1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、連續函數的運算法則一、連續函數的運算法則 第十一節二、初等函數的連續性二、初等函數的連續性 連續函數的運算與初等函數的連續性 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xx cot,tan在其定義域內連續一、連續函數的運算法則一、連續函數的運算法則定理定理1. 在某點連續的有限個函數經有限次和在某點連續的有限個函數經有限次和 , 差差 , 積積 ,( 利用極限的四則運算法則證明)連續xx cos,sin商商(分母不為分母不為 0) 運算運算,結果仍是一個在該點連續的函數結果仍是一個在該點連續的函數 .例例1.設函數 f (x)和 g(x)在點 連續，則他們的和差）

2、、積 及商 （當 時都在點0 xgf gf gf0)(0 xg0 x連續。目錄 上頁 下頁 返回 結束 xye在),(上連續其反函數xyln在),0(上也連續單調遞增.例例3. xyOxylnexy 11單調遞增,定理定理2. 連續單調遞增函數的反函數也連續單調遞增連續單調遞增函數的反函數也連續單調遞增. 例例2.xysin在,22上連續單調其反函數xyarcsin(遞減遞減)(證明略)在1, 1上(遞減遞減)11xOy22也連續單調遞增.xsinxarcsin遞增，目錄 上頁 下頁 返回 結束 )ufxgfxx0(lim0定理定理3. 3. 連續函數的復合函數是連續的連續函數的復合函數是連續

3、的. . 設函數)(xgu ,0連續在點 x0( ),yf uu函數在點連續. )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xgfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xgf故復合函數)(xgf.0連續在點 x且即.)(00uxg00)()(lim0uxgxgxx注：注： 由于連續函數符號連續函數符號f 和極限號和極限號 可以交換次序。可以交換次序。0limxx所以即.lim0 xgfxx目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如例如,xy1sin是由連續函數鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因而xy1sin在*Rx上連續 .復合而成 ,xy1sinxyO目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例

4、4. 求求.)1 (loglim0 xxax解解:原式xxax1)1 (loglim0elogaaln1例例5. 求求.1lim0 xaxx解解: 令令, 1xat那么, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln說明說明: 由此可見當由此可見當0e,xa時, 有)1ln(x1e xxx10log lim(1) xaxx目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、初等函數的連續性二、初等函數的連續性基本初等函數在定義區間內連續連續函數經四則運算仍連續連續函數的復合函數連續一切初等函數在定義區間內連續例如例如,21xy的連續區間為1, 1(端點為單側連續)xysinln的連續區間為Znn

5、n, ) 12( ,2(1cosxy的定義域為Znnx,2因此它無連續點而目錄 上頁 下頁 返回 結束 1lim arccos1xxx例例6. 6. 求極限求極限1lim arccos1xxx1arccos(lim)1xxxarccos( 1)解：解：目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. 求極限求極限311 sin(1) limln2xxx解：解：311 sinlimln2xxx31 sin(1)ln121ln32 1ln320(arcsin2 )(2) limln1 cosxxx20(arcsin2 )limln1 cosxxx20(arcsin2 )lnlim1 cosxxx202(2

6、)lnlim12xxxln8目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例8. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式elim0 x)21ln(sin3xx03limexx6ex2說明說明: 假假設設,0)(lim0 xuxx則有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx3limln(1 2 )sin0 xxxe1型型目錄 上頁 下頁 返回 結束 lim ( ) 1 ( )u xv xe ( )lim ( )v xu xlim ( ) 1 ( )u xv xe 關于關于11型極限的求法型極限的求法( )lim

7、( )v xu xlim ( )1,lim ( )u xv x ( )lim ( )v xu x( )lim1( ) 1v xu x1 ( ) 1 ( )( ) 1lim1( ) 1u xv xu xu x(lim ( )1,lim ( )u xv x 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例9. 求求解：解：0limxxxxcot110limxxxxcot)121(e2e0limxxxxcot11e()021lim1xxxx()012limtan1xxxx目錄 上頁 下頁 返回 結束 冪指函數一般的,對于形如 的 lim ( ),u xalim ( ),v xb函數(通常稱為冪指函數),假如那么(

8、 )lim ( ).v xbu xa( )( )( ( )0, ( )1)v xu xu xu x注: lim表示在同一自變量變化過程中的極限.目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結基本初等函數在定義區間內連續連續函數的四則運算結果仍連續連續函數的反函數連續連續函數的復合函數連續 初等函數在定義區間內連續說明說明: 分段函數在界點處是否連續需討論其分段函數在界點處是否連續需討論其 左、右連續性左、右連續性.目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業作業 P52 1 (1) (2) (6) ; 3 第十節 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1. 設函數設函數)(xf,2)cos1 (xxa0 x,1

9、0 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 連續 , 那么 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e思考與練習思考與練習目錄 上頁 下頁 返回 結束 ) 1)(e)(xaxbxfx有無窮間斷點0 x及可去間斷點, 1x解解:為無窮間斷點,0 x) 1)(elim0 xaxbxx所以bxaxxxe) 1)(lim0ba101,0ba為可去間斷點 ,1x) 1(elim1xxbxx極限存在0)(elim1bxxeelim1xxb2. 設函數設函數試確定常數 a 及 b .目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 求極限求極限 xxxx193lim xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e1lim39xxxe990 e目錄 上頁 下頁 返回 結束 令1limx1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt