1、導數概念與運算基礎知識總結知識清單1導數的概念函數y=f(x),如果自變量x在x處有增量，那么函數y相應地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函數y=f（x）在x到x+之間的平均變化率，即=。如果當時，有極限，我們就說函數y=f(x)在點x處可導，并把這個極限叫做f（x）在點x處的導數，記作f（x）或y|。即f（x）=。 說明：（1）函數f（x）在點x處可導，是指時，有極限。如果不存在極限，就說函數在點x處不可導，或說無導數。（2）是自變量x在x處的改變量，時，而是函數值的改變量，可以是零。由導數的定義可知，求函數y=f（x）在點x處的導數的步驟（可由學生來歸納）：（1）求函數的增量=f（x+

2、）f（x）；（2）求平均變化率=；（3）取極限，得導數f(x)=。2導數的幾何意義函數y=f（x）在點x處的導數的幾何意義是曲線y=f（x）在點p（x，f（x）處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點p（x，f（x）處的切線的斜率是f（x）。相應地，切線方程為yy=f/（x）（xx）。3幾種常見函數的導數: ; ; ; .4兩個函數的和、差、積的求導法則法則1：兩個函數的和(或差)的導數,等于這兩個函數的導數的和(或差)，即： (法則2：兩個函數的積的導數,等于第一個函數的導數乘以第二個函數,加上第一個函數乘以第二個函數的導數，即：若C為常數,則.即常數與函數的積的導數等于常數乘以函數的

3、導數： 法則3：兩個函數的商的導數，等于分子的導數與分母的積，減去分母的導數與分子的積，再除以分母的平方：=（v0）。形如y=f的函數稱為復合函數。復合函數求導步驟：分解求導回代。法則：y|= y| ·u|導數應用知識清單1 單調區間：一般地，設函數在某個區間可導，如果，則為增函數；如果，則為減函數；如果在某區間內恒有，則為常數；2極點與極值：曲線在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導數為0；曲線在極大值點左側切線的斜率為正，右側為負；曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正；3最值：一般地，在區間a，b上連續的函數f在a，b上必有最大值與最小值。求函數在(a，b)內的極值；求函數

4、在區間端點的值(a)、(b)；將函數 的各極值與(a)、(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定積分（1）概念：設函數f(x)在區間a，b上連續，用分點ax0<x1<<xi1<xi<xnb把區間a，b等分成n個小區間，在每個小區間xi1，xi上取任一點i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x為小區間長度），把n即x0時，和式In的極限叫做函數f(x)在區間a，b上的定積分，記作：，即(i)x。這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區間a，b叫做積分區間，函數f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式。基本的積分公式：C；C（

5、mQ， m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均為常數）。（2）定積分的性質（k為常數）；（其中acb。（3）定積分求曲邊梯形面積由三條直線xa，xb（a<b），x軸及一條曲線yf（x）(f(x)0)圍成的曲邊梯的面積。如果圖形由曲線y1f1(x)，y2f2(x)（不妨設f1(x)f2(x)0），及直線xa，xb（a<b）圍成，那么所求圖形的面積SS曲邊梯形AMNBS曲邊梯形DMNC。典型例題一 導數的概念與運算EG：如果質點A按規律s=2t3運動，則在t=3 s時的瞬時速度為（ ）A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s變式：定義在

6、D上的函數，如果滿足：，常數，都有M成立，則稱是D上的有界函數，其中M稱為函數的上界.【文】（1）若已知質點的運動方程為，要使在上的每一時刻的瞬時速度是以M=1為上界的有界函數，求實數a的取值范圍.【理】（2）若已知質點的運動方程為，要使在上的每一時刻的瞬時速度是以M=1為上界的有界函數，求實數a的取值范圍.EG：已知的值是（ ）A. B. 2 C. D. 2變式1：（ ）A2C3D1變式2：（ ）ABCD根據所給的函數圖像比較變式：函數的圖像如圖所示，下列數值排序正確的是（ ） A. y B. C. D. O 1 2 3 4 x EG：求所給函數的導數：。變式：設f(x)、g(x)分別是定義

7、在R上的奇函數和偶函數,當x0時,0.且g(3)=0.則不等式f(x)g(x)0的解集是A(3,0)(3,+) B(3,0)(0, 3)C(, 3)(3,+) D(, 3)(0, 3)EG：已知函數.(1)求這個函數的導數；（2）求這個函數在點處的切線的方程.變式1：已知函數.（1）求這個函數在點處的切線的方程；（2）過原點作曲線yex的切線，求切線的方程.變式2：函數yax21的圖象與直線yx相切，則a( )A. B. C. D. 1EG：判斷下列函數的單調性，并求出單調區間：變式1：函數的一個單調遞增區間是A. B. C. D. 變式2：已知函數(1)若函數的單調遞減區間是（-3，1），則

8、的是 . (2)若函數在上是單調增函數，則的取值范圍是 .變式3： 設，點P（，0）是函數的圖象的一個公共點，兩函數的圖象在點P處有相同的切線.（）用表示a，b，c；（）若函數在（1，3）上單調遞減，求的取值范圍.EG：求函數的極值.求函數在上的最大值與最小值.變式1： 函數的定義域為開區間，導函數在內的圖象如圖所示，則函數在開區間內有極小值點（ ）A1個 B2個 C3個D4個變式2：已知函數在點處取得極大值，其導函數的圖象經過點，如圖所示.求：（）的值；（）的值.變式3：若函數，當時，函數極值，（1）求函數的解析式；（2）若函數有3個解，求實數的取值范圍變式4：已知函數，對xÎ1，

9、2，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范圍。EG：利用函數的單調性，證明：變式1：證明：，變式2：（理科）設函數f(x)=(1+x)2ln(1+x)2.若關于x的方程f(x)=x2+x+a在0，2上恰好有兩個相異的實根，求實數a的取值范圍.EG： 函數若恒成立,求實數的取值范圍 變式1:設函數若恒成立，求實數的取值范圍.變式2:如圖,曲線段OMB是函數的圖象,軸于點A,曲線段OMB上一點M處的切線PQ交x軸于點P,交線段AB于點Q，(1)若t已知,求切線PQ的方程 (2)求的面積的最大值變式3:用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻折900角，再焊接而成，問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大的容積是多少？變式4:某廠生產某種產品件的總成本（萬元），已知產品單價的平方與產品件數成反比，生產100件這樣的產品單價為5