1、5 5 三角形內角和定理三角形內角和定理內角三兄弟之爭內角三兄弟之爭 在一個直角三角形里住著三個內角，平時，它們三兄弟在一個直角三角形里住著三個內角，平時，它們三兄弟非常團結非常團結. .可是有一天，老二突然不高興，發起脾氣來，它可是有一天，老二突然不高興，發起脾氣來，它指著老大說：指著老大說：“你憑什么度數最大，我也要和你一樣你憑什么度數最大，我也要和你一樣大！大！”“”“不行啊！不行啊！”老大說：老大說：“這是不可能的，否則，我們這是不可能的，否則，我們這個家就再也圍不起來了這個家就再也圍不起來了”“”“為什么？為什么？” 老二很納悶老二很納悶. . 同學們，你們知道其中的道理嗎？同學們，

2、你們知道其中的道理嗎？已知已知: :如圖如圖, ,ABCABC . .求證求證:A A +B B +C C =180=180. .ABCE213D三角形內角和定理三角形內角和定理三角形內角和定理三角形內角和定理 三角形三個內角的和等于三角形三個內角的和等于180180. .ABCABC中中,A A+B B+C C= =180.A A+B B+C C= =180的幾種變形的幾種變形:wA A= =180 (B B+C C).).wB B= =180(A A+C C).).wC C= =180 (A A+B B).).wA A+B B= =180 C C. .wB B+C C= =180 A A.

3、 .wA A+C C= =180 B B. .這里的結論這里的結論, ,以后可以直接運用以后可以直接運用. . ABC觀察下面一組圖形中觀察下面一組圖形中1 1在各個圖形中的位置，你能發現它們在各個圖形中的位置，你能發現它們的共同特征嗎？的共同特征嗎？B BC CA A1D DA AC CB B1D DA AC CB B1D D外角定義：外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角叫做三角形的外角. .三個特征三個特征: : 1. 11. 1的頂點在三角形的一個頂點上的頂點在三角形的一個頂點上; ; 2. 1 2. 1的一條邊是三角形的一條

4、邊的一條邊是三角形的一條邊; ; 3. 1 3. 1的另一條邊是三角形的某條邊的延長線的另一條邊是三角形的某條邊的延長線. . 想一想想一想:1、每一個三角形有幾個外角？、每一個三角形有幾個外角？2、每一個頂點處相對應的外角有、每一個頂點處相對應的外角有幾個？幾個？3、這些外角中有幾個外角相等？、這些外角中有幾個外角相等？4、三角形的每一個外角與三角形、三角形的每一個外角與三角形的三個內角有什么位置關系的三個內角有什么位置關系?畫一個三角形，再畫出它所有的外角畫一個三角形，再畫出它所有的外角.ABDEFC外外角角ABDEFC外外角角歸納歸納：1、每一個三角形都有、每一個三角形都有個個外角外角;

5、2、每一個頂點相對應的外角都有、每一個頂點相對應的外角都有個個; 4、一個三角形的每一個外角對應一個相鄰的內角和、一個三角形的每一個外角對應一個相鄰的內角和兩個不相鄰的內角兩個不相鄰的內角.3、這、這6個外角中有個外角中有3個外角相等個外角相等.探究探究: :你能用推理的方法來論證你能用推理的方法來論證ACDACD= =B B+ +A A嗎？嗎？D DA AB BC CD ACDACD+ ACBACB=180又又A A+ B B+ ACBACB=180 A A+ B B= ACDACD 解：解：ABCACDACD =180 ACBACB A A+ B B =180 ACBACB（鄰補角的定義）

6、（鄰補角的定義）（三角形內角和（三角形內角和180 ）方法一方法一: : 三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角. .D DA AC CB BACDACD= A A+ B BACDACDA A ACDACD B B結論：結論：3.三角形的一個外角與它不相鄰的任意一個內角有怎樣的大小三角形的一個外角與它不相鄰的任意一個內角有怎樣的大小 關系關系?三角形外角的性質：三角形外角的性質：性質性質1、三角形的、三角形的一個外角一個外角等于等于與它與它不相鄰的兩個內角不相鄰的兩個內角的的和和. B B+C C=CADCAD 性質性質2、三角形的、三角形的一

7、個外角一個外角大于大于任何任何一個與它一個與它不相鄰的內角不相鄰的內角. CADCAD B B， CADCAD C CA AB BC CD DA AC CD DB BE E例例1 1 已知已知: :如圖在如圖在ABCABC中中, ,ADAD平分外角平分外角EACEAC,B B=C C. . 求證：求證：ADADBCBC. .例例2 2 已知：如圖已知：如圖, ,在在ABCABC中中, 1, 1是它的一個是它的一個外角外角, , E E為邊為邊ACAC上一點上一點, ,延長延長BCBC到到D D, ,連接連接DEDE. .求證求證: 1 2.: 1 2.證明：證明： 1 1是是ABCABC 的一

8、個外角的一個外角 ( (已知已知) ) 1 3 ( 1 3 (三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角) )33是是CDECDE 的一個外角的一個外角 ( (外角定義外角定義) )3 2 (3 2 (三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角) ) 1 2 ( 1 2 (不等式的性質不等式的性質) )CABF1345ED2跟蹤練習跟蹤練習1.1.若一個三角形的一個外角小于與它相鄰的內角若一個三角形的一個外角小于與它相鄰的內角, ,則這個三角則這個三角形是形是( )( ) A. A.直角三角形直角三角形

9、 B.B.銳角三角形銳角三角形 C. C.鈍角三角形鈍角三角形 D.D.無法確定無法確定C C 2.2.如圖所示如圖所示, ,若若A A=32=32,B B=45=45,C C=38=38, ,則則DFEDFE等于等于( )( )A.120A.120 B.115 B.115 C.110 C.110 D.105 D.105F FE ED DC CB BA AB B4.如圖所示如圖所示,1=_.140140 8080 1 1120 5.5.已知等腰三角形的一個外角為已知等腰三角形的一個外角為150150, ,則它的底角為則它的底角為_ _. _ _. 30或或75 6.如圖所示如圖所示,A A=5

10、0,B B=40,C C=30,則則BDCBDC=_.D DC CB BA A1207.7.已知：如圖，在已知：如圖，在ABCABC中，外角中，外角DCADCA=100=100, , A A=45=45. .求：求：B B和和ACBACB的大小的大小. .A AB BC CD D解解: DCADCA是是ABCABC的一個外角的一個外角(已知已知), B B= DCADCA- -A A=100- -45=55 又又 DCADCA+BCABCA=180(平角平角=180). ACBACB=80(等式的性質等式的性質).10045(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和三角形的一個外角等于和它

11、不相鄰的兩個內角的和).已知已知: :國旗上的正五角星形如圖所示國旗上的正五角星形如圖所示. .求求:A+B+C+D+E:A+B+C+D+E的度數的度數. .A AB BC CD DE EF F1H H2拔尖自助餐拔尖自助餐當堂檢測當堂檢測ABCABC 中中, ,若若A A B B C C , ,則則ABCABC 是（是（ ） A.A.銳角銳角B.B.直角直角C.C.鈍角鈍角D.D.等腰等腰 一個三角形至少有（一個三角形至少有（ ） A.A.一個銳角一個銳角 B.B.兩個銳角兩個銳角 C. C.一個鈍角一個鈍角 D.D.一個直角一個直角B BB B3.3.已知：已知：1 1，2 2，3 3是是ABCABC 的三個外角的三個外角 求證：求證：1+2+3=3601+2+3=360. .C C A AB B3126454. 在在ABCABC中中,A A=80,B B=C C , 求求C C的度數的度數.ABC5. 已知三角形三個內角的度數之比為已知三角形三個內角的度數之比為1:3:5，求這三個，求這三個內角的度數內角的度數.三角形內角和定理三角形內角和定理