1、1998年3月四川師范大學學報(自然科學版M ar.,1998第21卷第2期Journal of Sichuan N o r m al U niversity(N atural ScienceV o l.21,N o.2對最小作用量原理的一些思考李秀芬1梁廷高2(1樂山師范高等專科學校物理系,四川樂山614000;2四川師范大學物理系,成都610066摘要首先把“最小作用量原理”的發展歷程分為5個階段,然后對如下一些易于令人迷惑的問題提出了一些自己的看法:(1對“L east2acti on p rinci p le”漢譯名的探討;(2如何看待“最小作用量原理”帶有的神秘色彩?(3“微分方程方

2、法”和“作用量方法”的一些比較.關鍵詞最小作用量原理;經歷量;作用量方法中圖法分類號O331為便于闡述,我們首先把“最小作用量原理”的發展歷程分為以下5個階段:(1古希臘人從光的反射定律中發現,光從一個空間點經一定界面反射到另一空間點的過程中,恰好遵從反射定律(入射角等于反射角時的路徑最短.一些思想家由此紛紛提出“自然不會做多余的事情”、“自然遵從經濟法則”之類的觀點,這也許是近代物理學中形成“最小觀念”的萌芽.(2到1661年,法國科學家費爾瑪根據光的折射定律發現,光從一種介質進入另一種介質的過程中并非選擇最短路徑,而是選擇費時最少的路徑.他由此提出了“最少時間原理”,并用此原理來解決了一些

3、有關光傳播的具體問題.這就是現在仍作為幾何光學基礎的“費爾瑪原理”.“費爾瑪原理”可視為物理學中形成“最小觀念”并獲得成功應用的開端.(3到1747年,法國科學家莫泊丟在題為各種自然定律的一致中認為,最小觀念不僅適用于光的傳播過程,也應普遍適用于各種物理現象.他把光的折射定律同力學定律比較后發現,“最小觀念”應用于力學過程時并非普遍遵從“時間最短”原理.由此,他提出了“物質系統實際發生的過程應是使某個反映其經歷特征的參量取最小值”.莫泊丟實際上是把“費爾瑪原理”發展成為了一個具有全新內容和極大適用范圍的嶄新原理.這一原理被稱為“L east2acti on p rinci p le”,中國的物

4、理書籍把它翻譯為“最小作用量原理”,把反映經歷特征的參量“acti on”翻譯為“過程量”.(4莫泊丟雖然提出了最小作用量原理,也成功地用來解決了一些力學問題,但他未能給出相應的數學表述形式和數學推演體系.俄國科學家歐勒對此作出了特殊的貢獻.他在研究“最速降落線問題”過程中建立了變分原理和變分法.這一新的數學體系恰好可作為“最小作用原理”所需要的數學語言.變分法還使歐勒認識到,應用最小作用原理的關鍵在于尋求所考察過程的作用量的具體數學表示式.歐勒的這一認識至今仍是應用最小作用量原理的基本思路.收稿日期1997-10-21李秀芬女34歲講師四川師范大學進修學者822四川師范大學學報(自然科學版2

5、1卷順便指出,歐勒表述和運用的最小作用原理,實際上是他獨立于莫泊丟自己建立的,他們兩人都把這一原理的合法性建筑在神學基礎上,都認為這一原理“滿足了創世主施展威力的欲望,是創世主最賢明地使用這一威力的不可避免的歸結.”(518世紀末,法國科學家拉格朗日建立分析力學;19世紀上葉,愛爾蘭科學家哈密頓建立哈密頓原理和哈密頓方程.這些成果標志最小作用量原理和相應的變分原理的理論體系已經發展到相當完善的地步,但其應用仍被局限于經典力學這一狹窄的領域.進入本世紀后,愛因斯坦在建立引力場方程不久就與希爾伯特分別找到了相應的作用量的表示式,從而由最小作用量原理建立了引力場方程.到30年代,美國物理學家費曼在電

6、磁場過程的作用量的表示式的基礎上建立了路徑積分理論,把作用量方法引入了量子力學.這些成就使物理學家們日益鐘愛作用量方法,甚至相信可以用一個作用量公式表述出整個宇宙的全部物理學理論.針對以上所闡述的內容,我們作了以下幾點思考.1關于“L east2acti on p rinci p le”的漢譯名稱如前所述,這一名稱來自莫泊丟的假設“物質系統實際發生的過程應是使某個反映其經歷特征的參量取極小值”.按此原意,我們把“L east2acti on p rinci p le”譯為“最小經歷量原理”似乎比譯為“最小作用量原理”更恰當些.單就“acti on”一詞的含義而言,一般英漢詞典都是以“過程”、“

7、經歷”(p rocess of do ing th ings作為第一含義,至少“作用”絕非是它的唯一含義.同時我們還認為,“最小作用量原理”這一稱謂也不利于初學者對這一原理的理解.為什么把S=t2t1Lq(t,q(td t稱為作用量?這是一個令人百思而不得其解的問題.但是,若把此參量S的名稱(acti on譯為“經歷量”,則鄰近的S描述鄰近的經歷,對S求變分(即對此泛函求極值就可求得系統對應于一定初末態的“經歷”.這一原理的含義和物理思想就很自然地顯示出來了.我們選用“經歷量”這一詞匯,沒有選用“路徑量”或“過程量”這樣的詞匯,是因為這里的參量S不僅描述了連結一定初末態的路徑,同時也描述了系統

8、經歷這一路徑過程中的狀態變化情況.“經歷量”這一詞匯似乎更接近于同時包括這兩個方面的含義.物理詞匯概念的譯名往往存在多種選擇,本無正誤之分,本文僅從教學角度提出一種想法,以圖增寬學生思路.本文以下的闡述將不再用“作用量”、“最小作用量原理”這樣的譯名,皆選用“經歷量”、“最小經歷量原理”的稱謂.2如何看待“最小經歷量原理”帶有的神秘色彩面對這一原理的內容,人們自然會問,為什么系統的實際經歷恰好是由變分(對經歷量取極值決定的那一條?是否自然真的遵從經濟法則而不做多余的事情?這些問題總使人覺得這一原理帶有若干神秘色彩,以致一些人認為它的合法性應建筑在神學的基礎上,相信這一原理正好反映了上帝安排世界

9、的巨大智慧.實際上,幾乎每一個物理學理論體系都帶有類似的神秘色彩.例如永動機為何不可能?0K 為何不可達?光速為何不可超?人類為何可根據局部的知識去猜測整個宇宙的機制?我們認為,物理學的目的和研究方法決定了它不可能,也不需要對這些作為理論基石的基本原理回答“為什么”.現代物理學的目的和研究方法決定了它只關心在這些基本原理基礎上建立的理論體系所導致的結論是否同儀器觀測一致,無須回答這些基本原理能是否能夠成立的原因.有人說牛頓建立力學體系時的最聰明之舉,是他只說“有什么”,不回答“為什么”.可以想象,如果物理學把注意力用于糾纏這些“為什么”,物理學必將“寸步難行”.也許這些“為什么”的問題得由哲學

10、家和神學家去回答.3關于“微分方程方法”和“經歷量方法”我們知道,牛頓力學是物理學的第一個較為完善的理論體系,可以把它的基本思路歸納為如下兩點:(1對應于系統的一定邊界條件(即外界的力學作用和初始狀態,系統有唯一確定的經歷(或說唯一確定的運動軌道;(2這一確定的經歷可由反映系統動力學規律的微分方程結合邊界條件和初始條件求得.簡而言之,按這一思路建立的理論體系是一種通過建立動力學微分方程,再結合邊界條件和初始狀態求得系統狀態變化“經歷”的理論體系.這也許是人類建立定量的物理學理論體系的第一個思路.至今人們仍認為這是一個很成功的思路.現在我們熟知的一些非常成功的理論體系,如麥克斯韋的電磁場理論,薛

11、定諤的波動力學體系等也都是沿這一思路建立起來的.我們可以把這一思路稱為“建立動力學微分方程的思路”,或稱為“微分方程方法”.物理學總是力求沿多個思路去研究同一個領域的問題.自從莫泊丟提出最小經歷量原理后,物理學家們就試圖把力學建立在最小經歷量原理的基礎上.在歐勒、拉格朗日、哈密頓、費曼等歷代偉大物理學家的努力下,在現代物理學的領域內不僅已經建立了以最小經歷量原理為基礎的經典力學,也有了建立在此原理基礎上的電磁場理論、廣義相對論和量子力學等.分析這一類建立在最小經歷量原理基礎上的理論體系,不難發現它們有一個共同的嶄新的思路.我們可以把這一思路的基本思想歸納為以下兩點:(1連結系統一定初末態的可能

12、“經歷”有多個;(2可以用某種泛函描述系統的可能經歷,實際實現的那一個經歷恰好是對泛函求“變分”取得“極值”時所描述的那一個“經歷”.簡而言之,按這一思路建立的理論體系是一種對經歷量求變分而求得實際經歷的理論體系.我們可以把這一思路稱為“對經歷量求變分的思路”,或稱為“經歷量方法”.這兩種思路的差別是很明顯的.沿微分方程方法的思路建立理論體系的關鍵是建立動力學微分方程,將該方程的通解結合作為已知條件的邊界條件和初始狀態就可求得系統在任意時刻t 的狀態,或說就可求得系統的實際經歷.而按經歷量方法建立理論體系的關鍵是尋求經歷量的表示式,然后對經歷量求變分就可求得系統的實際經歷.我們知道,系統的實際

13、經歷必定與它的外界條件(外場的作用情況有關.為什么用經歷量922第2期李秀芬等:對最小作用量原理的一些思考032四川師范大學學報(自然科學版21卷方法求系統的實際經歷時始終未涉及邊界條件呢?這是因為當今的物理學仍是一種研究“死物”的運動性質和規律的科學,它完全不考慮系統的生命現象部分.這樣的系統對外場的作用不含有任何“反抗”,因而一定的初始狀態和邊界條件就可以決定一個唯一的經歷,或者說就可以決定任意時刻t的一個唯一的末態1.對此,我們也可以反過來說,系統的一定初態和任意時刻t的末態必定對應了一個唯一的外界條件.這就是說,外界條件(外場作用的因素已經被末態限制了,或者說已經包含在末態中了.經歷量

14、方法無需已知外界條件,也為我們處理某些難以寫出邊界條件的問題帶來方便.如上所述,當今的物理學可分別沿這兩種思路建立理論體系,它們之間是否有優劣之分呢?從現有的資料看,當代的物理學家似乎更偏愛經歷量方法.例如A 熱著2的可怕的對稱一書的第七章中就有若干這方面的闡述.他認為“經歷量原理在物理上被證明適用于整個宇宙.自牛頓以來的所有物理學理論都可以用經歷量的語言表述出來.經歷量的公式也更簡潔和精巧.”、“經歷量在洛侖茲變換下保持不變,這使我們更容易對基礎設計的對稱性進行研究.”、“所以本世紀的物理學家最終還是放棄了自己熟習和鐘愛的微分方程方法,而選擇了經歷量方法.”.但是,至今為止,用經歷量方法建立

15、的理論體系無一不是以動力學微分方程的理論為先導才建立起來的.在微分方程方法尚未涉足的領域內,經歷量方法還沒有獨立建立自己的理論體系的先例.所以我們認為,微分方程的方法尚不能掉棄,也許我們以后還需要首先建立動力學微分方程的理論,然后再用經歷量方法去改造它.參考文獻1趙展岳編著.相對論導論(第一版.吉林:吉林人民出版社,19822熱A著.可怕的對稱(第一版.長沙:湖南科學技術出版社,1992ON“TH E L EA ST2A CT I ON PR I N C IPL E”L i X iufeng1L iang T inggao2(1D ep a rt m en t of P hy sics,L e

16、shan T eachers Colleg e,L eshan614000,S ichuan;2D ep a rt m en t of P hy sics,S ichuan N or m a l U n iversity,Cheng d u610066,S ichuanAbstractIn th is paper,w e divide the developm ent of“the L east2acti on p inci p le”into five stages.T hen w e m ake som e comm ents on the fo llow ing po ints:1the translati on of“t