1.47 1又由慣性式位移傳感器的正確相應條件= 0.6 0.7因此可選用n2=100弧度/秒、：2=0.6的傳感器

21、也可由A()xXo1X1 2(一)2,1 一(/ n)22(/ n)2對（1）Xo1X11.472,1 -1.4722 2 0.5 1.472=1.15所以：Xo1 =1 .15對（2）:匹=.=1 .02= A（ / : 1X2J1 3.6722 +2x0.6x3.672所以： Xo2 =1 .02 X2 又 6 2=0.66 較好因此根據以上比較選用第二只.8-3應變式加速度傳感器如圖所示。加在彈簧懸臂上的質量m = 1.25kg，彈簧懸臂具有均勻的矩 形橫截面b=2cm, h=0.4cm，懸臂材料的彈性模 量E=210GN/m2,懸臂和支座的質量忽略不計。 在懸臂上對稱的貼有四片相同的電

22、阻應變片，并采用全橋連接的方式，應變片的靈敏系數K=2 ,電阻值 R1 = R2 = R3 = R4 =120 Q ,質量 m 的質心到應變片中心的距離L = 8cm。問：當應變儀讀數為200微應變（卩& ）時，每 片應變片的電阻變化為多少？這時的水平加速 度a又為多少？若用此加速度計測量振動頻率為80次/秒的加速度是否合適，為什么？*丄bE冊3向 向題圖 8-3解：該加速度計的固有頻率fn1 k 1 3EJ 1 3Ebh3 ! | 2二：m 一 2二 I ml3 一 2 12ml313 210 105 2 0.432 12 1.25 10，83= 51.6hz因慣性式加速度計用于測量加速時的

23、條件是:VV1即 f vv fn而現在 f = 80 HZ fn =51.6 HZ ,故不合適.若一定要采用就必須對測試結果進行非線性修正又，在設備工礦監測工作中，當采用相 對的比較判據時，由于是進行相對比較判據，因而在一定的范圍（不超過傳感器能產生相應的 頻率范圍）內，尤其當監測對象的特征頻率在傳感器線性程度所允許的工作頻率范圍內時，仍 然可以使用.因全橋連接，故；m =4 ；,1；m411所以：R 二 k；Rk mR2 200 101 2 0 0.0 1244ma lbh2/6所以：abh2 /10 105 50 吧 2 42 = 560 cm/s2=5606ml6x1.25x10x898

24、1=0.57g式中單位換算：Ns222m =1.25kg =1.251.25 10Ns2 / cmm29252E= 210GN /m =210 10 N/m =210 10 N/cm8-4用于自動檢驗表面波紋的杠桿電觸點位移傳感器（如圖）由與被檢驗表面接觸的測量桿1和增大測量桿位移 L /I倍的杠桿3組成。測量桿由剛度為 c 1的彈簧2壓向被檢驗表面， 杠桿3固接在具有角剛度c 2的板彈簧5上。當零件表面波紋超出許可范圍時，觸點4中的一個閉合一一發出檢測出廢品的信號。檢驗工作的生產率與零件相對傳感器移動的速度V成正比，然而，速度過大可能在 B1點處破壞接觸。若零件表面的數學方程為x = a s

25、in 2n Z/ A （式中A為粗造度波長），測量桿1的質量為m,杠桿3對餃鏈O的轉動慣量為J,忽 略摩擦力，測量桿安裝在被檢驗表面時彈簧2有預張緊x 0,餃鏈處彈簧5有預張緊$ ,求零件移動的極限速度 V*。8-4解：桿 1移動某 值x引起 的杠桿轉 動角度:=x/l , 在這種情 況下當向 上運動時 彈簧2的 力增大，而 彈簧5中 的減小。這時樣在桿1上作用有慣性力一 mx ,彈簧2的阻力c （x x0），支座反力R和杠桿3的作用力等 于Jc2d/l。這時桿1的運動微分方程為：（m J /12）x （c -c2 /12）x （C|x0 c2 0 /I） = R令:2/ I 2m J /l = M ； G C2/I =c；桿的運動微分方程為：Mx cx F0 = R恒定接觸時的條件在于點Bi處的反力不改變符號，也即因為表面輪廓用下列方程描述：x = a sin 2二z/ A測量桿的運動方程具有形式x = asin t式中t = 2二z/A = （2二 / A）vt把（b）待入（a），并考慮到條件 R Z 0，2 2（p - ）asin，t F0/M式中p0 = c/M為儀表桿桿的移動頻率。有兩種可能破壞接觸的情況。在狀態CiXoC2olR_0如果系統的參數這樣選擇，