1、第一章 集合集合是高中數學中最原始、最基礎的概念，也是高中數學的起始單元，是整個高中數學的基礎.它的基礎性體現在：集合思想、集合語言和集合的符號在高中數學的很多章節如函數、數列、方程與不等式、立體幾何與解析幾何中都被廣泛地使用.在高考試題和數學競賽中，很多問題可以用集合的語言加以敘述.集合不僅是中學數學的基礎，也是支撐現代數學大廈的基石之一，本章主要介紹集合思想在數學競賽中出現的問題.§1.1 集合的概念與運算【基礎知識】一集合的有關概念1集合：具有某些共同屬性的對象的全體，稱為集合.組成集合的對象叫做這個集合的元素.2集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性.3集合的分類：無限

2、集、有限集、空集.4. 集合間的關系：二集合的運算1交集、并集、補集和差集差集：記A、B是兩個集合，則所有屬于A且不屬于B的元素構成的集合記作.即且.2.集合的運算性質(1),(冪等律);(2), (交換律);(3), (結合律);(4),(分配律);(5),(吸收律);(6)(對合律);(7), (摩根律)(8),.3.集合的相等(1)兩個集合中元素相同,即兩個集合中各元素對應相等;(2)利用定義,證明兩個集合互為子集;(3)若用描述法表示集合,則兩個集合的屬性能夠相互推出(互為充要條件),即等價;(4)對于有限個元素的集合,則元素個數相等、各元素的和相等、各元素之積相等是兩集合相等的必要條

3、件.【典例精析】【例1】在集合中,任意取出一個子集,計算它的各元素之和.則所有子集的元素之和是 .分析已知的所有的子集共有個.而對于,顯然中包含的子集與集合的子集個數相等.這就說明在集合的所有子集中一共出現次,即對所有的求和,可得【解】集合的所有子集的元素之和為=說明本題的關鍵在于得出中包含的子集與集合的子集個數相等.這種一一對應的方法在集合問題以及以后的組合總是中應用非常廣泛.【例2】已知集合且,求參數的取值范圍.分析首先確定集合A、B,再利用的關系進行分類討論.【解】由已知易求得當時,由知無解;當時,顯然無解; 當時, ,由解得綜上知,參數的取值范圍是.說明本題中,集合的定義是一個二次三項

4、式,那么尋于集合B要分類討論使其取值范圍數字化,才能通過條件求出參數的取值范圍.【例3】已知,集合.若,則的值是( )A.5 B.4 C.25 D.10【解】,且及集合中元素的互異性知,即,此時應有而,從而在集合B中,由,得由(2)(3)解得,代入(1)式知也滿足(1)式.說明本題主要考查集合相等的的概念,如果兩個集合中的元素個數相等,那么兩個集合中對應的元素應分別相等才能保證兩個集合相等.而找到這種對應關系往往是解決此類題目的關鍵.【例4】已知集合.若,求+的值.分析從集合A=B的關系入手,則易于解決.【解】,根據元素的互異性,由B知.且,故只有,從而又由及,得所以或,其中與元素的互異性矛盾

5、!所以代入得:+=()+2+()+2+()+2=0.說明本題是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本題利用的是集合相等的必要條件,即兩個集合相等,則兩個集合中,各元素之和、各元素之積及元素個數相等.這是解決本題的關鍵.【例5】已知A為有限集,且,滿足集合A中的所有元素之和與所有元素之積相等,寫出所有這樣的集合A. 【解】設集合A=且,由,得,即或(事實上,當時,有.當時,而當時,由,解得綜上可知,說明本題根據集合中元素之間的關系找到等式,從而求得集合A.在解決問題時,應注意分析題設條件中所給出的信息,根據條件建立方程或不等式進行求解.【例6】已知集合,若,求實數的取值組成的集合A.【

6、解】,設.當,即時,滿足;當,即或時, 若,則,不滿足,故舍去; 若時,則,滿足.當時,滿足等價于方程的根介于1和2之間.即.綜合得,即所求集合A.說明先討論特殊情形(S=),再討論一般情形.解決本題的關鍵在于對分類討論,確定的取值范圍.本題可以利用數形結合的方法討論【例7】(2005年江蘇預賽)已知平面上兩個點集 R, R. 若 , 則 的取值范圍是【解】由題意知 是以原點為焦點、直線 為準線的拋物線上及其凹口內側的點集， 是以 為中心的正方形及其內部的點集(如圖)考察 時, 的取值范圍:令 , 代入方程 ,得 ，解出得 所以，當 時, 令 ，代入方程 , 得 . 解出得所以，當 時, 因此, 綜合 與 可知，當 ，即 時, 故填 .【例8】已知集合,其中,.若,.且中的所有元素之和為124,求集合A、B.【解】,且,又,所以又,可得,并且或若,即,則有解得或(舍)此時有若,即,此時應有,則中的所有元素之和為100124.不合題意.綜上可得, 說明