第第頁解三角形專題1.余弦定理知兩邊一角能求第三邊（知三求三）a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C變形：知三邊能求三角cos值（知三求三）cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)題型1已知兩邊及一角解三角形△ABC中，已知b＝1，a＝1，C＝120°，求c＝．已知△ABC中，A＝120°，b＝3，c＝5，則求a＝7.已知△ABC中，C＝120°，a＝3，c＝7，則求b＝5.題型2已知三邊解三角形判定三角形的形狀△ABC中，A,B,C對的邊分別為a，b，c，a=4b=5c=6判定△ABC是銳角三角形、Rt△，還是鈍角三角形大角對大邊，最大角為C，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＞0∴△ABC為銳角三角形2.正弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R知三求三例1.A=60°，a=b=求B=45°例2.A=30°，a=1b=求B=60°或120°（思考）例1和例2幾乎一樣的條件，為什么一個(gè)構(gòu)成了兩個(gè)三角形，一個(gè)只能構(gòu)成一個(gè)三角形？或者說，構(gòu)成一個(gè)或多個(gè)三角形，需要滿足什么樣的條件？3.知識架構(gòu)知三能求三，知二只能求范圍知兩邊a+b＞ca-b＜c知兩角相似三角形沒有太大意義知一角一邊知一角一臨邊：能不能構(gòu)成三角形，能構(gòu)成幾個(gè)三角形（定角構(gòu)圓）知一角一對邊：另外兩邊相等時(shí)，周長和面積有最大值知一角一臨邊，有兩解、一解、無解三種情況.①A為銳角時(shí)②A為直角或鈍角時(shí).知一角一對邊：結(jié)論：另外兩邊相等時(shí)，周長和面積有最大值。（2020全國2卷）中，．（1）求；（2）若，求周長的最大值．（答案）（1）；（2）.（解析）（1）由正弦定理可得：，，，.法一：已知對角對邊，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝，得,，B+C=60°的周長法二：由余弦定理得：，即.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），周長，周長的最大值為.例.在△ABC中，B＝60°，AC，則AB+2BC的最大值為．eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝，得,，A+C=120°AB+2BC重點(diǎn)題型已知對焦和對邊，再加上面積條件，能求三角形周長，反之也成立。解題關(guān)鍵：1.面積求兩邊的乘積；2.余弦定理求兩邊的平方和例△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為．求sinBsinC；若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長．（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，故.由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長為.4.解題技巧一個(gè)式子沒cos優(yōu)先角化邊有cos優(yōu)先邊化角三個(gè)未知角兩角手牽手必?fù)Q單身狗！幾何圖形，（兩三角形或一個(gè)四邊形的）直角=互余平角=互補(bǔ)還要注意運(yùn)用特殊角/公共邊知中線長（定比分點(diǎn)）用向量知角平分線長用等面積法知其他條件比如銳角三角形啥的當(dāng)然這些還不夠全，還需要學(xué)生自己積累充實(shí)例.已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，acosCasinC﹣b﹣c＝0（1）求A；解：（式子中有cos，優(yōu)先化角）（三個(gè)角都未知A和C手牽手在一起了，必?fù)Q單身狗B?。Q單約掉sinC∴

5.三角形面積公式S=====內(nèi)接圓半徑（系數(shù)2，二維，）多面體內(nèi)接球半徑（系數(shù)3，三維，）== ====△ABC中，△ABC中，△ABC中，△ABC中，△ABC中，△ABC中，△ABC中，∠BAC=60°，b=，中線AD=3，求c=3△ABC中，∠ACB=120°，b=5，中線CD=，求a=5（同上題）△ABC中，∠ABC=60°，a=3，D是邊CD上靠近C的三等分點(diǎn)，BD=，求b=3（角平分線等面積法）△ABC中，∠BAC=120°，b=3，角平分線AD=1，求c=任意四邊形ABCD面積練習(xí)題1.角平分線定理：△ABC中，AD為角平分線，求證解：設(shè)sin∠ADC=sin∠ADB=sinDsin∠CAD=sin∠BAD=sinα在△ABD中，在△ACD中，2.角平分線長：△ABC中，AD為角平分線，求證延長AC到E，使CE=CD，連接DE，則AE=AC+CD，∠E=，在AB邊上取點(diǎn)F，使BF=BD，連接DF，則AF=AB－BD，∠BDF=∠BFD。則又于是，使得△AED∽△ADF，由角平分線定理得帶入①得3.張角定理：在△ABC中，D是BC上的一點(diǎn)，連結(jié)AD。則有如果AD為∠BAC角平分線，則有∠BAC=120°時(shí)，

7.真題演練1.（2022年乙卷17）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）證明：；（2）若，求的周長．【小問1詳解】證明：因?yàn)?，所以，所以，即，所以；【小?詳解】解：因?yàn)?，由?）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為.2.（2021年新課標(biāo)19）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，即．又因，所以．?）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)椋鐖D，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因?yàn)椋裕獾没颍?dāng)時(shí)，（舍去）．當(dāng)時(shí)，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點(diǎn)E，則．由，得．在中，．在中．因?yàn)?，所以，整理得．又因?yàn)?，所以，即或．下同解?．[方法五]：平面向量基本定理因?yàn)椋裕韵蛄繛榛祝校?，即，又因?yàn)?，所以．③由余弦定理得，所以④?lián)立③④，得．所以或．下同解法1．3.（2022新高考Ⅱ卷）18．（12分）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積分別為，且．（1）求的面積；（2）若，求b．（1）（2）（1），（2）eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝4.（2022乙卷文）17．（12分）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．（1）若，求C；（2）證明：（1）；（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡得：，故原等式成立．5.（2021新高考Ⅱ卷）18．在中，角A，B，C所對的邊長分別為．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)a，使得為鈍角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．【答案】當(dāng)時(shí)，為鈍角三角形．6.（2020全國Ⅰ卷文）18．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面積；（2）若sinA+sinC=，求C.（1）由題設(shè)及余弦定理得，解得（舍去），，從而.的面積為．（2）在中，，所以，故.而，所以，故.7.（2020全國Ⅱ卷文）17．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，證明：△ABC是直角三角形．（1）由已知得，即．所以，．由于，故．（2）由正弦定理及已知條件可得．由（1）知，所以．即，．由于，故．從而是直角三角形．8.（2019全國Ⅲ卷理）18.（12分）的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c。已知。求B；若為銳角三角形，且c=1，求面積的取值范圍。（1）B=60°（2）A+C=120°，又是銳角三角形∴30°＜A＜90°，30°＜C＜90°9.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．（1）求c；（2）設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC,求△ABD的面積．（1）由已知得tanA=在△ABC中，由余弦定理得（2）有題設(shè)可得故△ABD面積與△ACD面積的比值為又△ABC的面積為10.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c，△ABC的面積為，求△ABC的周長．（1）2cosC（acosB+bcosA）＝c．2cosC（sinAcosB+sinBcosA）＝sinC．2cosCsinC＝sinCcosC=1/2C=60°（2）已知對角對邊，由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長為.11.已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，acosCasinC﹣b﹣c＝0（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面積為，求b，c．解：（式子中有cos，優(yōu)先化角）（三個(gè)角都未知A和C手牽手在一起了，必?fù)Q單身狗B！）換單約掉sinC（2）已知對角對邊，由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.解得.12.（2019年新課標(biāo)1理科17）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．設(shè)（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sinC．【詳解】（1）即：由正弦定理可得：（2），由正弦定理得：又，整理可得：解得：或因所以，故.（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即由，所以.

13.（2018年新課標(biāo)1理科17）在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．（1）在中，由正弦定理得.由題設(shè)知，所以. 由題設(shè)知，所以. （2）由題設(shè)及（1）知，. 在中，由余弦定理得所以. 14.（2022年新課標(biāo)18）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）求的最小值．（1）二倍角，交叉相乘；15.銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．求B（三角未知，AB在一起了換C）16.（2021.11泰安期中統(tǒng)考）b+c=2a，3bsinC=4csinA，D在射線AC上，滿足cos∠ABD=2cosB，BE為∠ABD的角平分線，求