1、三角形的等積變形我們已經掌握了三角形面積的計算公式：三角形面積=底高+2這個公式告訴我們：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘 積.如果三角形的底不變，高越大（?。切蚊娣e也就越大（?。?同樣若三 角形的高不變，底越大（小），三角形面積也就越大（小）.這說明；當三角形的 面積變化時，它的底和高之中至少有一個要發生變化.但是，當三角形的底 和高同時發生變化時，三角形的面積不一定變化.比如當高變為原來 的3倍，底變為原來的”則三角形面積與原來的一樣.這就是說, 一個三 角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變 化.同時也告訴我們：一個三角形在面積不改變的情況下，可

2、以有無數多個 不同的形狀.本講即研究面積相同的三角形的各種形狀以及它們之間的關 系.為便于實際問題的研究，我們還會常常用到以下結論：等底等高的兩個三角形面積相等.底在同一條直線上并且相等，該底所對的角的頂點是同一個點或在與 底平行的直線上，這兩個三角形面積相等.若兩個三角形的高（或底）相等，其中一個三角形的底（或高）是另一個三 角形的幾倍，那么這個三角形的面積也是另一個三角形面積的幾倍 . 例如在右圖中，若ABD與ZXAEC的底邊相等（BD=DE = EC = BC） 它們所對的頂點同為A點，（也就是它們的高相等）那么這兩個三角形的面積相同時也可以知道4ABC的面積是4ABD或4AEC面積的3

3、倍.例如在圖中,4ABC與4DBC的底相同（它們的底都是BC）,它所對的兩個頂 點A、D在與底BC平行的直線上，（也就是它們的高相等），那么這兩個三角 形的面積相等.例如圖中，4ABC與4DBC的底相同（它們的底都是BC）, 4ABC的高是DBC高的2倍（D是AB中點，AB=2BD ,有AH=2DE）,則4ABC的面積是4DBC面積的2倍.上述結論，是我們研究三角形等積變形的重要依據 例1、用三種不同的方法，把任意一個三角形分成四個面積相等的三角形 .方法1；如右圖，將RC邊四等分（BD = DE = EF=FC=9bC）,連結 AD. AE. JVF,則AABD, AADE> AE&#

4、163; ”博積.方法2:如右圖,先將BC二等分,分點D、連結AD,得到兩個等積三 角形，即4ABD與4ADC等積.然后取AC、AB中點E、F,并連結DE、 DF.以而得到四個等積三角形，即AADF、ABDF> DCE、 ADE等積.E方法九如右圖，先將BC四等分，即BD = $EC,連結AD,再將AD三 等分，BPAE = EF = FD=1aD,連結CE、CF,從而得到四個等積的三角形 ,即ABD. ACDF. ACEK 等積.專業word可編輯例2、用三種不同的方法將任意一個三角形分成三個小三角形，使它們的面積比為及13 4.方法1:如下左圖，將BC邊八等分，取1 3 4的分點D、

5、E,連結AD、 AE,從而得到AABD、AADE> 4AEC的面積比為1 3 4.方法3如上右圖，先取BC中點D,再取AB的。分點E,連結AD.DE,從而得到三個三角形：AADE、ABDE> AACD.其面積比為1 3 4.方法女如右圖，先取支B中點D,建結CD,再取CD上9分點E,連結 A£,從而得到三個三角形ACE、ARE, ABCD,其面積比為1 ； 3： 4.當然本題還有許多種其他分法，同學們可以自己尋找解決. AOB例3、如圖，在梯形ABCD中，AC與BD是對角線，其交點O,求證: 與ACOD面積相等.證明：.ABC與4DBC等底等高，.Sa abc=Sdbc又

6、 Sa aob=S aabc-S bocSa doc=S dbc Sa boc '.Sa aob=S COD .例4、如圖，把四邊形ABCD改成一個等積的三角形分析本題有兩點要求，一是把四邊形改成一個三角形，二是改成的三角 形與原四邊形面積相等.我們可以利用三角形等積變形的方法，如右圖，把頂點A移到CB的延長線上的A處，AABD與4ABD面積相等，從而 A DC面積與原四邊形ABCD面積也相等.這樣就把四邊形ABCD等積地改 成了三角形4A'DC.問題是A位置的選擇是依據三角形等積變形原則.過A 作一條和DB平行的直線與CB的延長線交于A'點.解：連結BD;過A作BD的

7、平行線，與CB的延長線交于A'.連結AD,則AACD與四邊形ABCD等積.例5、如圖，已知在4ABC中，BE=3AE, CD=2AD .若4ADE的面積為1平 方厘米.求三角形ABC的面積.解法1 ：連結BD,在4ABD中v BE=3AE,S abd=4S"de=4（平方厘米）.在 ABC 中，.CD=2AD ,. 4 ABC=3S ABD=3 X4=12（平方厘米）.解法2:連結CE,如右圖所示，在4ACE中,v CD=2AD ,S>a ace=3Saade=3（平方厘米）.在 ABC 中，VBE=3AESabc=4Sace=4 X3=12（平方厘米）.例 6、如下圖

8、，在4ABC 中，BD=2AD , AG=2CG , BE=EF=FC= ；BC,求陰影部分面積占三角形ABC面積的幾分之幾？解：連結BG,在4ABG中，V BD = 2AD,=1$&.的 在ZXABC中,2VAG = 2CG,AS5=-Sc,.122-Q&mG_ 33 &捶。9 &婭c ._21同理S &EDE - §心在維歲，地一勺5（1gL. Sa ADG+S BDE+S ACFG=3、999 / &由 g-JBC二陰影部分面積=（l-g） $維此j 例7、如右圖，ABCD為平行四邊形,EF平行AC,如果4ADE的面積為4平 方厘

9、米.求三角形CDF的面積.解：連結 AF、CE, .Smde=Smce； Sacdf=S2；又=AC 與 EF平行，S ACE=S AACF；. Sa ade=Scdf=4（平方厘米）.例8、如右圖，四邊形ABCD面積為1,且AB=AE, BC=BF, DC=CG ,AD=DH .求四邊形EFGH的面積.解：連結BD,將四邊形ABCD分成兩個部分Si與S2.連結FD,有Sa fbd=Sadbc=S i 所Hi Sacgf=Sadfc=2Si .同理 Saaeh=2S2,因止匕 Saaeh+Sacgf=2S i+2S2=2(Si +S2)=2 X1=2 .同理，連結AC之后，可求出Sahgd+Saebf=2所以四邊形EFGH的面積為 2+2+1=5(平方單位).例9、如右圖，在平行四邊形ABCD中，直線CF交AB于E,交DA延長線于F,若SADE=